Problèmes de Mathématiques
PCSI
Erwan Biland
Lycée Stanislas, classe de PCSI 1, 2007/2008
Ce recueil de problèmes est destiné à accompagner le cours de mathématiques pendant toute l’année de PCSI. Il contient la plupart des problèmes posés aux élèves de PCSI 1, en temps libre ou en temps limité, depuis 2005. J’y puiserai les devoirs que vous aurez à traiter cette année en temps libre (par groupes de deux).
Malgré les nombreuses correction déjà effectuées, il subsiste certainement des erreurs d’énoncé ou d’orthographe... Je vous remercie par avance de me les signaler au fur et à mesure de leur découverte.
J’ai fait apparaître en italique, dans la table des matière ainsi que dans l’en-tête de chaque problème, les parties du cours qui y sont abordées.
J’ai aussi essayé, autant que possible, d’apprécier la difficulté de chaque problème en lui affectant un nombre d’étoiles
N
compris entre zéro (très facile) et quatre (très difficile). Attention, dans un problème coté à trois étoiles (difficile), s’il est très progressif, les premières questions peuvent être, malgré tout, relativement faciles.Bon courage !
Erwan Biland - Problèmes PCSI 1 1
Table des matières
Pour bien commencer
1 Sommes de puissances de n entiers . . . 7 Récurrence, résolution de systèmes, polynômes
2 Calcul de sommes et de produits . . . 8 Suites numériques, fonctions trigonométriques
3 Autour d’une suite de fonctions . . . 9 Fonctions usuelles, suites numériques
4 Etude d’une fonction . . . 10 Fonctions trigonométriques
5 Résolution des équations du troisième degré . . . 11 Nombres complexes, relations entre coefficients et racines d’un polynôme
6 Matrices et homographies complexes . . . 13 Matrices, déterminant, nombres complexes, géométrie
Equations différentielles, équations fonctionnelles
7 Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants . . . 16 Equations différentielles, résolution de système
8 Une équation fonctionnelle, des équations différentielles . . . 17 Fonctions deRdansR, équations différentielles
9 Un problème de raccordement de solutions . . . 18 Equations différentielles
10 Une équation différentielle linéaire d’ordre 4 . . . 19 Equations différentielles
11 Déterminant, wronskien . . . 20 Equations différentielles, algèbre linéaire
Géométrie élémentaire, courbes paramétrées, coniques
12 Autour d’une hyperbole équilatère . . . 22 Géométrie plane, coniques
13 Une corne de gazelle . . . 23 Courbes paramétrées
14 Des problèmes de lieux . . . 24 Géométrie plane, coniques, courbes paramétrées
15 La strophoïde droite . . . 25 Géométrie plane, courbes paramétrées
16 Des courbes définies par équation polaires . . . 26 Courbes en polaires, fonctions trigonométriques
Table des matières 3
17 Minimum d’une somme de distances . . . 27 Nombres complexes, inégalité triangulaire
18 Parabole, triangle et droite de Steiner . . . 28 Géométrie plane, coniques
19 Caractérisation des tangentes à une conique . . . 30 Géométrie plane, coniques, résolution d’équations
Ensembles de nombres, suites numériques
20 Suites récurrentes doubles . . . 31 Suites numériques, nombres complexes, algèbre linéaire
21 Limite supérieure, limite inférieure . . . 33 Suites numériques, borne supérieure dansR
22 Des développements asymptotiques . . . 34 Suites numériques, développements limités, fonctions deRdansR
23 Série harmonique et séries alternées . . . 35 Suites numériques
24 Suites réelles sur-additives et multiplicatives . . . 36 Suites numériques
25 Produit de convolution de deux suites . . . 37 Suites numériques
Etude locale des fonctions de R dans R
26 Une équation fonctionnelle avec hypothèse de continuité . . . 38 Continuité des fonctions, suites numériques
27 Oscillation en un point d’une fonction bornée . . . 39 Borne supérieure dans R, limites de fonctions
28 Méthode de Newton . . . 40 Suites numériques, dérivation, comparaison des suites
29 Approximation de la constante d’Euler . . . 41 Suites numériques, théorème des accroissements finis
30 Fonctions absolument monotones . . . 42 Dérivation, récurrence
Convexité, intégration, révisions d’analyse
31 Deux inégalités de convexité . . . 44 Dérivation, fonctions convexes
32 Intégrales de Wallis, formule de Stirling . . . 45 Intégration,A compléter !
33 Calcul de Rπ4
0
√
tan2x + tanx + 1d x. . . 46 Intégration, polynômes
34 Révisions d’analyse . . . 47 Equations différentielles, développements limités, formules de Taylor...
Ensembles, groupes, anneaux, corps
35 Fonctions caractéristiques de parties . . . 48 Théorie des ensembles
36 Borne supérieure dans Pf(N) . . . 49
Théorie des ensembles, relations d’ordre
37 Groupes à 2, 3, 4 éléments . . . 50 Groupes
38 Etude de deux groupes isomorphes . . . 51 Groupes, applications affines
39 L’équation diophantienne a2−2b2=±1. . . 52 Anneaux, groupes
40 Dérangements d’un ensemble fini . . . 53 Théorie des ensembles, dénombrement
Algèbre linéaire
41 Le morphisme de décalage des suites . . . 54 Algèbre linéaire, suites numériques
42 Suites complexes périodiques . . . 55 Algèbre linéaire, suites numériques, arithmétique dansZ
43 Etude d’une matrice . . . 56 Algèbre linéaire, matrices
44 Matrices stochastiques . . . 57 Algèbre linéaire, matrices
45 Des matrices semblables à leur inverse . . . 58 Algèbre linéaire, matrices
46 Idéaux à droite de l’anneau L(E) . . . 60 Algèbre linéaires, anneaux
47 Commutant des endomorphismes cycliques . . . 62 Algèbre linéaire, polynômes, anneaux
48 Endomorphismes linéaires semi-simples . . . 64 Algèbre linéaire
Espaces vectoriels euclidiens, géométrie
49 Les quarts de tours en dimension 4 . . . 66 Algèbre linéaire euclidienne, géométrie vectorielle
50 Méthode des moindres carrés . . . 67 Algèbre linéaire euclidienne, polynômes
51 Trace et formes linéaires sur Mn(R) . . . 68 Algèbre linéaire euclidienne, matrices
52 Puissances, commutant de matrices . . . 69 Algèbre linéaire, espaces vectoriels euclidiens, matrices
Polynômes
53 Polynômes et fonction tangente . . . 71 Polynômes, développements limités
54 Polynômes de Legendre . . . 72 Polynômes, dérivation, théorème de Rolle
55 Les nombres de Bernoulli . . . 73 Algèbre linéaire, polynômes, dérivation, intégration
56 Polynômes de Bezout deXn et (1−X)n . . . 76 Polynômes, arithmétique dansR[X]
Table des matières 5
Problème 1
Sommes de puissances de n entiers
[Récurrence, résolution de systèmes, polynômes]
Pour tout entier positif ou nuln ∈N, on définit les nombres : αn=Pn
k=01 = 1 + 1 +. . .+ 1 βn=Pn
k=0k = 0 + 1 +. . .+n γn=Pn
k=0k2= 02+ 12+. . .+n2 δn=Pn
k=0k0= 03+ 13+. . .+n3
1 - Préciser les valeurs deα0,β0,γ0 etδ0.
