Mécanique du point : approche énergétique (PCSI)

Mécanique du point : approche énergétique (PCSI)

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Exercice Bille de Flipper

On se propose d'étudier le lancement d'une bille de ipper.

Un ressort, de longueur à videl0et de constante de raideurkest placé au bas d'un plan incliné formant un angleαavec l'horizontale. Une billeM de masse mest posée au bout.

1. Déterminez la position d'équilibre du ressort.

2. Le ressort est comprimé d'une longueur dpar rapport à sa position d'équilibre. At= 0, on lache le ressort.

(a) Expliquez qualitativement le mouvement de la bille.

(b) En appliquant le PFD, déterminez l'équation de la position de la bille tant qu'elle est en contact avec le ressort, puis l'expression de sa vitesse au moment où elle quitte le ressort, puis h, distance maximale atteinte surx⁰.

(c) Retrouvez l'expression de la vitesse d'éjection et dehà l'aide des théorèmes sur l'énergie.

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Question de cours

Démontrez la conservation de l'énergie mécanique en l'absence de forces non conservatives.

Exercice Chocs

On étudie un choc entre deux particules,M1 etM2, de massem1 et m2 et de vitesses−→v1 et−→v2 suivant l'axe x.

On suppose le choc élastique : les particules ne peuvent pas se déformer. Après le choc, elles conservent leur masse, leur forme et leur vitesse devient−→

v₁⁰ et −→ v₂⁰

1. Faites une analyse qualitative du problème (symétries, cas limite (m₁m₂)).

2. Ecrire les équations de conservation de l'énergie et de l'impulsion au cours du processus.

3. Exprimez −→ v₁⁰ et −→

v⁰₂ en fonction dem1,m2,−→v1 et −→v2. Retrouve-t-on l'analyse de 1) ?

4. Application : une balle de ping pong est posée sur une balle de tennis, à une hauteurh. On lache les deux balles. A quelle altitude remonte la balle de ping pong ?

1

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Question de cours

Montrez qu'une force de la forme−→

F =−^K_r2−→

U_rdérive d'un potentiel dont on donnera l'expression.

Exercice Rayon de Schwarzschild

1. Rappelez l'expression de la force d'attraction gravitationelle et déduisez en l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur.

2. Une fusée de massemest posée à la surface d'une planète de masseM et de rayonR. Elle décole avec une vitessev0.

Quelle est la valeur minimale dev0 qui permet à la fusée d'échapper à l'attraction gravitationelle de la planète ?

3. On imagine à présent que la fusée peut décoller à la vitesse de la lumière c.

Exprimez, en fonction de la masse M de la planète, le rayon minimal au-deça duquel la fusée ne peut plus échapper à l'attraction gravitationelle.

Données : G= 6.67 10⁻¹¹m³kg⁻¹s⁻² MT erre= 6 10²⁴kg

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Question de cours

On rappelle la forme de la force de Coulomb exercée par une particuleM₁de chargeq₁sur une particule M₂ de charge q₂ : −→

F = _4π¹

0

q1q2

(M₁M₂)²

−−−−→

M₁M₂

M₁M₂. Montrez que cette force est conservative et déterminez l'énergie potentielle dont elle dérive.

Exercice Formule de Bethe Bloch

On considère une particule de massemet de chargeZequi se déplace avec une vitesse−→v =v₀−u→_x=−−→

cste. Elle vient dex=−∞et va jusqu'en x= +∞. On xe àt = 0 le moment où elle passe enx= 0. En x= 0, y=ρse trouve une particule cible de masseM et de charge Z⁰e. On suppose que cette particule est xée à sa position initiale. On cherche à calculer l'énergie donnée par la particule à la cible.

1. Exprimez dans la base −u→x,−u→y la force exercée par la particule sur la cible lorsqu'elle se trouve à l'abscisse xen fonction de l'angleθentre les deux particules et l'axe −u→x.

2. En déduire la quantité de mouvement −→

dp apportée par la particule à la cible entre l'instantt et l'instantt+dt, oùdtest inniment petit.

3. Justier pourquoi la quantité de mouvement totale apportée par la particule à la cible peut s'écrire sous la forme −→

∆p= ∆py−→uy.

