forces dissipatives

Travail, énergie et puissance,

conservation de l'énergie mécanique, forces dissipatives

5

v7

L'objet O subit un déplacement indiqué par le vecteur s.

Si une force F agit sur O, alors le travail W effectué par la force vaut le produit scalaire

W = s F

s F

O

1 Newton x 1 mètre = 1 Joule [ J ]

Le travail

3

L'énergie cinétique

L'énergie cinétique d'un objet de masse

m

v

€

K = 1

2 mv

Si l'on effectue un travail W sur un objet ayant énergie cinétique K₀, celle-ci change et devient K₁ = K₀ + W

i) f)

x₀ x₁

F

v₀ v₁

K₀ = 1

2 mv₀^{2 K}1 = 1

2mv₁² = K₀ + W = 1

2mv₀² + F(x₁ − x₀)

F: force appliquée entre x₀ et x1

4

L'énergie cinétique .2

Exemple: x=0 x₁ x₂ x₃ F

-F v=0

v

v

v=0 La force F = 5 N agit sur l'objet entre x₀ et x₁.

L'objet est libre entre x₁ et x₂.

La force -F agit sur l'objet entre x₂ et x₃. x₁ - x₀ = x₃ - x₂ = s =1 m

K₀ = 0 W = Fs K₁ = W = mv²/2

€

v = 2K

/m

v = 2W /m = 2Fs /m = 2 × 5 ×1/0.1 =10 m/s m=0.1 kg

Energie potentielle

Exemples:

Energie potentielle gravifique, coulombienne, élastique,...

y

y_i y_f

F_G

K_i = mv_i²/2

F_G = -mg g= +9.81 ms^-2 W = F_G (y_f - y_i) < 0 !

K_f = K_i + W < K_i

L'objet a perdu de l'énergie cinétique mais il a gagné de l'énergie "potentielle"

qu'il peut rendre en tombant à nouveau en y₀ v_i

Exemple: cas d'un corps de masse m qui s'élève dans le champ gravitationnel:

m

Energie potentielle .2

On introduit l'énergie potentielle (gravitationnelle) que le corps possède lorsqu'il se trouve à une hauteur y, U(y).

La différence d 'énergie potentielle ΔU entre deux

points exprime la quantité d'énergie (gravitationnelle) disponible.

y_f y_i

-mg

L'objet tombe de y_i à y_f. Le travail effectué par le champ gravitationnel vaut

W = -mg(y_f - y_i) =

= -( mgy_f - mgy_i ) > 0

E cinétique: K_f = K_i + W > K_i On introduit U = mgy on a -W = U(y_f) - U(y_i) = ΔU g= +9.81 ms^-2

Energie potentielle .3

A une hauteur y du point de référence (sol, table,...), on va écrire l'expression suivante pour l'énergie mécanique E d'un point

matériel de masse m

E = K + U(y) = mv²/2 + mgy

ΔU dépend seulement des points de départ et arrivée, et

pas du trajet => la force gravitationnelle est "conservative"

i)

f)

y_i

y

g= +9.81 ms^-2

Attention: pas de frottement !

y_i

y_f

Energie potentielle .4

F

F

F_//

s s’

y_i

y_f

x x

α

Travail effectué par la force de gravité:

Cas a): W = F_g ^. s = F_g(y_f - y_i) = F_gΔy Cas b): W = F_g ^. s’ = F_// s’

€

= F_g sinα × Δy

sinα = F_gΔy

a) b)

=

||s|| = Δ y

Conservation de l'énergie mécanique

E_i = K_i + U_i = 0 + mgy_i E_f = K_f + U_f = K_f + mgy_f

y_f

F

y_i

Exemple: un corps initialement a repos, tombe de y_i en y_f

Si l'énergie mécanique est conservée E_i = E_f alors:

0 + mgy_i = K_f + mgy_f

K_f = mgy_f - mgy_i = mg(y_f - y_i) g= +9.81 ms^-2

... permet de calculer la vitesse finale par K_f = mv_f²/2 ...

Autre exemple d'E potentielle: l'E potentielle élastique

Hooke avait étudié la proportionnalité entre force F et la déformation δ pour les objets élastiques (en particulier les ressorts). La loi d'Hooke pour un objet de constante d'élasticité (ou du ressort) k:

F = k δ

€

W = Fdx =

0 δ

∫

0 δ

∫

2

2 kδ

0 = 1

2 kδ²

F

δ

F

avant

après

Le travail fait par F = kx entre x=0 (ressort au repos) et

x=δ vaut:

0 x

0 x

W est l'énergie stockée dans la déformation élastique δ

Interlude:

lois de conservation,

E = mc ² et les antiparticules

Conservation

de l'énergie

de la quantité de mouvement du moment cinétique

de la charge électrique ...