2 - Déterminer les valeurs deαn et βn en fonction de n.
3 - Démontrer par récurrence sur l’entier n que :
∀n∈N, γn= n(n+ 1)(2n+ 1)
6 .
4 - On admet qu’il existe cinq nombres réels a, b, c , d , e tels que :
∀n ∈N, δn=an4+bn3+c n2+d n+e (?).
a) Déterminer ces cinq nombres. Vous devez en particulier démontrer qu’ils sont caractérisés de façon unique par la propriété(?).
[Vous serez probablement amenés à résoudre un système de 4 ou 5 équations avec le même nombre d’inconnues. Vous devrez présenter très clairement ce système et les calculs permettant de le ré- soudre.]
b) Factoriser autant que possible l’expression de δn ainsi obtenue.
Pour bien commencer 7
Problème 2 N
Calcul de sommes et de produits
[Suites numériques, fonctions trigonométriques]
A - Séries géométriques et application
1 - Soit q un nombre complexe différent de 1, et n ∈ N un entier positif ou nul. Rappeler, sans démonstration, la valeur deAn=Pn
k=0qn= 1 +q+q2+. . .+qn.
2 - Soient aet b deux nombres réels fixés. Pourn ∈N, on définit les nombres réels : Cn =
n
X
k=0
cos(a+k b) = cosa+ cos(a+b) +. . .+ cos(a+nb)
Sn =
n
X
k=0
sin(a+k b) = sina+ sin(a+b) +. . .+ sin(a+nb)
Calculer, en fonction de l’entier n, les valeurs deCn et Sn.
[Indication : on pourra poserEn=Cn+i Sn, et calculerEn en utilisant le 1, sans oublier le casb≡0 [2π].]
On poussera les calculs jusqu’à obtenir Cn = sin
(n+1)b 2
sinb
2
cos(a+nb), et une expression du même type pour Sn.
B - Un produit astucieux
1 - En étudiant la fonction «sinh» au voisinage de 0, déterminerlimt→0,t6=0sinht t. 2 - Soit x un nombre réel non nul. Pour tout entier naturel n, on pose :
Pn=
n
Y
k=0
cosh x
2k = coshx ·coshx
2·. . .·cosh x 2n.
Pour toutn ∈N, calculerPnsinh2xn. En déduire une expression simple de Pn. 3 - Montrer que la suite(Pn)n∈N admet une limite réelle que l’on déterminera.
Problème 3 N
Autour d’une suite de fonctions
[Fonctions usuelles, suites numériques]
Pour tout entier naturel non nuln ∈N∗, on définit l’application fn: ]0,+∞[ → R
x 7→ √
x(lnx)n .
On notera Cn sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0,−→ i ,−→
j ) (on prendre comme unité 2 cm).
1 - On fixe (provisoirement) l’entier n ∈N∗. Dans l’étude de la fonctionfn, on sera bien sûr amené à discuter selon la valeur du paramètren.
a) Etudier le comportement de l’application fn aux voisinages de 0 et de +∞, ainsi que le compor- tement au voisinage de+∞ de l’applicationx 7→ fn(x)x .
b) Etudier les variations de l’application fn. Préciser tous les points où la courbe Cn admet une tangente horizontale ou verticale.
c) Etudier le signe des applications fn+1−fn etfn+2−fn. En déduire les points d’intersections et les positions respectives des courbesCn,Cn+1et Cn+2.
d) Tracer les courbes C1,C2,C3.
2 - Soit maintenantx ∈[1,+∞[fixé. Pourn ∈N∗, on poseun=fn(x). Etudier le comportement de la suite(un)n∈N∗ lorsquen tend vers+∞.
3 - a) Montrer que, pour toutn ∈N, il existe un unique réel αn∈[1,+∞[ tel quefn(αn) = 1.
b) Montrer que de plus : ∀n ∈N∗ αn∈]1, e[.
c) En utilisant la question1c), montrer que la suite (αn)n∈N est strictement croissante.
d) En utilisant la question 2, montrer queαn−−−−−−→
n→+∞ e.
4 - Pourn ∈N∗, on pose In=Re
1 fn(t)d t.
a) Etudier le signe et la monotonie de la suite(In)n∈N∗ (on ne cherchera pas à calculer l’intégrale !).
b) Grâce à une intégration par parties, établir une relation entre In etIn+1. c) En déduire que, pour tout n∈N∗, e
√e
n+52 6In6 e
√e n+1.
d) En déduire que la suite (In)n∈N∗ a une limite en +∞ (que l’on précisera).
Pour bien commencer 9
Problème 4 N
Etude d’une fonction
[Fonctions trigonométriques]
Préliminaires...
1 - Soit g: ]0,+∞[→R, t 7→tlnt.
a) Etudier les variations de la fonctiong sur l’intervalle]0,+∞[. On établira en particulier l’existence d’un minimum de la fonctiong, en précisant sa valeur et le point où il est atteint.
b) Etudier les limites deg en 0et en+∞.
[On pourra rappeler sans démonstration et utiliser le résultat du cours sur limy→+∞lny y .]
c) Donner une allure de la courbe représentative de g, à l’aide uniquement des résultats des deux questions précédentes.
2 - Soit h:]0,1[→R, t 7→ ln(4−t)lnt .
a) Justifier que h est bien définie et dérivable sur]0,1[. Calculer sa dérivée.
b) A l’aide de la question 1, montrer que∀t ∈]0,1[, h0(t)<0.
c) En déduire le sens de variation, sur l’intervalle ]π3,π2[, de la fonctionk :x 7→exp(h(4 cos2x)).
[On veillera à rédiger très précisément le raisonnement, en n’oubliant pas de justifier la bonne définition de k.]
Vif du sujet
On considère la fonctionf d’une variable réelle et à valeurs réelle définie par : f(x) = (p
1−sin(2x) +p
1 + sin(2x))ln|2 cos1 x|.
3 - a) Pour quelles valeurs du réel x l’expression définissant f(x) a-t-elle un sens ? On notera D l’ensemble de ces valeurs.
b) Etudier la parité et la périodicité de la fonctionf. 4 - a) Démontrer que, pour tout réelx, on a : p
1−sin(2x) =|sinx −cosx|.
b) Trouver une expression def(x)plus simple pour x ∈D∩[0,π2].
[On sera amener à donner différentes expression suivant la valeur de x.]
5 - a) Etudier les variations et les limites de f sur l’ensemble D∩[0,π2].
[On pourra être amené à utiliser la question 2].
b) Donner une représentation graphique def. On se placera dans un repère orthogonal direct, avec pour unité 3 cm sur l’axe des abscisse, et 2 cm sur l’axe des ordonnées.
