Puissance & énergie
Introduction
La prise d'énergie domestique 120/240 est un port de sortie d'un réseau de distribution d'énergie moderne. Il existe plusieurs points de raccordement au réseau et pour bien comprendre le comportement de ce réseau, il faut réfléchir aux énoncés suivants:
• L'énergie sous forme électrique est en demande partout; mais l'électricité n'est qu'un moyen de transporter de l'énergie.
• Le problème demeure toujours la source d'énergie primaire.
• Pas d'énergie primaire, pas d'énergie disponible sous forme d'électricité.
• L'énergie peut être convertie en énergie électrique, transportée sur de grandes distances et reconvertie en énergie d'une autre forme.
• Un réseau d'énergie électrique n'est en réalité qu'un moyen de transport instantané de l'énergie.
Énergie Énergie potentielle Énergie cinétique
Énergie
• La découverte de l'électricité et la mise en place d'un réseau d'énergie électrique donnent à chacun de nous le contrôle sur plusieurs serviteurs (chaque moteur d'un appareil domestique est un esclave qui répond à nos demandes).
Ceci permet une vie où le travail physique est de beaucoup diminué.
Définitions de p(t) (puissance) et É (énergie)
Dans le domaine du temps, on défini p(t) = v(t)i(t) et É = ∫∫∫∫p(t)dt
La puissance p(t) est égale au produit instantané de la tension et du courant si ces deux variables sont mesurées aux bornes d'un dipôle.
L'énergie É est la sommation de cette puissance dans le temps.
Dipôle: regroupement d'éléments matériels où se
manifestent les différents effets de l'électricité et auquel nous avons deux points de raccordement.
Dipôle passif: le regroupement ne contient que les effets "joule" "faraday' et "coulomb".
Dipôle actif: le regroupement peut contenir les effets "joule" "faraday' et "coulomb", et des sources d'énergie.
Regardons de plus près les équations de puissance et d'énergie.
p(t) = v(t)i(t) et É = ∫∫∫∫p(t)dt
Si V(t) = Vmaxcos(ωt) et que i(t) =Imaxcos(ωt + π/6) Se rappeler que:
la valeur maximum est Vmax et Imax,
la valeur efficace est 1/√2 de Vmax ou de Imax; soit V et I : scalaires efficaces, la phase se mesure au passage à zéro au moment où les deux fonctions ont la même pente.
Si V(t) = 1cos(ωt) et i(t) =1cos(ωt + π/6), soit des fonctions unité pour fin de simplicité, une multiplication avec MATLAB© donne:
Si V(t) = Vcos(ωt) et i(t) = Icos(ωt + π/6) alors VIcos(π/6) = valeur moyenne de p(t)
VI = Vmax /√2 *Imax /√2 si la tension et le courant sont sinusoïdaux et sans harmoniques.
É = ∫∫∫∫p(t)dt
Surface nette sous la courbe de p(t)
Si l'angle entre V(t) et i(t) est π/2 ( L et C), la valeur de É est nulle. (Partie positive = partie négative)
Il n'y a donc pas d'énergie dissipée lorsque seulement les effets "faraday" et
"coulomb" sont présents dans un circuit électrique.
Ce cas est théorique, car les circuits électriques ont toujours des pertes.
La puissance et l'énergie pour un circuit RC p(t) = v(t)i(t) et É = ∫p(t)dt
Si v(t) = 1cos(ωt), que i(t) =1cos(ωt + π/6) [i.e. les données précédentes avec Vmax et Imax
= 1] et qu'on suppose que cette relation existe aux bornes d'un dipôle, on peut représenter ce dipôle par une résistance en parallèle avec une capacité.
iR(t) = [1/R]cos(ωt)
iC(t) = [C]d/dt[cos(ωt)] = [-ωC]sin(ωt) = [ωC]cos(ωt + π/2)
* en réalité, les deux courants sont à 90° l'un de l'autre.
Pour comprendre ce qui se passe lorsqu'on calcule p(t) et É, décomposons le courant total en deux composantes à 90°. Soit: i(t) = cos(π/6)cos(ωt) - sin(π/6)sin(ωt)
donc:
iR(t) = [cos(π/6)]cos(ωt) = [√3/2]cos(ωt)
iC(t) = [sin(π/6)]cos(ωt + π/2) = [1/2]cos(ωt + π/2) pour satisfaire les données il faut:
1/R = √3/2 et ωC = 1/2
La puissance moyenne sur R
Aux bornes d'un élément R si v(t) = Vmaxcos(ωt), i(t) =Imaxcos(ωt) où Imax = Vmax/R suivant nos discussions précédentes.