Des contre-exemples ?

(1882 - 1935) http://www.emmynoether.com/

Les lois de conservation .2

Un contre-exemple (physique):

Pas de conservation du nombre de particules annihilation de l'électron et du positon:

€

e

+ e

→ γγ

Toutefois:

* la charge électrique est conservée:

Charge(e⁺) + Charge(e^-) = 0 = charge(γ)

* l'énergie de masse des deux particules est transformée en énergie électromagnétique ( particules gamma ),

et l'énergie totale est conservée si l'on utilise la formule E= mc²...

Annihilation électron positon

Quand un électron rencontre un positon, il y a

ce sont deux

rayons “gamma”

d ’énergie >mc² chacun, que l’on peut observer avec des détecteurs

annihilation et on récupère l’énergie E =

2 m c

e

+ e

—> γ γ

Tomographie positons

Tomographie par émission de positons

On injecte une substance

métaboliquement active émettrice des positons

La substance se concentre dans certaines régions du corps (tumeurs, régions du cerveau actives,…)

Les positons s ’annihilent avec les électrons de la

matière. Deux rayons

gamma sont émis et observés par des détecteurs de

particules détecteurs de particules

gamma

gamma

La tomographie positons

lire des mots sur un écran

entendre des mots permet d ’étudier le comportement du cerveau

La tomographie positons

tomographie films

La tomographie positons permet de créer des images

3D

de suivre l’évolution temporelle

du métabolisme

d’une substance

Isotopes pour TEP

Création de paires électron-positon

L'effet opposé a aussi lieu: un rayon gamma qui frappe un atome se matérialise en un couple électron-positon

positon électron Pour produire un couple

électron-positon il faut disposer d’une

ENERGIE > 2mc

Conclusion: l'énergie totale est conservée ! La charge électrique est aussi conservée, ...mais pas le nombre d'électrons dans

Les forces dissipatives

Les forces de frottement s'opposent toujours au déplacement du corps. Donc elles contribuent avec un travail < 0, c.à d. elles soustraient de l'énergie mécanique.

W = (F_g + F_f) ^. s = s (F_// - F_f) =

€

= (F_g sinα −µ_cF_g cosα) × Δy sinα

Dans la figure, F_f est parallèle au plan, elle est opposée à s, et a la valeur

€

F_f = −µ_cF_⊥ = −µ_cF_g cosα Le travail total vaut

Donc l'énergie cinétique

finale du corps sera plus petite qu'en l'absence de frottement

y_i

F

F_//

s

y_f

x_i x_f

α

F_f F_⊥

22

Energie mécanique totale d'un système

E = Energie cinétique + Energie potentielle ≡ K + U Conservation de l'énergie mécanique:

en l'absence de forces agissant sur un système, l'énergie mécanique totale du système est une constante:

E (t₁) = E(t₂) pour tout temps t₁ et t₂

Dans un système composé de plusieurs corps, on peut

avoir une redistribution de l'énergie au cours du temps (choc), mais la somme totale doit être conservée

€

E = E

(t)

i=1,N

∑ ^{= K}

^(t)

i=1,N

∑ ^{+ U}

^{(t) = cte}

Conservation de l'Energie totale

Attention: en cas de forces de frottement, de déformations,...

une partie de l'énergie mécanique se transforme en chaleur, modifications structurelles, chimiques,...

E = K + U + chaleur +...

On va devoir inclure ces effets par des termes additionnels

Dans la théorie de la relativité, masse et énergie sont liées par E_masse = mc² , donc

E = mc² + K + U + ...

Echelle d'énergie

Energie libérée par une supernova 10⁴⁴ Joules E solaire sur terre par an 10²⁴

E consommée par l'homme par an 10²⁰ Bombe à fusion 15 Mtonnes 10¹⁷ E produite par une centrale en 1 an 10¹⁶ E de combustion 1 litre essence 10⁷ E alimentaire pour 1 adulte par jour 10⁷ E cinétique d'un homme qui court 10³ E cinétique d'une balle de 5 g à la vitesse du son ?

Décharge d'un neurone 10^-10

E d'un électron dans l'atome 10^-18

E la plus élevée observée dans une particule cosmique 1 J

Conservation de l'Energie mécanique.

Exemple

Objet de masse m jeté depuis une hauteur h du sol,

à vitesse v_i, dans une direction arbitraire. On veut calculer (le module de) la vitesse d'arrivée au sol.

E_i = K_i + U(h) = mv_i²/2 + mgh

E_f = K_f + U(0) = mv_f²/2 + mg0 E_i = E_f

mv_f²/2 = mv_i²/2 + mgh v_f = [ v_i²/2 + 2gh ]^1/2

h

0 v_f est donc indépendante de la

direction initiale

€

}

g=+9.81ms^-2

L'énergie potentielle gravitationnelle revisitée.