[Il est demandé une allure de la courbe, tracée très proprement, avec indication des asymptotes éventuelles. Mais vous n’êtes pas tenus à une précision inaccessible sans calculatrice.]
Problème 5 NN
Résolution des équations du troisième degré
[Nombres complexes, relations entre coefficients et racines d’un polynôme]
1 - En guise de prologue...
On poseA= 3 q
13+5√ 17
2 + 3
q13−5√ 17
2 .
Trouver une équation du troisième degré, à coefficients entiers, dont Aest solution. En déduire une expression simplifiée deA.
2 - Où l’on se ramène à une équation dite réduite
Soient a, b, c trois nombres complexes quelconques. On considère l’équation du troisième degré à l’inconnuet ∈C :
t3+at2+bt+c= 0 (E).
Démontrer qu’en posant z = t + a3, on peut établir une équation «réduite», équivalente à (E), du type :
z3+pz +q = 0 (R),
oùp etq sont des nombres complexes que l’on précisera en fonction dea,b etc.
3 - Un lemme
Soientα etβ deux nombres complexes quelconques. On pose selon l’usagej =ei2π3. Pour tout nombre complexez, trouver une expression développée simple du produit :
(z+αj +βj2)(z +αj2+βj).
En déduire que, pour tout nombre complexez,
(z +α+β)(z+αj+βj2)(z +αj2+βj) =z3−3αβz+α3+β3.
4 - Une méthode de résolution des équations du troisième degré réduites
Soient p et q deux nombres complexes quelconques. Déduire de la question 3 une résolution sur C de l’équation réduite(R).
Indication : introduire des inconnues auxilliairesαetβ (bien associées), dont les cubesα3 etβ3sont les racines surC de l’équation de degré 2, dite équation résolvante :
Z2−qZ−p3
27 = 0 (Res).
5 - Quelques exemples
Résoudre, sur les corps des complexes, par la méthode précédente, les équations : a) z3−3z+ 2 = 0.
b) z3+ 3z + 2 = 0.
6 - A propos de la résolution sur Rdes équations du troisième degré à coefficients réels Dans cette question, on suppose quep etq sont des nombres réels.
Préciser, en discutant selon les valeurs dep etq, le nombre de racines réelles de l’équation : z3+pz+q (R).
Lorsque cette équation possède une seule racine réelle, exprimer celle-ci en fonction des réelsp etq.
7 - Application à la géométrie des heptagones réguliers
Pour bien commencer 11
a)Soitθ un nombre réel quelconque. Exprimer sin(7θ) polynomialement en fonction desinθ.
a) Démontrer que la résolution de l’équation, à l’inconnue réelle θ : sin(7θ) = 0
conduite à une équation du troisième degré ensin2θ.
b) On désigne parα,β et γ les longueurs (distinctes) des côtés des trois heptagones réguliers que l’on peut inscrire dans le cercle trigonométrique. Déduire de la question précédente queα2,β2 etγ2 sont les racines de l’équation :
z3−7z2+ 14z −7 = 0.
[On aura intérêt à faire dessin pour bien comprendre la question. On précise que les côtés d’un heptagone régulier sont autorisés à se croiser ; on obtient alors une figure qui fait penser à une étoile.]
c) Démontrer que l’équation z3−5z2+ 6z −1 = 0 admet pour racines : 4 cos2π7, 4 cos2 2π7 et 4 cos2 4π7 .
Problème 6 NN
Matrices et homographies complexes
[Matrices, déterminant, nombres complexes, géométrie]
A - Matrices carrées d’ordre 2
Une matrice carrée d’ordre 2 à coefficients dans C est un tableau M contenant quatre nombres complexesa, b, c , d, appelés coefficients deM, et noté :
M= a b
c d
.
On dit que deux matrices sont égales si elles ont les mêmes coefficients. On note M2(C)l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients dansC.
1 - Multiplication des matrices
Soient M = matabc d et M0 = mata0b0c0d0 deux matrices. On appelle produit de M et M0, et on noteM·M0, la matrice définie par :
M·M0 =
aa0+bc0 ab0+bd0 c a0+d c0 c b0+d d0
.
Graphiquement, les calculs s’effectuent de la façon suivante : a0 b0
c0 d0
a b c d
aa0+bc0
; puis
a0 b0
c0 d0
a b c d
aa0+bc0 ab0+bd0
; etc.
a) On pose :A= 1 0
0 1
,B= 1 2
3 4
,C= 1 i
i −1
. Calculer les produits : A·B,A·C,B·C,C·B, C·C.
Culture : la multiplication des matrices que l’on vient de définir est une opération associative, c’est- à-dire que, pour toutes matricesM, M0, M00, on a :(M·M0)·M00=M·(M0·M00).
b) La multiplication des matrices est-elle une opération commutative ?
[Rappel : la multiplication des matrices est dite commutative si, et seulement si, pour toutes matrices M etM0, on aM·M0=M0·M.]
c) Montrer qu’il existe une unique matriceI = matef gh, dont on précisera les coefficients, telle que, pour toute matriceM,
M·I =M
[Indication : en supposant l’existence d’une telle matrice I, on pourra calculer le produit A·I, où A est la matrice définie à la questiona.]
d) Montrer que, pour toute matrice M,I·M=M.
Pour bien commencer 13
2 - Déterminant SoitM =
a b c d
une matrice. On appelle déterminant deM le réel, noté det(M), défini par : det(M) =ad−bc .
a) Calculer le déterminant des matricesA, B, C, I définies précédemment.
b) Montrer que, pour toutes matricesM et M0, on a :
det(M·M0) = det(M) det(M0).
c) Soit M = a b
c d
une matrice telle quedet(M)6= 0. On note ∆ = det(M). Montrer qu’il existe une unique matriceM0 telle que : M·M0 =I, et que cette matrice est :
M0 = d
∆ −∆b
−∆c ∆a
.
Cette unique matriceM0 sera dorénavant appelée inverse deM; on noteraM0 =M−1. d) Montrer queM−1·M=I.
e) SiM = a b
c d
est une matrice etλ∈C, on noteλM la matrice
λa λb λc λd
. Exprimerdet(λM)en fonction deλ etdet(M).
B - Homographies du plan complexe On note ici ¯
C=C∪ {ω}, avecω /∈C (pas d’autre hypothèse sur l’élémentω).
1 - Définitions Soit M =
a b c d
une matrice telle que det(M) 6= 0. On définit l’application hM : ¯C → C¯, appelée homographie associée à la matrice M, de la façon suivante :
Cas 1 : si c= 0, pour tout z ∈C, on pose¯ hM(z) =
az+b
d si z ∈C; ω si z =ω.
On dit quehM est une similitude (directe).
Cas 2 : si c6= 0, pour tout z ∈C, on pose¯ hM(z) =
az+b
c z+d si z ∈C\ {−dc} ; ω si z =−dc ;
a
c si z =ω.
