DYNAMIQUE - OSCILLATIONS FORCÉES - corrigé des exercices

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DYNAMIQUE - OSCILLATIONS FORCÉES - corrigé des exercices

I. Amortissement et puissance dissipée

a.

• Lʼéquation de lʼoscillateur considéré est de la forme : x^•• + 2α x^• + ω₀² x =

!

F₀ m ^e

jωt (en notations complexes) où m est le coefficient dʼinertie de lʼoscillateur, où k = mω₀² est son coefficient de “raideur”, et où f = 2αm correspond au “frottement” équivalent causant lʼamortissement.

• La solution est : x = X_m e^j(ωt+φ) avec : X_m =

!

F₀ m "²# "0

(

2

)

²⁺

⁽

^2$"

⁾

²

et φ =

!

arctan 2"#

#²$ #₀²

%

&

''

( )

** ^et

la vitesse est donc : v = x^• = jωX_m e^j(ωt+φ).

• La puissance étant une quantité “quadratique”, il est plus simple dʼutiliser les notations réelles : x(t) = X_m cos(ωt+φ) et v(t) = -ωX_m sin(ωt+φ). On obtient ainsi :

p(ω, t) =

!

F•v = F.v = -ωX_mF₀ cos(ωt) sin(ωt+φ) = -

!

1

2 ^ωXmF0 [sin(2ωt+φ) + sin(φ)] ; P(ω) = <p(ω, t)> = -

!

1

2 ^ωXmF0 sin(φ) avec sin(φ) = -

!

2"#

#²$ #0

(

2

)

²⁺

⁽

^2"#

⁾

²

;

P(ω) =

!

"#²F₀²

m$ #^&_'⁽

(

²% #₀²

)

²⁺

⁽

^2"#

⁾

²⁾_*^+.

b.

• L'étude peut être simplifiée en utilisant les notations réduites

!

"

#₀^,

!

"

"₀ ^{et P0 =}

!

F₀² m"₀ ^:

!

P P₀ ⁼

!

"

#₀

#

#₀

$

%& ' ()

2

#

#₀

$

%& ' ()

2

*1

$

%

&

&

' ( ))

2

+ 2 "

#₀

#

#₀

$

%& '

()

2.

• Avec ces notations, la courbe de résonance en puissance a l'allure suivante :

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

!/!0

P/P0

2

II. Diagramme de phase

• La solution des équations du mouvement sʼécrit : x = X_m cos(ωt+φ) et

!

x^•

"₀ ^{= -Xm sin(ω0t+φ)}

!

"

"₀^.

• Le diagramme de phase correspond donc à une ellipse de demi-axe horizontal X_m et de demi-axe vertical X_m

!

"

"₀ (lʼellipse est aplatie horizontalement ou verticalement selon que ω est inférieur ou supérieur

à ω₀).