Si l'on applique la définition:
p(t) = v(t)i(t)
p(t) = VmaxImaxcos2(ωt) = VmaxImax[cos(2ωt)/2 + 1/2] (De la trigonométrie: cos(2x) = 2cos2(x) - 1)
Pmoy = VmaxImax/2 = Vmax/√2Imax/√2 = VI où V et I sont des valeurs efficaces car nous avons des sinusoïdes parfaites.
Noter que I = V/R
Ainsi donc, aux bornes d'une résistance, si l'on mesure la tension et le courant en valeurs efficaces (rms), le produit de ces deux valeurs est la puissance moyenne dissipée par la résistance.
Si nous sommes à fréquence unique dans un circuit électrique, la relation entre v(t) et i(t) peut être déterminée au moyen de la technique des phaseurs.
Mieux encore, si les phaseurs sont exprimés en valeurs efficaces, la relation générale V = ZI
où Z = R + 0j donne I = V/R
Donc, Pmoy aux bornes d'une résistance pourra s'exprimer: VI = RI2 = V2/R Il est très important de comprendre que:
Si le courant qui traverse une résistance est connu en valeur efficace, la puissance moyenne dissipée par la résistance est:
P = RI2
où I est une valeur efficace et P est Pmoy et R est l'effet "joule" existant dans le circuit.
En réalité, si l'on désire connaître l'effet "joule" dans un circuit, il suffit de mesurer la puissance et le courant pour établir la valeur de l'effet.
A fréquence unique, (le 60 Hz du réseau) on mesure très souvent la puissance au moyen d'un wattmètre et le courant au moyen d'un ampèremètre pour déterminer la résistance (effet "joule) d'un circuit.
La puissance moyenne sur L et C
Aux bornes d'un élément C si v(t) = Vmaxcos(ωt), i(t) =Imaxcos(ωt + π) où Imax = Vmax/(1/ωC) suivant nos discussions précédentes.
Si l'on applique la définition:
p(t) = v(t)i(t)
De la trigonométrie:cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
p(t) = VmaxImax[cos(ωt)cos(ωt + π/2)]
p(t) = VmaxImax[cos(ωt){cos(ωt)cos(π/2) - sin(ωt)sin(π/2)}]
p(t) = VmaxImax[cos(ωt){cos(ωt)0 - sin(ωt)1}]
p(t) = VmaxImax[cos(ωt)] {- sin(ωt)} = - VmaxImax/2{sin(2ωt)} = - VI{sin(2ωt)}
et comme la valeur moyenne d'une fonction symétrique du temps est nulle;
Pmoy = 0
où V et I sont des valeurs efficaces car nous avons des sinusoïdes parfaites.
Noter que I = V/(1/ωC) où 1/ωC = XC
Ainsi donc, aux bornes d'une capacité on ne mesure pas de puissance moyenne mais on retrouve un produit VI qui est semblable à celui aux bornes d'une résistance et qui pourrait se calculer de la même manière i.e. VI = XCI2 = V2/XC
Une réactance capacitive et une réactance inductive seront utilisées pour calculer une expression semblable à la puissance dissipée sur une résistance.
On nommera cette expression; la puissance réactive; symbole Q
Définitions très importantes:
P : la puissance réelle
Une résistance dissipe des watts i.e. de la puissance réelle.
Si le courant est en valeur efficace, cette puissance est RI2
Q : la puissance réactive
L'inductance et la capacité ont besoin d'une forme d'énergie récupérable pour maintenir les champs magnétiques et les champs électriques qui produisent les effets "faraday" et
"coulomb". Comme l'on peut calculer certaines valeurs de la même manière que pour les watts, on nommera les expressions
QL la puissance réactive inductive et
QC la puissance réactive capacitive.
Exemple
Analysons le circuit suivant à l’aide de valeurs efficaces.
i(t) = 15.69/√2cos(377t - 0.38) où
ZR = (10 + 0j)Ω ZL = (0 + j10)Ω ZC = (0 - j6)Ω
Utilisons la tension @ 0° comme référence pour nos phaseurs. L'utilisation du courant comme référence signifie simplement que nous solutionnons notre problème plus tard dans le temps. (1 msec i.e. 21.8/360 de 1/60 car nous sommes à 60 Hz)
Un diagramme des phaseurs avec le courant comme référence donne:
Comme les scalaires calculés sont des valeurs efficaces, les produits VI ont les
dimensions voltampères. Suivant nos discussions précédentes, aux bornes de la résistance ce produit est la puissance réelle en watts, alors qu'aux bornes de l'inductance et de la capacitance, ce produit est la puissance réactive en VARs.