On dit quehM est une homographie non dégénérée.
a) Soit M = a b
c d
une matrice de déterminant non nul, et λ un complexe non nul. Montrer que les homographies hλM ethM sont égales.
b) Soient M = a b
c d
et M0 =
a0 b0 c0 d0
deux matrices de déterminants non nuls. On suppose de plus c6= 0 etc0 6= 0. On noteN=
A B
C D
le produitM·M0. Montrer (soigneusement) que : hM◦hM0=hN.
On admet que ce résultat reste vrai si c= 0ou c0 = 0.
c) Que dire de l’homographie hI, oùI est la matrice définie à la question1-1c)? d) Soit M =
a b c d
une matrice de déterminant non nul. Montrer que hM : ¯C → C¯ est une application bijective, et préciser son application réciproque.
[Indication : on pourra rechercher une homographiehM0 telle quehM◦hM0 =hm0◦hM =IdC¯.]
2 - Les homographies sont 3-transitives
Pour les questionaet b, on acceptera des réponses sans justification.
a) Déterminerune matriceD, dont on précisera les coefficients, telle que l’homographiehD vérifie : hD(0) =ω et hD(1) = 1 et hD(ω) = 0.
b) Déterminer une matriceE, dont on précisera les coefficients, telle que l’homographie hE vérifie : hE(0) = 1 et hE(1) =i et hE(ω) =ω.
c) Soientx , y , ztrois éléments distincts deC. Montrer qu’il existe une unique homographieh : ¯C→C¯ telle que :
h(0) =x et h(1) =y et h(ω) =z . Montrer que ce résultat reste vrai si x,y ouz est égal àω.
[Attention : c’est l’homographie qui est unique, pas la matrice qui la définit.]
d) Soientx , y , z trois points distincts deC, etx0, y0, z0 trois point distincts deC¯. Montrer qu’il existe une unique homographieh telle que :
h(x) =x0 et h(y) =y0 et h(z) =z0.
[Indication : on pourra penser à écrireh=h1◦(h−12 ), oùh1eth2sont des homographies bien choisies, à l’aide de la question c.]
C - Cocyclicité
On appelle cycle-droite de C¯ toute partie de C¯ du type ∆ = ∆¯ ∪ {ω}, où ∆ est une droite du plan complexeC. On appelle cycle de C¯ toute partie deC¯ qui est, soit un cercle du plan complexeC, soit un cycle-droite. Enfin, on dit que quatre pointsz1, z2, z3, z4 deC¯ sont cocycliques s’ils appartiennent à un même cycle.
a) Les points1, i ,−1,−i sont-ils cocycliques ? Idem avec 1 +i ,3 + 4i ,5 + 7i , ω; avec 0,1, ω, i. b) Soient z1, z2, z3, z4 des éléments distincts de C¯. On appelle birapport de ces quatre éléments le nombre complexe :
[z1, z2, z3, z4] = (z1−z2)(z3−z4) (z1−z4)(z3−z4).
[Pour le cas où l’un deszk est égal àω, on pose par convention :∀(z , z0)∈C2 (ω−z(ω−z)0) = (z(z−ω)0−ω) = 1.]
Montrer que les points z1, z2, z3, z4 sont cocycliques si, et seulement si, leur birapport est dansR. [Note : on ne demande pas ici de redémontrer le cours !]
c) Soit s : ¯C→ C¯ une similitude. Montrer que, si les points z1, z2, z3, z4 sont cocycliques, alors les pointss(z1), s(z2), s(z3), s(z4)le sont aussi.
d) Soit la matrice D= 0 1
1 0
, et hD l’homographie qui lui est associée. Montrer que, si les points z1, z2, z3, z4 sont cocycliques, alors les pointshD(z1), hD(z2), hD(z3), hD(z4)le sont aussi.
e) Soith une homographie quelconque. Montrer que, si les pointsz1, z2, z3, z4sont cocycliques, alors les points h(z1), h(z2), h(z3), h(z4)le sont aussi.
[Indication : on pourra montrer que, si h est une homographie non dégénérée, alors il existe des similitudess et s0 telles que h =s◦hD◦s0.]
Pour bien commencer 15
Problème 7 N
Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants
[Equations différentielles, résolution de système]
Soient A, B, C, D, x0, y0 des constantes réelles. Dans chacun des cas proposés, on demande : (a) de déterminer l’ensemble de couples(x , y)de fonctions dérivables de RdansRtelles que :
∀t ∈R,
x0(t) =Ax(t) +By(t)
y0(t) =Cx(t) +Dy(t) (S).
(b) de déterminer l’unique couple (x , y) solution du système différentiel (S) et vérifiant de plus les conditions initiales :
x(0) =x0 ; y(0) =y0.
(c) d’étudier et de représenter graphiquement la courbe planeΓ paramétrée par : x =x(t)
y =y(t) .
Cette courbe est appelée caractéristique du système(S)avec les conditions initiales(x0, y0).
1 - On fixe ici un réelλ. On pose :
A= 1 ; B=C= 0 ; D=λ et x0=y0= 1
Indication : on sera amené à distinguer les cas λ >1,λ= 1,0< λ <1,λ= 0etλ <0.
2 - On fixe un réel a. On pose :
A=D=a ; B=−1 ; C= 1 et x0= 1 ; y0= 0
Indication : on essaiera de se ramener à la résolution d’une équation différentielle linéaire du second ordre ; on sera amené à distinguer les casa >0,a= 0,a <0.
3 - On pose :
A=C=D= 1 ; B= 0 ; C= 1 et x0= 1 ; y0= 0
Indication : là encore, on essaiera de se ramener à la résolution d’une équation différentielle linéaire du second ordre.
Dans chaque cas, si on le souhaite, on pourra représenter, à côté de la caractéristique demandée, d’autres caractéristiques (correspondant à d’autres conditions initiales).
Problème 8 NN
Une équation fonctionnelle, des équations différentielles
[Fonctions deRdansR, équations différentielles]
On noteKl’ensembleRdes nombres réels, ou l’ensembleCdes nombres complexes. On désigne par E l’ensemble des fonctions f deR vers Ktelles que :
∀(x , y)∈R2, f(x +y) +f(x −y) =f(x)f(y).
A – Généralités
1 - Démontrer que l’ensemble E n’est pas vide.
2 - Soitf un élément quelconque de l’ensemble E. a) On suppose que f(0) = 0. Déterminer la fonctionf.
b) On suppose que f(0)6= 0. Calculerf(0), et étudier la parité de l’application f.
c) Soitαun réel quelconque. Montrer que l’applicationfα:R→K, t 7→f(αt)est aussi un élément de l’ensembleE.
B – Eléments de E au moins deux fois dérivables sur R
Soitf un élément deE au moins deux fois dérivable surR, et tel que f(0)6= 0.
1 - Montrer que, pour tout couple(x , y)de réels, f00(x)f(y) =f(x)f00(y).
2 - En déduire qu’il existe une constantec∈Ktelle que
∀t ∈R f00(t)−c f(t) = 0.