4. Calculez la valeur de∆py en fonction deZ,Z⁰,e,M,v0 et ρ.

5. En déduire la variation d'énergie de la cible, donc la perte d'énergie par l'électron. Commentez.

Exo ionisation

−

→F = _4π¹

0

Z⁰Ze² r²

−→

ur=^Z_4π^0Ze2

0

−^sin_ρ2^2θcosθ−u→x+^sin_ρ2^2θsinθ−u→y

−

→dp=−→ F dt

F_x(x) =−Fx(x); comme on intègre det=−∞àt= +∞ou de manière équivalente dex=−∞àx= +∞, la composante suivant xest nulle.

∆p_y=´+∞

−∞

Z⁰Ze² 4π₀

sin³θ

ρ² dt= _4π^Z0Ze2

0ρ²

´+∞

−∞ sin³θ^dx_v

0 = _4π^Z0Ze2

0ρ²v₀

´+∞

−∞ sin³θd _tanθ^ρ

=_4π^Z0Ze2

0ρ²v₀

´π

0 sin³θ_sin^ρ_2θdθ

=_4π^Z0Ze2

0ρv0

´π

0 sinθdθ= _2π^Z0Ze2

0ρv0

On en déduit∆E=^(∆p)_2M² = _8π^Z₂⁰²2^Z2e4 0ρ²v²₀M

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2 Daniel Suchet - 2012

Exercice Système à Fourche ; Brisure spontanée de symétrie

Une masseM(m)est attachée à un ressort de longueur à videl0 et de constante de raideurk. La masse glisse sans frottement le long de l'axe horizontal et le ressort est attaché à une distanceR de cet axe.

1. En prenant comme référence Ep(x= 0) = 0, montrez que l'énergie potentielle a pour expression Ep =¹₂k √

R²+x²−l₀²

−(R−l0)² .

2. Comment déterminer l'existence de positions d'équilibre dans le cas d'un système à un degré de liberté ? En séparant les casR > l0 etR < l0, étudiez l'existence de positions d'équilibrexeq. 3. Comment déterminer la stabilité des positions d'équilibre dans le cas d'un système à un degré de

liberté ? Caractérisez chacune des positions trouvées précédemments.

4. Tracez une courbexeq=f(R). Pourquoi dit-on d'un tel système qu'il présente une bifurcation ?

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Question de cours

Démontrez la conservation de l'énergie mécanique en l'absence de forces non conservatives.

Exercice Désintégration à Deux corps ; existence du Neutrino

Dans cet exercice, on se placera dans le cadre relativiste et on utilisera la formule de l'énergie E = pmc²+p²c².

Une particule de masse m₀ initialement au repos dans le référentiel du laboratoire se désintègre en donnant naissance à deux particules de massem1 etm2 d'impulsion−→p1 et −→p2

1. Ecrire les équations traduisant la conservation de l'impulsion et de l'énergie au cours du processus.

2. En déduire une équation vériée par la norme de l'impulsionp1.

3. En déduire que sim0> m1+m2, la valeur dep1 etp2sont xées de manière unique.

4. En déduire que l'énergie des particules issues de la désintégration est xée de manière unique.

5. Commentez le spectre d'énergie ci dessous, obtenu pour la désintégration d'un sodium²²N a→²² He+e⁺

Solution

(E₀=m₀c²=E₁+E₂ 0 =−→p1+−→p2

3 Daniel Suchet - 2012

m0c²=p

m²₁c⁴+p²₁c²+p

m²₂c⁴+p²₁c² car p1=p2. La fonction f(p1) = p

m²₁c⁴+p²₁c²+p

m²₂c⁴+p²₁c²−m0c² est une fonction de p1 continue et strictement croissante. De plus,f(0)<0 sim1+m2< m0 et lim

p₁→∞f(p1) = +∞. Par le théorème des valeurs intermédi- aires, il existe une unique valeur de p1 telle quef(p1) = 0

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On s'intéresse à un jeu de fête forraine :

On lance une balleM de massemavec une vitesse−→v₀ à une distance3Rd'un pipe. La balle doit arriver en haut du pipe enC et retomber à son point de départ enA. La balle se déplace sans frottements.

1. En appliquant le théorème de la puissance cinétique, calculez la vitesse de la balle lorsqu'elle atteint le point B.

2. Calculez la vitesse v₀ nécessaire à la balle pour atteindre le pointC. Quelle est alors sa vitesse ? 3. En supposant que la balle atteint le pointC, à quelle distance retombe-t-elle au sol ?

(a) Montrez que si la distanceABest trop petite, le jeu ne peut être gagné.

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4 Daniel Suchet - 2012