Mécanique du point : oscillations forcées (PCSI)

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Mécanique du point : oscillations forcées (PCSI)

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Exercice Modèle atomique de Thomson

On considère le modèle atomique de Thomson : un électron se trouve à une distance d'équilibre du noyau. Il est ramené à sa position d'équilibre par une force de rappel élastique−→

R =−k−→r. Lors de son déplacement, l'électron subit également une force−→

F =−h_dt^d³3−→r dite Brehmstrallung et qui traduit ses interactions avec le son propre champ.

L'électron est initialement au repos. A partir det= 0, il est soumis à un champ électrique de la forme

−

→E =E₀cos(ωt)−→e_x.

1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, exprimez l'équation diérentielle vériée par le déplacement −→r de l'électron.

2. On cherche à présent à résoudre cette équation diérentielle. En supposantk h, déterminez la forme de la solution de l'équation homogène. Que devient-elle quandt→+∞?

3. En considérant un régime sinusoïdal forcé, déterminez une relation entreret E₀.

4. On considère que le champ électrique provient de la lumière du soleil. En quoi cette hypothèse permet-elle de simplier l'expression de r? Déterminez alors la forme de la solution de l'équation diérentielle au bout d'un temps long.

5. Calculez la puissance moyenne dissipée par l'électron au cours de son mouvement.

6. Expliquez pourquoi le ciel est bleu.

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On considère un mobile auto-porteur relié à deux ressorts identiques de longueur à vide l₀ et de constante de raideur k. Leurs points d'attache xes sont distants d'une distanced. Un moteur impose une force excitatrice

−

→F =F0cos(ωt)−→

Uxet les frottements uides sont modélisés par une force −→

f =−αx˙−→ Ux. 1. Exprimez l'équation diérentielle vériée par la positionx.

2. Montrez que l'équation se met sous la formeX¨ +^ω_Q⁰X˙ +ω²₀X =H₀cos(ωt). 3. Exprimez l'équation diérentielle vériée par la vitesseX˙.

4. En utilisant les notations complexes, exprimez X˙. 5. On se place àω=ω0. Quelle est alors l'expression dex˙?

6. Comment déterminer expérimentalement les constantes H0 etα?

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Exercice Dissociation moléculaire

On s'intéresse à la rupture d'une molécule diatomique sous l'eet d'un champ électrique. On modélise la molécule par un couple de masses m reliées par un ressort de constante de raideur k et on note ω₀=

qk m.

On considère que l'atome 1 reste immobile et que seul l'atome 2 se déplace. On note−→r =−−−−→

M1M2. On considère que la molécule est rompue sir > R.

Pour modéliser la polarisation de la liaison, on supposera que l'atome 2 porte une charge électriqueq. On se placera dans la suite du problème en régime forcé stationnaire établi.

1. La molécule est soumise à un champ électrique−→

E =E₀cos(ω₀t)−→e_x.

(a) Montrez en quoi une solution de la forme particulière de la forme−→r =−→r0cos(ω0t+ϕ)ne peut pas convenir.

(b) On cherche la solution sous la forme−→r = (Acos(ω0t) +Bsin(ω0t))t−→ex. DéterminezAetB. (c) Quelle valeur minimale doit avoir le champ−→

E pour rompre la molécule ?

2. On modie à présent le modèle de la molécule pour faire apparaitre un facteur de qualité Q. (a) Déterminez l'expression de−→r.

(b) Quelle valeur minimale doit avoir le champ−→

E pour rompre la molécule ? Solution

En régime stationnaire, on suppose que la composante issue de l'équation homogène a disparu et on ne considère plus que la contribution de la solution particulière. Par conséquent, on ne tiendra aucun compte des conditions initiales, disparues avec le régime transitoire.

1. Recherche d'une solution particulière dans le cas parfait

On cherche donc à trouver une solution particulière, en imaginant une forme de solution et en vériant que cette forme est acceptable (raisonnement dit Analyse - Synthèse en maths).

(a) Première tentative

La position de l'atome 2 vérie l'équation diérentielle imposée par le principe fondamental de la dynamique :

m^d²−→r

dt² = −k−→r +q−→ E

⇔ ^d²−→r

dt² +ω²₀−→r = ^qE_m⁰cos (ω₀t)−→e_x

Supposons qu'il existe une solution de la forme−→r_p(t) =−→r₀cos (ω₀t+ϕ). Injectons cette solution dans l'équation diérentielle ci dessus pour déterminer la valeur du paramètre −→r₀ :

−ω²₀−→r₀cos (ω₀t+ϕ) +ω₀²−→r₀sin (ω₀t+ϕ) = ^qE_m⁰cos(ω₀t)−→e_x

ce qui n'est possible que si E₀= 0. Par conséquent, la forme de solution proposée a priori n'est pas acceptable pour ce problème.

(b) Seconde tentative

Supposons qu'il existe une solution de la forme −→rp(t) = (Acos (ω0t) +Bsin (ω0t))t−→ex. On a alors

d−→r_p

dt = (Acos (ω₀t) +Bsin (ω₀t)−Aω₀tsin (ω₀t) +Bω₀tcos (ω₀t))−→e_x d²−→rp

dt² = −2Aω0sin (ω0t) + 2Bωcos (ω0t)−Aω²₀tcos (ω0t)−Bω²₀tsin (ω0t)−→ex

et en injectant la forme de la solution dans l'équation diérentielle,

−2Aω0sin (ω0t) + 2Bωcos (ω0t)−Aω²₀tcos (ω0t)−Bω²₀tsin (ω0t) + ω²₀(Atcos (ω0t) +Btsin (ω0t)) = ^qE_m⁰cos (ω0t)

2 Daniel Suchet - 2012

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Pour que cette équation soit vraie∀t, on doit avoir, à cause de la liberté des familles trigonométriques,

2Bωcos (ω₀t) = qE₀

m cos (ω₀t)

−2Aω0sin (ω0t) = 0

ce qui impose

B = qE0

2mω A = 0

Figure 1 Forme qualitative de la solution particulière (unités arbitraires).

(c) Quelque soit le champ E06= 0 imposé, la distance |−→r(t)|n'est pas bornée. Il existe donc nécessaire- ment un instantτ tel que|−→r(τ)|> R pour tout champE0 arbitrairement petit.

2. Recherche d'une solution particulière dans le cas avec pertes (a) Forme de la solution particulière

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'atome 2 donne, en tenant compte du coecient de qualité,

d²−→r

dt² +^ω_Q⁰^d−→r

dt +ω₀²−→r =_m^qE₀cos (ω₀t)−→e_x

On cherche à nouveau une forme mathématique pour la solution particulière. On peut envisager une solution de la forme −→rp(t) = −→r0cos (ω0t+ϕ). En passant en notations complexes, on obtient l'équation

−ω₀²−→r₀eî(ω⁰^t+ϕ)+i^ω_Q⁰²−→r₀eî(ω⁰^t+ϕ)+ω₀²−→r₀eî(ω⁰^t+ϕ)= _m^qE₀eîω⁰^t−→e_x d'où on déduit

i^ω_Q²⁰−→r₀e^iϕ= _m^qE₀−→e_x

⇒

−→r0 = _mω^q2 0

QE0−→ex

ϕ = −^π₂

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(b) Le mouvement est d'amplitude constante. Pour rompre la liaison, on doit donc avoir

|−→r0| ≥ R

⇔ _mω^q2 0

QE0 ≥ R

⇔ E0 ≥ ^mω_qQ²⁰^R

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