3 - Déterminer la fonction f dans chacun des cas suivants : a) sic = 0;
b) si K=Retc >0; c) si K=R etc <0;
d) si K=Cetc 6= 0(on pourra noter ωune racine carrée complexe du nombre c).
C – Eléments de E continus sur R
Soitf une fonction élément deE et continue surR. On noteF :R→Kcelle des primitives def qui s’annule en0.
1 - Démontrer que, pour tout(x , y)∈R2, F(x +y) +F(x −y) =F(x)f(y).
2 - En déduire que la fonctionf est dérivable surR, puis qu’elle est dérivable deux fois.
3 - Conclure.
Equations différentielles, équations fonctionnelles 17
Problème 9 N
Un problème de raccordement de solutions
[Equations différentielles]
On cherche à résoudre l’équation différentielle :
(1−x)y0+x y =ex (E).
Les solutions recherchées sont à valeurs réelles.
On considérera les intervalles I−= ]− ∞,1[ et I+= ]1,+∞[.
1 - Soit I =I− ou I+, et a:I →Rla fonction définie par :
∀x ∈I a(x) = x 1−x. Déterminer une primitive de asur l’intervalle I.
2 - Résoudre, séparément sur les intervalles I− etI+, l’équation différentielle (1−x)y0+x y = 0 (H).
On simplifiera au maximum l’expression des fonctions solutions.
3 - Résoudre, séparément sur les intervalles I− et I+, l’équation différentielle (E). On utilisera au moins une fois la méthode de variation de la constante.
On notera respectivementSI− etSI+ les ensembles de solutions.
4 - Déterminer l’ensemble SR des fonctionsf :R→Rdérivables et solutions de l’équation(E).
5 - Pour tout réel k, montrer qu’il existe une unique fonction fk :R→ Rsolution de (E) telle que fk(0) =k.
6 - Etudier, pour tout réel k, la fonction fk (limites, asymptotes, branches paraboliques, variations, tangente au point d’abscisse 1). Représenter graphiquement les fonctions f0, f1 etf2.
Problème 10
Une équation différentielle linéaire d’ordre 4
[Equations différentielles]
On considère l’équation différentielle d’ordre 4 :
y(4)−2y00+y = 0 (E).
Rappelons quey(4) désigne la dérivée quatrième de la fonctiony.
On noteS l’ensemble des fonctionsf :R→Rdérivables au moins quatre fois et solutions de(E).
1 - Résoudre dansR l’équation :X4−2X2+ 1 = 0.
2 - Soit f : R → K une fonction dérivable au moins quatre fois. Montrer que f est solution de l’équation (E) si, et seulement si, la fonction g = f00−f est solution d’une équation différentielle linéaire (E0)d’ordre 2 que l’on précisera.
3 - Résoudre l’équation (E0).
4 - Déterminer l’ensemble S des solutions à valeurs réelles de l’équation (E).
Equations différentielles, équations fonctionnelles 19
Problème 11 NN
Déterminant, wronskien
[Equations différentielles, algèbre linéaire]
Dans tout le problème, on noteraKle corps Rou C. Pour tout (a, b, c , d)∈K4, on pose :
a b c d
=ad−bc .
Déterminant et systèmes
Soit(a, b, c , d , e, f)∈K6. On considère le système de deux équations à deux inconnues complexes : ax+by =e
c x+d y =f (S).
On posedet(S) =
a b c d .
1 - On suppose ici det(S) 6= 0. En utilisant des combinaisons judicieuses des lignes du système (S), montrer qu’il admet un unique couple solution (x0, y0). On exprimera x0 et y0 en fonction des complexesdet(S),
a e c f
et
e b f d . 2 - On suppose maintenant det(S) = 0.
a) Montrer que le système «homogène»
ax+by = 0 c x+d y = 0 (H)
admet au moins un couple solution (x , y)non nul (c’est-à-dire tel quex 6= 0ou y 6= 0).
On pourra traiter à part le cas a=b=c=d = 0.
b) En déduire que, si le système(S)admet une solution, alors celle-ci n’est pas unique.
3 - IciK=C. Soitα un nombre complexe fixé. On considère le système (1 +i)x + (1−i)y = 1
2x −2i y =α (S).
Déterminer l’ensemble des solutions du système(S).
On sera amené à distinguer des cas selon la valeurs de α.
Propriétés algébriques
4 - Soient a, b, c , d , c0, d0, λ des éléments de K. Exprimer très simplement, en fonction de
a b c d ,
a b c0 d0
etλ, les nombres :
c d a b
;
a b
λc λd
;
a b
c+c0 d +d0 .
5 - SoitI un intervalle de Reta, b, c , d des fonctions dérivables deI dansK. On définit la fonction D:I →K, t 7→
a(t) b(t) c(t) d(t)
. Justifier la dérivabilité de la fonctionD, et exprimer, pour tout t ∈I, le nombre dérivé D0(t) en fonction de
a0(t) b0(t) c(t) d(t)
et
a(t) b(t) c0(t) d0(t)
.
Wronskien de deux fonctions
Soit I un intervalle de R, et f, g deux fonctions dérivables de I dans R. On appelle wronskien du couple (f , g)la fonction notée wf ,g, ou simplement w :
w :I →R, t 7→
f(x) g(x) f0(x) g0(x) .
6 - On fixe des réels r, s, α, ω. Calculer le wronskien w des fonctions f et g de R dans R définies par :
a) pour toutt ∈R,f(t) =er t etg(t) =est. b) pour tout t ∈R,f(t) =er t et g(t) =ter t.
c) pour tout t ∈R,f(t) =eαtcosωt etg(t) =eαtsinωt.
7 - SoitI un intervalle deR, et a, b deux fonctions continues deI dansR. On considère l’équation différentielle à coefficients non constants :
y00+a(t)y0+b(t)y = 0 (E).
Soientf etg deux fonctions deI dansR, au moins deux fois dérivables surI, et solutions de l’équation (E).
a) Montrer que le wronskien w de f et g est solution d’une équation différentielle du premier ordre à coefficients non constants que l’on précisera.
b) En déduire que si le wronskienw s’annule en au moins un pointt0∈R, alors il est identiquement nul surR.
Notion de couple libre ou lié de fonctions
Soit I un intervalle de R. On note ˜0 : I → R l’application nulle. Etant données deux fonctions quelconquesf etg deI dansR, on dit que le couple(f , g)est lié si :
f = ˜0 ou ∃λ∈R, g =λf . Dans le cas contraire, on dit que le couple (f , g)est libre.
8 - a) Ecrire, à l’aide de quantificateurs, la proposition : «le couple (f , g)est libre».
b) Soient f :R→R, t 7→2007t etg :R→R, t 7→2008t. Le couple (f , g)est-il libre ou lié ? c) Soient f :R∗+→R, t 7→t etg :R∗+→R, t 7→ 1t. Le couple (f , g)est-il libre ou lié ?
