DS3. Probabilit´es, sujet A. Correction.

DS3. Probabilit´ es, sujet A.

Correction.

Exercice 1

Il y a deux tirages, les ´eventualit´es sont donc des couples de bonbons. Choisissons de ne pas faire la distinction entre les trois caramels, ni entre les deux berlingots. Les

´eventualit´es ne sont pas ´equiprobables et forment l’univers Ω ={(C, C),(C, B),(B, C),(B, B)}.

1. Un ´ev´enement ´el´ementaire : ”les deux bonbons tir´es sont des caramels”={(C,C)}.

2. D=”Au moins un des deux bonbons tir´es est un caramel”.

D=”les deux bonbons tir´es sont des berlingots”.

3. C={(C, C),(C, B),(B, C)}.

4. Il y a deux caramels sur 5 bonbons. Donc il y a 2 chances sur 5 de tirer un caramel en premier : p(C₁) = ²₅ = 0.4. Appelons B₁ l’´ev´enement ”le premier bonbon est un berlingot”=C₁. Il y a 3 berlingots sur 5 bonbons donc p(B₁) = ³₅ = 0.6.

5. On sait qu’un caramel a d´ej`a ´et´e mang´e : il ne reste donc plus que 4 bonbons dont 1 caramel. Donc la probabilit´e que le deuxi`eme bonbon mang´e soit un caramel sachant que le premier bonbon mang´e ´etait un caramel estp_C1(C₂) = ¹₄ = 0.25.

6. On cherche p(C₁∩C₂). On applique la formule : p(C₁∩C₂) =p_C1(C₂)p(C₁). Donc p(C₁∩C₂) = 0.4×0.25 = 0.1.

Exercice 2

1. G∩T=”le vacancier pratique le tennis mais pas le golf”.

2. G∪T =G∩T=”le vacancier ne pratique ni le golf, ni le tennis”.

G∩T = G∪T=”le vacancier pratique le golf ou ne pratique pas le tennis (le ou n’est pas exclusif)”.

3. Dans cette question on traduit les donn´ees. Le calcul de p_G(T) ne peut pas faire appel `ap(G∩T) qui est demand´e dans la question suivante...

30%des estivants sont des golfeurs donc sur 100 estivants il y a 30 golfeurs donc p(G) = ₁₀₀³⁰ = 0.3.

55%des estivantsfont du tennis donc sur 100 estivants il y en a 55 qui pratiquent le tennis doncp(T) = ₁₀₀⁵⁵ = 0.55.

40%des golfeursfont aussi du tennis donc sur 100 estivants dont on sait qu’ils font du golf il y en a 40 qui pratiquent le tennis doncp_G(T) = ₁₀₀⁴⁰ = 0.4.

4. p(G∩T) =p_G(T)×p(G) = 0.4×0.3 = 0.12

p(G∪T) =p(G) +p(T)−p(G∩T) = 0.3 + 0.55−0.12 = 0.73

La probabilit´e qu’un estivant pratique du golf ou du tennis (ou les deux) est de 0.73.

5. On cherchep_T(G). On applique la formule : p_T(G) = ^p(G∩T_p(T)⁾ = ^0.12_0.55 ≈0.22

Exercice 3

1.

El`eves de terminale Gar¸cons Filles TOTAL R´eussite au baccalaur´eat 138 185 323

Echec au baccalaur´eat 33 24 57

TOTAL 171 209 380

2. R=”l’´el`eve n’a pas obtenu son baccalaur´eat”.

G∩R=”l’´el`eve est une fille qui a obtenu son baccalaur´eat”.

3. il y a 57 ´el`eves sur les 380 de terminale qui n’ont pas obtenu leur baccalaur´eat. Donc p(R) = ₃₈₀⁵⁷ = 0.15

il y a 171 ´el`eves sur les 380 de terminale qui sont des gar¸cons, doncp(G) = <sup>171</sup><sub>380</sub> = 0.45 il y a 185 ´el`eves sur les 380 de terminale qui sont des filles qui ont obtenu leur bac- calaur´eat. Doncp(G∩R) = ¹⁸⁵₃₈₀ ≈0.49

4. On applique la formule :

p_R(G) =^p(R∩G)_p(R) avec p(R) = 1−p(R) = 1−0.15 = 0.85, doncp_R(G)≈0.57. Autre solution : on lit directement dans le tableau que parmi les 323 ´el`eves qui ont r´eussi, 185 sont des filles, dontp_R(G) = ¹⁸⁵₃₂₃ ≈0.57.

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