DS3. Probabilit´ es, sujet B.
Correction.
Exercice 1
Il y a deux tirages, les ´eventualit´es sont donc des couples de bonbons. Choisissons de ne pas faire la distinction entre les trois caramels, ni entre les deux berlingots. Les
´eventualit´es ne sont pas ´equiprobables et forment l’univers Ω ={(C, C),(C, B),(B, C),(B, B)}.
1. Un ´ev´enement impossible : ”le premier bonbon est un r´eglisse et le deuxi`eme un caramel”=∅.
2. D=”Au moins un des deux bonbons tir´es est un berlingot”.
D=”les deux bonbons tir´es sont des caramels”.
3. B={(B, B),(C, B),(B, C)}.
4. Il y a trois berlingots sur 5 bonbons. Donc il y a 3 chances sur 5 de tirer un berlingot en premier : p(B1) = 35 = 0.6. AppelonsC1 l’´ev´enement ”le premier bonbon est un caramel”=B1. Il y a 2 caramels sur 5 bonbons doncp(C1) = 25 = 0.4.
5. On sait qu’un berlingot a d´ej`a ´et´e mang´e : il ne reste donc plus que 4 bonbons dont 2 berlingots. Donc la probabilit´e que le deuxi`eme bonbon mang´e soit un berlingot sachant que le premier bonbon mang´e ´etait un berlingot estpB1(B2) = 24 = 0.5.
6. On cherchep(B1∩B2). On applique la formule : p(B1∩B2) =pB1(B2)p(B1). Donc p(B1∩B2) = 0.6×0.5 = 0.3.
Exercice 2
1. G∩T=”le vacancier pratique le golf mais pas le tennis”.
2. G∩T = G∪T=”le vacancier ne pratique pas le golf, ou ne pratique pas le tennis (le ou n’est pas exclusif)”.
G∪T =G∩T=”le vacancier pratique le golf etne pratique pas le tennis”.
3. Dans cette question on traduit les donn´ees. Le calcul de pG(T) ne peut pas faire appel `ap(G∩T) qui est demand´e dans la question suivante...
30%des estivants sont des golfeurs donc sur 100 estivants il y a 30 golfeurs donc p(G) = 10030 = 0.3.
55%des estivantsfont du tennis donc sur 100 estivants il y en a 55 qui pratiquent le tennis doncp(T) = 10055 = 0.55.
40%des golfeursfont aussi du tennis donc sur 100 estivants dont on sait qu’ils font du golf il y en a 40 qui pratiquent le tennis doncpG(T) = 10040 = 0.4.
4. p(G∩T) =pG(T)×p(G) = 0.4×0.3 = 0.12
p(G∪T) =p(G) +p(T)−p(G∩T) = 0.3 + 0.55−0.12 = 0.73
La probabilit´e qu’un estivant pratique du golf ou du tennis (ou les deux) est de 0.73.
5. On cherchepT(G). On applique la formule : pT(G) = p(G∩Tp(T)) = 0.120.55 ≈0.22
Exercice 3
1.
El`eves de terminale Gar¸cons Filles TOTAL R´eussite au baccalaur´eat 157 147 304
Echec au baccalaur´eat 52 24 76
TOTAL 209 171 380
2. R=”l’´el`eve n’a pas obtenu son baccalaur´eat”.
G∩R=”l’´el`eve est une fille qui a obtenu son baccalaur´eat”.
3. il y a 76 ´el`eves sur les 380 de terminale qui n’ont pas obtenu leur baccalaur´eat. Donc p(R) = 38076 = 0.2
il y a 209 ´el`eves sur les 380 de terminale qui sont des gar¸cons, doncp(G) = 209380 = 0.55 il y a 147 ´el`eves sur les 380 de terminale qui sont des filles qui ont obtenu leur bac- calaur´eat. Doncp(G∩R) = 147380 ≈0.39
4. On applique la formule :
pR(G) = p(R∩G)p(R) avec p(R) = 1−p(R) = 1−0.2 = 0.8, donc pR(G) ≈0.48. Autre solution : on lit directement dans le tableau que parmi les 304 ´el`eves qui ont r´eussi, 147 sont des filles, dontpR(G) = 147304 ≈0.48.
2