U(h) = mgh est une expression utile à proximité de la surface terrestre. A distance r >> R, R = rayon terrestre, la force de gravitation faiblit et l'approximation n'est plus valable

(si r << R aussi, d'ailleurs).

On peut montrer que le travail effectué par F_G dépend toujours exclusivement des point de départ et arrivée.

La force de gravité est conservative.

Comment définir l'E potentielle dans le cas général ?

U(r₁)

U(r₂) r₁

r

Le travail effectué par

F_G le long des deux trajectoires est identique et vaut

U(r₂) - U(r₁)

27

Energie potentielle gravitationnelle .2

r M

F_G m

Force de M sur m =

€

F_G = −G Mm r² r ˆ Travail pour porter m de r_i à r_f :

€

W = F_G

r_i r_f

∫

r_i r_f

∫

r_i r_f

∫

r_i r_f

=

= G Mm

r_f − G Mm r_i

€

ˆ r

La variation d'énergie du système vaut -W = U(r_f) -U(r_i) donc

U(r) = − G Mm

r

28

Energie potentielle gravitationnelle .3

Voyons si cela est cohérent avec U(h) = mgh...

A hauteur nulle de la surface terrestre, r = R

€

U(R) = −G Mm

R ≡ U₀ On élève l'objet de h << R:

€

U(R + h) = −G Mm

R + h = −GMm 1

R + h = = −GMm 1

R(1+ h /R) = −G Mm R

1

(1+ h /R)

€

1

1+ x ≈1− x

On utilise l'approximation valable quand x<<1

U(R + h) = −G Mm

R (1− h /R) = −G Mm

R + G Mm

R² h = U₀ + mgh

g = + 9.81 ms^-2

Energie potentielle gravitationnelle .4

€

U(r) = − G Mm r

Examinons l'information transportée par la formule

U(r) → 0 quand r →∞

U(r) → -∞ quand r →0 U(r) r

Le point de référence naturel est le "zéro" à l'infini, quand la force est aussi nulle.

Une particule de masse m qui "tombe"

de l'infini à une distance r_f change son E potentielle de U_f - U_i= U(r_f) - 0 = U(r_f)

Q.: que se passe-t-il quand r → 0 ????

30

Energie potentielle électrique

La force coulombienne entre deux charges Q et q:

€

F = k Qq r² r ˆ Les charges se mesurent en "Coulomb" C et

k = 9 10⁹ N m² C^-2

Attention: il n'y a pas de signe négatif comme dans le cas de la gravitation!

En effet on a une force attractive (comme dans le cas de la gravitation) quand Qq<0 c. à d. pour des charges +- ou -+.

On en déduit le potentiel U(r) = k Qq r

Le champ de force

Le "champ" donne une description de la distribution des forces dans l'espace. Pour un champ "statique": F = F(x,y,z).

Ex.: champ gravitationnel, utiliser la loi de Newton.

Les "lignes de champ" décrivent la direction de la force: pour la déterminer, on place au point choisi

une "masse de test" et on mesure son accélération.

Dans le cas d'une seule masse les lignes sont distribuées

radialement autour d'elle.

Le champ de force .2

Dans le cas de deux masses identiques...

Surfaces équipotentielles

Ce sont les surfaces avec U = cte.

Pour le champ gravitationnel d'une masse M sphérique, il s'agit de sphères concentriques.

r

Sur toute la sphère de rayon r l'E potentielle pour un masse de test m on a

€

U(r) = −G Mm r

(De façon plus générale on

introduit le concept de "potentiel":

la valeur de U pour m = 1kg.)

Surfaces équipotentielles .2

Dans le cas de deux masses identiques...

lignes du champ de la force gravitationnelle. Elles sont orthogonales aux surfaces équipotentielles.

surfaces équipotentielles

Analogie: deux pics

La puissance

indique la quantité de travail qu'un système peut fournir par unité de temps:

P = dW/dt L'unité est le J / s = W (Watt)

Une centrale électrique : P = 100 à 1000 MW

Le kWh (kilo watt heure) correspond à l'énergie 1000 × (1 heure) = 1000 × 60 × 60 = 3.6 10⁶ J

Donc P × Δt est une énergie.

Puissance .2

On peut dériver la puissance associée à une force F qui provoque le déplacement d'un objet à vitesse v

€

W = F Δ s P = W

Δ t = F Δ s

Δ t = Fv

38

Energie et travail dans mouvement circulaire

€

v = ωr K = 1

2 mv² = 1

2 m

( )

2 mr²ω² = 1

2 Iω²

€

Δ s = r θ

Δs θ

r

W = F Δ s = F r θ = τ θ

déplacement correspondant à un angle θ:

Travail fait par une force F tangentielle

moment de la force par rapport au centre du cercle

F