PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE
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Une cible C est abandonnée sans vitesse initiale, d’une hauteur h, à l’instant même où le projectile P est lancé. On supposera les frottements négli- geables.
Trouver l’angle β pour que celui-ci atteigne la cible.
Réponse : tanβ = Lh
C
L
h
P vo
β
2 Bond sur la Lune
Dans l’album de Tintin, "On a marché sur la Lune", le capitaine Haddock est étonné de pouvoir faire un bond beaucoup plus grand que sur Terre : c’est le sujet de cet exercice.
On assimile le mouvement du capitaine Haddock à celui de son centre de gravitéM, auquel on attribue la masse m. Il saute depuis le sol lunaire avec une vitesse initialev0 faisant un angle α avec le sol. On note g` l’accélération de la pesanteur à la surface de la Lune. En l’absence d’atmosphère, on peut considérer qu’il n’y a aucune force de frottement.
1) Déterminer l’expression de la distance horizontale parcourue au cours du saut en fonction dev0, α etg`.
2) Sur la Lune, la pesanteur est environ six fois moins forte que sur la Terre. Quelle sera la distance horizontale parcourue par le sauteur sur la Lune, si elle est ded= 1,5m sur la Terre, pour une même valeur de v0 et de α?
Réponse : d` = 9 m.
3 Point mobile sans frottement sur une sphère
On lâche sans vitesse initiale une masse m depuis un point infiniment proche de S, sommet d’une sphère de rayon a, sur laquelle cette masse glisse sans frottement.
Étudier le mouvement de cette masse. Pour quelle valeur deθ quitte-t-elle la surface de la sphère ?
Indication : chercher à exprimer la réaction du support, puis chercher la valeur de θ pour laquelle elle s’annule.
Réponse : cosθ = 23
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4 Charge soulevée par une grue
Une grue de chantier de hauteurh doit déplacer d’un point à un autre du chantier une charge de massem assimilée à son centre de gravitéM. Le point d’attache du câble sur le chariot de la grue est noté A.
1) Le point A est à la verticale de M posé sur le sol. Déterminer la tension à appliquer au câble pour qu’il soulève très doucement le point M du sol.
2) L’enrouleur de câble de la grue le remonte avec une accélération verticale av constante.
Déterminer la tensionT du câble. Quelle remarque peut-on faire ?
3) La montée de M est stoppée à mi-hauteur mais le chariot A se met en mouvement vers la droite avec une accélération horizontale ah constante.
a) Quelle est l’accélération de M sachant que l’angle α reste constant au cours du temps ? b) Déterminer l’angle α que fait le câble avec la verticale en fonction de g et ah ainsi que la tension du câble en fonction de m, g et ah. Les forces de frottement seront supposées négligeables.
Réponse : 3.b) tanα=ah/g; T =mp
g2+a2h.
5 Mouvement d’une bille dans une tige en rotation
On considère une bille assimilable à un point matériel M de masse m, se déplaçant sans frottement à l’in- térieur d’un tube en rotation dans un plan horizon- tal à la vitesse angulaire constante θ˙ = ω par rap- port au référentiel du laboratoire R0 supposé galiléen.
On note −−→
OM = r ~er et g l’accélération de la pesan- teur.
1) Exprimer la vitesse et l’accélération de M dans R0, sur la base de projection (~er, ~eθ).
2) On se place dans le référentiel R0. Montrer que la
projection du principe fondamental de la dynamique sur~er permet d’établir l’équation diffé- rentielle vérifiée par r sous la forme :
¨
r−Kr= 0 2
oùK est une constante positive que l’on exprimera en fonction de ω.
On considère qu’à t= 0,r(0) =r0 etr(0) = 0. Établir l’expression de˙ r(t).
3) On note R~ la force qu’exerce le tube sur la bille. Exprimer les composantes de R~ sur la base de projection (~er, ~eθ, ~ez) en fonction der0, m, g, ω et t.
6 Viscosité de l’eau
Un grain de sable sphérique, de rayon R= 0,050 mm, de volume 4
3πR3, de masse volumique ρ = 2,6.103 kg.m−3, tombe verticalement dans de l’eau. On donne l’accélération de la pe- santeur g = 9,8 m.s−2. On notera Oz l’axe vertical descendant et~uz un vecteur unitaire sur cet axe. Ce grain de sable subit, outre son poids, une force exercée par l’eau qui, dans les conditions de l’expérience, se décompose en deux termes :
– une force verticale, dirigée vers le haut, d’expression F~1 =−4
3πR3ρeg~uz où ρe est la masse volumique de l’eau (ρe= 1,0.103 kg.m−3) ;
– une force de frottement qui s’oppose au mouvement et dont l’expression est F~2 =−6πηR~v oùη est un coefficient appelé coefficient de viscosité et~v le vecteur vitesse du grain de sable.
On note le vecteur vitesse du grain de sable sous la forme~v =v~uz. 1) À quoi correspond la force F~1?
2) On se place dans le référentiel du labo supposé galiléen. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par v. On notera∆ρ=ρ−ρe.
3) Montrer que le grain de sable atteint une vitesse limite vlim que l’on exprimera en fonction de R, g, ∆ρ et η. On mesure vlim = 8,7.10−3 m.s−1. Calculer numériquement la viscosité de l’eau dans les conditions de l’expérience (l’unité de viscosité dans le système international est le Poiseuille Pl).
7 Frottements solides
Une plateforme tourne autour de son axe vertical (∆)à la vitesse angulaire ω= 10 tr.min−1.
Déterminer la valeur minimale du coefficient de frotte- ment semelle de chaussure/plateforme µ0 permettant à une personne de rester debout sans déraper si elle se si- tue à une distance a= 3,0m de l’axe(∆). On prendra g = 9,8 m.s−1.
Réponse : µ0 > aωg2
8 Vent favorable
En athlétisme, un record de sprint ne peut être validé que si le vent favorable est inférieur à 2 m.s−1. De quel facteur la force de traînée que l’air exerce sur un coureur de 100 mètres est-elle réduite si celui-ci bénéficie d’un vent favorable de 2 m.s−1? Commenter.
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