Un peu de réflexion et d'observation en regard du diagramme de phaseurs nous amène à conclure que les watts sont le produit du courant et de la composante de la tension qui est en phase avec ce courant, car Vr est [Vab cos(21.8)].
Comme preuve plus générale de cette énoncé, utilisons la rigueur mathématique et calculons le produit p(t) = v(t)i(t) puis trouvons la valeur moyenne de ce produit.
Pour notre exercice, posons v(t) = Vmaxcos(ωt + θ), i(t) =Imaxcos(ωt) v(t)i(t) = [VmaxImax] [{cos(ωt)cos(θ) - sin(ωt)sin(θ)} cos(ωt)]
= [VmaxImax] [cos2(ωt)cos(θ) - sin(ωt) cos(ωt)sin(θ)]
la valeur moyenne du terme - sin(ωt) cos(ωt)sin(θ) est nulle, alors que la valeur moyenne de
[VmaxImaxcos(θ)] cos2(ωt) est [VmaxImaxcos(θ)] /2 car la valeur moyenne de cos2 est 1/2.
or [VmaxImaxcos(θ)] /2 = [Vmax/√2Imax/√2]cos(θ)= VIcos(θ)
Conclusion:
la puissance moyenne est le triple produit de:
• la valeur efficace de la tension,
• la valeur efficace du courant,
• le cosinus de l'angle entre les phaseurs tension et courant, si les fonctions sont sans harmoniques.
La puissance complexe
Notre problème peut aussi être solutionné par une analyse avec les nombres complexes.
Les équations suivantes sont déjà connues:
Vab = VR + VL + VC
Vab = ZRI + ZLI + ZCI Vab = RI + jXLI - jXCI
Si l'on multiple cette équation par I* (le courant phaseur conjugué) on trouve :
VabI* = RII* + jXLII* - jXCII*
or II* est égale au module de I au carré VabI* = RI2 + jXLI2 - jXCI2
Donc, si à une paire de bornes la tension et le courant sont connus sous forme de phaseurs, la puissance complexe sera le produit du phaseur tension et du phaseur conjugué du courant.
Ce produit donnera une partie réelle qui est la puissance réelle que dissipe toutes les résistances qui sont dans le circuit considéré aux bornes où la tension et le courant sont connus.
Ce produit donnera une partie imaginaire qui est la puissance réactive que doit fournir la source au circuit considéré;
si la partie imaginaire est positive, l'effet "faraday" est prédominant; XL>>XC
si la partie imaginaire est négative, l'effet "coulomb" est prédominant. XL<<XC
Dans notre exemple: Vab = 120@21.8°, I = 11@ 0° I* = 11@ - 0°
VabI* donne 1320 @ 21.8° i.e. 1225 + 490j
où 1225 est aussi égale à RI2≈ 10 par 11 au carré 1210 @ 1.3% de précision et 490 est (XL - XC)I2≈ (10 - 6) par 11 au carré 484 @ 2.9% de précision l'imprécision venant de l'arrondissement des valeurs pour simplifier la compréhension.
Le dipôle passif
Pour que deux dipôles passifs soient équivalents pour les sources qui les alimentent, il faut que les impédances équivalentes soient identiques et que les admittances équivalentes soient identiques ou encore qu'ils consomment la même quantité de puissance réelle et de puissance réactive.
Comme un dipôle passif présente à la source un nombre complexe qui contient une seule partie réelle et une seule partie imaginaire et que la partie réelle consomme des watts alors que la partie imaginaire absorbe ou fournit des VARs, il devient facile de mesurer aux bornes d'un dipôle et d'en déterminer l'impédance ou l'admittance équivalente.
Les mesures requises sont: P watts, V volts, I ampères.
Les modèles qui suivent sont les représentations possibles que l'on peut définir à partir de mesures.
En électrotechnique, le phaseur tension est ordinairement la référence à 0°.