9 - a) Montrer que, si le wronskien w def etg n’est pas la fonction nulle, alors le couple(f , g)est libre.
b) On suppose ici que la fonctionf ne s’annule pas sur l’intervalle I. Montrer que, si le wronskien w def etg est égal à la fonction nulle, alors le couple(f , g)est lié.
Equations différentielles, équations fonctionnelles 21
Problème 12
Autour d’une hyperbole équilatère
[Géométrie plane, coniques]
Soit R = (O,−→ i ,−→
j ) un repère orthonormal du plan, et H la partie du plan dont une équation cartésienne dans le repèreR est :x2−y2= 1.
1 - Démontrer que H admet deux axes de symétries ∆et ∆0 que l’on précisera.
2 - On pose −→ uπ
4 =
√2 2 (−→
i +−→ j )et−→
vπ
4 =
√2 2 (−−→
i +−→ j ).
Démontrer que le repère R0 = (O,−→ uπ
4,−→ vπ
4) est orthonormal, et donner une équation cartésienne de l’ensembleH dans ce repère.
On notera (X, Y)les coordonnées dans le repère R0.
3 - Donner, dans le repèreR0, des équations cartésiennes des droites ∆ et∆0.
4 - Montrer que, dans le repère R0, l’ensemble H est la courbe représentative d’une fonction de R∗ dansRque l’on précisera.
5 - SoitAle point deHdont l’abscisse (dans le repère R0) est 1. On noteDla tangente à la courbe H au point A.
Déterminer une équation de D dans le repère R0, puis dans le repèreR. En déduire, dans le repère R, les coordonnées d’un vecteur −→
t unitaire et tangent à la courbe H au point A.
6 - Sur un dessin, (unité 3 cm), Représenter les deux repèresR etR0, l’ensemble H, les axes ∆ et
∆0, la droiteD et le vecteur−→ t .
Note : si vous avez eu l’idée de commencer par lire l’énoncé jusqu’au bout, vous aurez aussi sûrement celle de faire une ébauche de dessin, au moins au brouillon, bien avant la question 6...
Problème 13 N
Une corne de gazelle
[Courbes paramétrées]
On se place dans le plan muni d’un repère orthonormal directR= (O,−→ i ,−→
j ). On considère la courbe C paramétrée, en coordonnées cartésiennes, par :
x(t) = sin2t
2 + sint ; y(t) = cost.
Pourt ∈R, on notera M(t)le point de coordonnées (x(t), y(t)).
a) Préciser le domaine de définition des fonctionsx ety et montrer qu’on peut restreindre le domaine d’étude àI = [−π2,π2]. On indiquera clairement la ou les tranformation(s) nécessaire(s) pour obtenir le tracé définitif de la courbe C.
b) Etudier les variations des fonctions x et y sur l’intervalle I, et montrer qu’il existe un unique t0 ∈I (que l’on précisera) tel que la courbe C soit singulière au point M(t0). On déterminera aussi les tangentes horizontales et/ou verticales deC.
c) Montrer que la courbe C possède une tangente ∆au point M(t0), et donner une équation carté- sienne de∆.
d) Pour tout t ∈I, déterminer la position du point M(t)par rapport à la droite∆.
Indication : pour mener les calculs au bout, on pourra introduire le réel T = tant2. e) Tracer, aussi précisément que possible, l’allure de la courbeC (unité : 6 cm)
Géométrie élémentaire, courbes paramétrées, coniques 23
Problème 14 N
Des problèmes de lieux
[Géométrie plane, coniques, courbes paramétrées]
Les deux exercices proposés sont totalement indépendants.
A - Construction d’une parabole à la règle et au compas
Soit a un réel strictement positif fixé. On se place dans le plan muni d’un repère orthonormal direct R= (O,−→
i ,−→
j ). SoitF le point de coordonnées cartésiennes(0, a). On note P la parabole de foyer F et de directrice(Ox).
a) Déterminer une équation cartésienne de la paraboleP.
b) SiMest un point deP, on noteQle projeté orthogonal du pointF sur la tangente àP au point M. Faire une figure propre. Déterminer le lieu du pointQ lorsque le pointM décrit la parabole P. On utilisera un paramétrage de la paraboleP; on obtiendra une droite.
c) Retrouver le résultat précédent par un raisonnement géométrique.
d) On garde les notations de la question b). On suppose connaître le point Q. Expliquer comment contruire, à la règle et au compas, et à partir des pointsQ,F et de la droite(Ox), le pointM.
B - Lieu de l’orthocentre d’un triangle dans une ellipse
Soit E une ellipse, F et F0 ses foyers. Un point M décrit E. On veut déterminer le lieu L de l’orthocentreH du triangle F MF0.
a) Faire un dessin (non noté mais indispensable). Démontrer que L possède deux axes de symétrie.
b) On notea le demi-grand axe et b le demi-petit axe de l’ellipse. Choisir un repéreR adapté, puis un paramétrage cartésien de l’ellipseE dans ce repère. Préciser les coordonnées des foyers F etF0, ainsi que l’excentricitée de l’ellipse. [On ne demande pas de démonstration pour cette question.]
c) Etant donné un pointM(t)de l’ellipseE, déterminer les coordonnées(X(t), Y(t))de l’orthocentre H(t)du triangle F M(t)F0 (s’il existe).
d) Représenter aussi précisément que possible l’ellipseE et le lieu L.
Problème 15 N
La strophoïde droite
[Géométrie plane, courbes paramétrées]
Problème :Etant donné un cercleC de centre O, etAun point fixé deC, on cherche à représenter le lieu de l’orthocentre H du triangle OAM lorsque le point M décrit C (privé du point A et de son symétrique par rapport àO, pour la bonne définition deH).
1 - On note a=OAle rayon non nul du cercle C, et on se place dans le repère orthonormal direct R = (O,−→
i ,−→
j ) centré en O et tel que −→
OA=a−→
i . On noteB le symétrique de Apar rapport à O.
Etant donnéM ∈C \ {A, B}, on noteθ∈Rune mesure de l’angle orientéAOM\. Faire une figure propre.
2 - En remarquant que le triangle AOM est isocèle, déterminer, en fonction de θ, les coordonnées cartésiennes de son orthocentreH.
3 - On note t = θ2 (justifier cette définition). Quelles valeurs prend t quand M décrit C \ {A, B}? Exprimer les coordonnées cartésiennes deH en fonction de t.
On les notera désormaisx(t)ety(t), et le point H sera notéH(t). On noteraS ={H(t) ; t ∈R}; cette courbe est appeléestrophoïde droite.
4 - Montrer que la courbeS possède un axe de symétrie. Etudier les variations et limites des fonctions x et y sur un intervalle approprié.
5 - Représenter, sur une même figure, le cercle C et la courbe S (a = 3c m). On précisera les asymptotes éventuelles, et la position deS par rapport à ces asymptotes ; on montrera aussi queS possède un point double, et on déterminera les deux tangentes àS en ce point.
Géométrie élémentaire, courbes paramétrées, coniques 25
Problème 16 NN
Des courbes définies par équation polaires
[Courbes en polaires, fonctions trigonométriques]
Les deux exercices proposés sont totalement indépendants.
A
Problème :représenter la courbeΓ d’équation polaireρ(θ) = 1−tansin 2θθ (dans un repère orthonormal).
1 - Déterminer l’ensemble de définition Dde la fonctionρ, et montrer qu’on obtient toute la courbe Γ en la représentant seulement pour θ∈D∩[−π4,7π4 ].
2 - Montrer que la courbeΓ possède un centre de symétrie.
4 - Etudier, sur un intervalle convenable, les variations et limites de la fonctionρ. Préciser les tangentes àΓ en l’origine du repère.
5 - Montrer que Γ possède des asymptotes que l’on précisera (on sera sans doute amené à faire un changement de repère). Si possible, préciser la position de Γ par rapport à ces asymptotes.
6 - Représenter la courbe Γ (unité : 3 cm).
B
On se place dans le plan euclidien, muni d’un repère orthonormal directR= (0,−→ i ,−→
j ). On se propose d’étudier la courbeΓ d’équation polaire ρ=r(θ), avec :
r(θ) = sinθ+ sin 2θ+ sin 3θ 1−sinθ .
1 - Préciser l’ensemble de définition D de la fonctionr. On décide de faire varier θ dans l’ensemble A=D∩[0,2π]. Montrer que cela suffit à obtenir tous les points de la courbe Γ.
2 - Déterminer les points d’annulation de la fonction r sur l’ensemble A, puis étudier son signe sur A. On pourra pour cela chercher à factoriser le numérateur de l’expression de r(θ).
3 - Déterminer un vecteur directeur de chaque tangente à la courbeΓ au point O.
4 - Démontrer qu’au voisinage de π2 la courbe Γ admet pour asymptote la droite d’équation carté- sienne x = 4dans le repère R.
5 - Démontrer que la courbe possède un point multiple autre que le pointO. On le noteraI. Déterminer ses coordonnées cartésiennes, et un vecteur directeur de chacune des tangentes à la courbeΓ au point I.
6 - Etudier le signe surAde la fonctionθ 7→r(θ) +r(θ+π). Quel intérêt présente cette étude pour le tracé de la courbeΓ?
7 - A l’aide des informations précédentes, et de quelques valeurs déterminées à la calculatrice, effectuer un tracé aussi précis que possible de la courbeΓ (on choisira une échelle adaptée).
Problème 17 NNN
Minimum d’une somme de distances
[Nombres complexes, inégalité triangulaire]
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Dans le plan complexe, soient A1, . . . , An n points d’affixes respectivesz1, . . . , zn supposées toutes non nulles. Pour tout k ∈[[1, n]], on pose ap= |zzp
p|. On suppose :
a1+a2+. . .+an= 0 (?).
1 - SoitM un point quelconque du plan complexe, etz ∈Cson abscisse.
a) On poseS(z) = ¯a1(z−z1) + ¯an(z −zn) +. . .+ ¯an(z −zn).
Montrer queS(z)est un nombre réel strictement négatif, et que sa valeur est indépendante du choix du nombre complexez.
b) En déduire que :
|z −z1|+. . .+|z −zn|>|z1|+. . .+|zn| (??).
2 - On noteE l’ensemble des pointsM du plan complexe dont l’affixe z vérifie :
|z−z1|+. . .+|z −zn|=|z1|+. . .+|zn| (? ? ?).
a) Démontrer qu’un pointM du plan complexe, d’affixez, appartient à l’ensembleE si, et seulement si, les nombres complexes a¯k(z −zk)(pourk ∈[[1, n]]) sont tous des réels négatifs ou nuls.
[On pourra rappeler, sans démonstration, la condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait égalité dans l’inégalité triangulaire, et établir une généralisation pourn nombres complexes.] A améliorer ! b) Interpréter géométriquement : la définition des nombres complexes ak; les relations (?), (??), (? ? ?).
c) Déterminer l’ensembleE, en discutant selon que les points(Ak)k∈[[1,n]]sont alignés ou non. Préciser le casn = 2.
3 - Dans cette question, on choisit, pour tout k ∈[[1, n]],zk =eik2πn , etz = 1.
a) Ecrire, en justifiant son emploi, l’inégalité(??), et indiquer dans quel cas on a l’égalité(? ? ?).
b) En déduire les encadrements : n
2 6
n
X
k=1
sink π
n 6n (a) ; 1
n 6tan π 2n 6 2
n (b).
Géométrie élémentaire, courbes paramétrées, coniques 27
Problème 18 NNN
Parabole, triangle et droite de Steiner
[Géométrie plane, coniques]
Dans ce problème, on n’hésitera pas à faire des figures nombreuses, au brouillon et/ou au propre. Il est fortement conseillé de lire entièrement l’énoncé avant de commencer à chercher.
SoientA, B, Ctrois points non alignés du plan. On noteA0, B0, C0les milieux des côtés[BC],[CA],[AB]; G le centre de gravité, etH l’orthocentre du triangleABC. On note enfin C le cercle circonscrit au triangleABC, etO son centre.
On rappelle le résultat suivant, démontré en exercice : le point O est l’image du pointH par l’homo- thétie de centreG et de rapport −12.
1 - Symétriques de l’orthocentre a) En remarquant que −→
HA= 2−−→
A0O, montrer que le symétrique I du pointH par rapport au point A0 appartient au cercleC.
b) Montrer qu’il en est de même pour le symétriqueJ du pointH par rapport à la droite (BC).
2 - Droite de Simson
Soit M un point quelconque du plan. On note P, Q, R les projetés orthogonaux deM sur les droites (BC),(CA),(AB).
a) On suppose ici que M n’appartient à aucune des droites (BC),(CA),(AB). Après avoir vérifié que les points M, P, Q, R sont distincts, montrer que QP R[ ≡\ACM+MBA\ [π]. En déduire que les pointsP, Q, R sont alignés si, et seulement si, le pointM appartient au cercleC (privé deA, B, C).
b) On suppose maintenant que le point Mappartient à l’une des droites(BC),(CA),(AB). Montrer que les points P, Q, R sont alignés si, et seulement si,M∈ {A, B, C}.
SiMappartient au cercleC, l’unique droite contenant les pointsP, Q, Rest appelée droite de Simson de M relativement au triangleABC, et notée dM.
c) Reconnaître les droites de Simson dA, dB, dC des pointsA, B, C relativement au triangleABC. 3 - Droite de Steiner
On appelle droite de Steiner du point M relativement au triangle ABC la droite ∆M image de dM dans l’homothétie de centreM et de rapport 2. On noteP0, Q0, R0 les images des pointsP, Q, R dans cette même homothétie.
a) Si M ∈ {A, B, C, J}, montrer que la droite de Steiner ∆M contient l’orthocentre H du triangle ABC.
b) On suppose maintenant queM∈C\ {A, B, C, J}. On noteN le deuxième point d’intersection de la droite (MP)avec le cercle C. Si (MP)est tangente à C, on poseN=M.