Le dipôle passif équivalent
Si l'on désire représenter un dipôle sans connaître l'ensemble des éléments linéaires raccordés à ce dipôle, on peut faire des mesures (P,V,I ) extérieures au dipôle et représenter ces mesures par un dipôle équivalent.
Représentation série:
Refaire la représentation parallèle en utilisant la conductance G, la susceptance B et l'admittance Y.
Le dipôle passif sous l'angle de la puissance
Dans la pratique usuelle de l'usage de l'énergie électrique, on ne mesure pas des phaseurs, mais plutôt des grandeurs scalaires. Aux bornes d'un dipôle passif, l'expérience démontre que les six scalaires suivants sont d'intérêt.
V = valeur scalaire du phaseur tension, volts I = valeur scalaire du phaseur courant, ampères
P = valeur scalaire de la puissance moyenne = puissance réelle, Watts Q = valeur scalaire de la puissance réactive, VARs (voltampères réactifs) S = valeur scalaire de la puissance apparente, VAs (voltampères)
FP= (facteur de puissance) valeur scalaire du rapport P/S, sans dimensions
Si le dipôle est passif et que la convention positive est respectée pour les phaseurs tension et courant, la puissance réelle passe de la source d'énergie vers le dipôle. A partir de cette observation, nous établissons les règles suivantes:
S = est dans le sens du courant et égal à VI P = est dans le sens du courant et égal à (VI)FP
Q = est dans le sens du courant(si inductif) et égal à (VI)sin(acosFP)
En réalité, les valeurs S, P et Q forme un triangle communément appelé "triangle de puissance".
Ceci est la représentation du nombre complexe S que nous avons défini à la page précédente. Ne pas oublier que si S= P + jQ le circuit est inductif et que si S= P - jQ le circuit est capacitif.
Pour un dipôle sous tension sinusoïdale pure, FP est le cosinus de l'angle entre les phaseurs tension et courant.
Si les phaseurs tension ou courant contiennent des harmoniques, la définition fondamentale est applicable.
Harmoniques et facteur de puissance
Il est possible que le facteur de puissance ne soit pas l'unité, même si le circuit ne contient que des résistances.
a) Le voltage de la source est sinusoïdal.
b) L'interrupteur est synchrone et opère à un angle d'amorçage ß.
c) Le voltage aux bornes du contact contient une fondamentale et une série infinie d'harmonique.
d) Le courant contient une fondamentale et une série infinie d'harmonique.
f) Le voltage aux bornes de la résistance contient une fondamentale et une série infinie d'harmonique.
Le voltage aux bornes du contact étant une sinusoïde tronquée ne contient que des harmoniques impaires.
Le courant étant une sinusoïde tronquée ne contient que des harmoniques impaires.
La tension instantanée aux bornes de la résistances est:
La valeur efficace de la tension aux bornes de la résistance est:
où l'indice r = valeur efficace totale
fr = valeur efficace fondamentale hr = valeur efficace des harmoniques
En suivant un raisonnement similaire on peut écrire que le voltage aux bornes du contact en valeurs efficaces sera:
La loi de Kirchhoff dit que les valeurs instantanées des tensions autour de la boucle est zéro. La somme des valeurs efficaces est aussi égale à zéro. Comme la source ne contient pas d'harmoniques.
Pour satisfaire cette égalité, il faut que :
Le circuit suivant illustre ces concepts:
Le cosinus n'est pas le facteur de puissance de la source. On lui donne le nom "DPF"
"displacement power factor".
La puissance active fournie par la source est égale à la puissance active absorbée par la résistance.
La puissance active absorbée par le contact est nulle car il n'y a pas de voltage et de courant au même instant.
Le courant circulant dans le circuit est le même partout.
La puissance fournie à la résistance est égale à la somme des puissances contribuées par la fondamentale et les harmoniques. Noter que les voltages harmoniques et les courants harmoniques sont en phase aux bornes d'une résistance.
Pour déterminer le facteur de puissance, utilisons la définition exacte du facteur de puissance.
On peut considérer que le contact se comporte comme un groupe électrogène i.e. un
"moteur" qui absorbe de la puissance à la fréquence du réseau et des "génératrices" qui fournissent les puissances harmoniques absorbées par la résistance.
La puissance active absorbée par le "moteur" est égale aux puissances actives débitées par les "génératrices" qui doivent nécessairement fournir seulement les puissances actives harmoniques de la charge. Le "moteur" absorbe une puissance réactive donnée par le produit de son voltage et de la composante en quadrature du courant fondamental.