Dans ces deux cas, montrer que(−→\ NA,−−→
P M)≡QP M\ [π]. En déduire que les droites (AN)etdM sont parallèles.
c) Toujours avec M∈C \ {A, B, C, J}, montrer queHP\0M ≡NAJd [π]. En déduire que la droite de Steiner∆M contient l’orthocentreH.
4 - Parabole et triangle
SoitP une parabole de foyerF et de directriceD, etα, β, γ trois points distincts deP.
a) Montrer que les tangentes à la paraboles P aux points α, β, γ sont deux à deux sécantes ; on noteA, B, C leurs points d’intersection.
b) Faire une grande figure, où apparaîtrons le foyer F, la directrice D, les points α, β, γ et les tangentes à P en ces points, les points A, B, C, leur cercle circonscrit et l’orthocentre du triangle ABC... et pourquoi pas une ébauche de la parabole P.
c) Montrer que les points A, B, C, F sont cocycliques, et que la directrice D est la droite de Steiner du pointF relativement au triangleABC. En déduire que l’orthocentre du triangleABC appartient à la directrice de la paraboleP.
d) Comment interpréter la droite de Simson du point F relativement au triangle ABC?
Géométrie élémentaire, courbes paramétrées, coniques 29
Problème 19 NN
Caractérisation des tangentes à une conique
[Géométrie plane, coniques, résolution d’équations]
Dans cet exercice, on fera apparaître clairement les disjonctions de cas qui seront nécessaires.
Soitαetβ deux réels strictement positifs fixés. On se place dans le plan muni d’un repère orthonormal direct R= (O,−→
i ,−→ j ).
1 - On considère l’ellipse E d’équation cartésienne αx22 +yβ22 = 1.
a) Soit(a, b, c)∈R3tel quea6= 0oub6= 0, et soitD la droite d’équationax+by =c. Déterminer, selon les valeurs dea,b etc, le nombre de points d’intersection de la droite D avec l’ellipse E. Indication : on sera amené à faire intervenir le réel δ= (αa)2+ (βb)2−c2.
b) On admet que la droiteD est tangente à l’ellipseE si, et seulement si, elles se rencontrent en un point unique. Donner une condition nécessaire et suffisante sur le réelδ pour que D soit tangente à E.
2 - On considère l’hyperbole H d’équation cartésienne αx22 −βy22 = 1.
a) Soit(a, b, c)∈R3tel quea6= 0oub6= 0, et soitD la droite d’équationax+by =c. Déterminer, selon les valeurs dea,b etc, le nombre de points d’intersection de la droite D avec l’hyperbole H. b) Faire un dessin. Démontrer qu’il existe au moins une droite qui rencontreH en un point unique, mais qui n’est pas tangente à H.
c) Quelles sont les droites qui, sans lui être tangentes, rencontrent H en un seul point ? (On ne demande pas de démonstration.)
b) A partir des résultats des questions a) et c), donner une condition nécessaire et suffisante sur α, β, a, b, c pour que la droite D soit tangente à l’hyperbole H.
Problème 20 N
Suites récurrentes doubles
[Suites numériques, nombres complexes, algèbre linéaire]
A noter : les résultats et méthodes obtenus dans ce problème seront désormais considérés comme partie intégrante du cours.
On fixe deux nombres complexesa et b.
L’objectif est de déterminer l’ensembleE des suites complexes(un)n∈Ntelles que :
∀n∈N un+2=aun+1+bun (?)
1 - a) Montrer queE est non vide.
b) Montrer que, siu etv sont deux suites appartenant à E, et λ un nombre complexe quelconque, alors les suitesu+v et λu appartiennent à E.
c) Montrer que l’application ϕ:E →C2, u 7→(u0, u1)est injective.
On admet queϕest aussi surjective. On a ainsi prouvé que l’ensembleE est un sous-espace vectoriel de dimension 2 duC-espace vectorielCN.
2 - Soitr un élément de C, et u la suite définie par : ∀n ∈Nun=rn. Montrer que la suite (un)n∈N appartient àE si, et seulement si,r est une solution de l’équation caractéristique :
X2−aX−b= 0 (EC)
On notera ∆le discriminant de l’équation caractéristique.
3 - On suppose ici∆6= 0, et on noter1 etr2 les deux racines complexes de l’équation(EC).
a) Montrer que, pour tout(A, B)∈C2, la suite v, définie par∀n∈N un=Ar1n+Br2n, appartient à E.
b) Soit maintenant u une suite complexe quelconque élément de E. Montrer que le système : A+B=u0
r1A+r2B=u1 (CI)
admet un unique couple solution(A, B)∈C2.
c) Soit (A, B) le couple solution du système(CI). Montrer que, pour toutn ∈N, un=Ar1n+Br2n.
(On pourra se reporter à la question1 - c).)
Proposition :Si ∆6= 0, soient r1 etr2 les deux racines de(EC). Alors, pour toute suiteu ∈CN :
u ∈E ⇔ ∃(A, B)∈C2 ∀n∈N un=Ar1n+Br2n.
Ensembles de nombres, suites numériques 31
4 - On suppose ici∆ = 0, et on note r l’unique racine complexe de l’équation(EC).
a) Montrer que la suite(nrn)n∈N appartient àE.
b) Montrer que, pour tout (A, B)∈C2, la suite v, définie par ∀n∈N un = (An+B)rn, appartient àE.
c) Soit maintenant u une suite complexe quelconque élément deE. Montrer que, sir 6= 0, il existe un unique couple (A, B)∈C2 tel que :
∀n ∈N un= (An+B)rn.
(On détermineraA etB en fonction deu0 etu1.) Et si r = 0?
Proposition :Si ∆ = 0, soit r l’unique racine de(EC). Si r 6= 0alors, pour toute suite u ∈CN :
u ∈E ⇔ ∃(A, B)∈C2 ∀n∈N un= (An+B)rn.
5 - Soit v la suite complexe définie par :
v0= 0 ; v1= 1 ;
∀n ∈N vn+2=vn+1−vn.
a) Calculer le terme général vn de la suite v en fonction de n. Vérifier que la suite v est à valeurs réelles.
b) En déduire que la suitev est périodique, c’est-à-dire qu’il existeT ∈N∗ tel que :
∀n∈N un+T =un.
6 - Soit f la suite réelle définie par :
f0= 0 ; f1= 1 ;
∀n∈N fn+2=fn+1+fn.
a) Résoudre l’équationX2−X−1 = 0. On noteϕsa racine positive ; c’est le fameux «nombre d’or».
b) Calculer le terme généralfn de la suite(fn)n∈N en fonction den.
c) Montrer que fn+1f
n −−−−−−→
n→+∞ ϕ.
7 - Soit w ∈CNune suite telle que : ∀n∈Nwn+2=−wn−2wn+1. a) Calculer le terme général vn de la suite v en fonction den.
b) Montrer quew est convergente si, et seulement si, w est la suite nulle.
