Universit´e Paris 7 Denis Diderot L3Math-Info (Alg`ebre et g´eom´etrie) 2009-2010
Feuille d’exercices XII
Soit 𝐾 un corps. On appelle alg`ebre de Lie sur 𝐾 toute 𝐾-alg`ebre (𝐴,+,[,],0) (non-n´ecessairement commutatif ni associatif ni unif`ere) qui v´erifie les deux conditions suivantes :
1) pour tous les𝑋, 𝑌 ∈𝐴, on a [𝑋, 𝑌] =−[𝑌, 𝑋],
2) pour tous les𝑋, 𝑌, 𝑍∈𝐴, on a [𝑋,[𝑌, 𝑍]] + [𝑌,[𝑍, 𝑋]] + [𝑍,[𝑋, 𝑌]] = 0.
On appellesous-alg`ebre de Lie de𝐴toute partie𝐵 de𝐴contenant 0 qui est stable par les lois de composition de𝐴. Il s’av`ere que l’ensemble𝐵 muni des restrictions des lois de𝐴est une alg`ebre de Lie sur𝐾.
Exercice 1 Soit (𝐴,+,[,],0) une alg`ebre de Lie sur un corps𝐾de caract´eristique∕= 2.
Montrer que𝐴 est une alg`ebre commutatif si et seulement si sa loi de multiplication est nulle.
Exercice 2 Soit (𝐴,+,⋅,0) une 𝐾-alg`ebre associative (non-n´ec´essairement unif`ere).
Pour tous les 𝑋, 𝑌 ∈𝐴, on note [𝑋, 𝑌] := 𝑋𝑌 −𝑌 𝑋. Montrer que (𝐴,+,[,],0) est une alg`ebre de Lie sur𝐾 (appel´ee l’alg`ebre de Lie associ´ee `a (𝐴,+,⋅,0)).
Exercice 3 On d´esigne par𝔤𝔩𝑛(ℂ) l’alg`ebre de Lie associ´ee `a laℂ-alg`ebre associative 𝑀𝑛(ℂ) (dont la loi de multiplication est la multiplication des matrices). Soit𝔰𝔩𝑛(ℂ) la partie de𝔤𝔩𝑛(ℂ) des matrices de trace nulle. Montrer que𝔰𝔩𝑛(ℂ) est une sous-alg`ebre de Lie de𝔤𝔩𝑛(ℂ). Est-ce que𝔰𝔩𝑛(ℂ) est une sous-alg`ebre de𝑀𝑛(ℂ) ?
Exercice 4 On consid`ere la s´erie enti`ere
∑
𝑘≥1
(−1)𝑘−1
𝑘 (𝑋−𝐼)𝑘 (1)
dans𝑀𝑛(ℂ).
1) Montrer que la s´erie enti`ere (1) converge absoluement dans le domaine∥𝑋−𝐼∥<1 et donc d´efinit une fonction analytic (que l’on notera log) sur ce domaine.
2) Montrer que exp(log(𝑋)) =𝑋 pour∥𝑋−𝐼∥<1.
3) Montrer que ∥exp(𝑋)−𝐼∥ ≤ 𝑒∥𝑋∥−1. En d´eduire que log(exp(𝑋)) = 𝑋 pour
∥𝑋∥<log 2.
4) Montrer que exp est un hom´eomorphisme analytique de la boule∥𝑋∥<log 2 dans un voisinage ouvert de𝐼 dans GL𝑛(ℂ).
Exercice 5 Pour tout 𝑋 ∈𝑀𝑛(ℂ), soit𝛾𝑋 :ℝ→GL𝑛(ℂ) l’application qui envoie 𝑡 en exp(𝑡𝑋). On a montr´e dans la feuille XI que𝛾𝑋 est un morphisme de groupes.
1) Soient𝑋 et𝑌 des matrices dans𝑀𝑛(ℂ). ´Etablir les relations suivantes :
𝛾𝑋+𝑌(𝑡) = lim
𝑛→+∞
( 𝛾𝑋(𝑡
𝑛 )
𝛾𝑌(𝑡 𝑛
))𝑛 ,
𝛾[𝑋,𝑌](𝑡2) = lim
𝑛→+∞
( 𝛾𝑋(𝑡
𝑛 )𝛾𝑌(𝑡
𝑛 )𝛾𝑋(
− 𝑡 𝑛
)𝛾𝑌(
− 𝑡 𝑛
))𝑛2 .
2) Soit𝐻 un sous-groupe ferm´e de GL𝑛(ℂ). Soit𝔥l’ensemble des𝑋 ∈𝑀𝑛(ℂ) tels que exp(𝑡𝑋)∈𝐻 quel que soit𝑡∈ℝ.
(i) Montrer que𝔥est une sous-alg`ebre de Lie (surℝ) de𝔤𝔩𝑛(ℂ).
(ii) Montrer que𝑔𝑋𝑔−1∈𝔥quels que soient𝑔∈𝐻 et 𝑋∈𝔥.
(iii) Montrer que
𝔥={𝛾′(0)∣𝛾: ]−1,1[→𝐻 de classe𝐶1,𝛾(0) =𝐼}.
Exercice 6 Soient 𝐻 un sous-groupe ferm´e de GL𝑛(ℂ) et 𝔥son alg`ebre de Lie (i.e., l’ensemble des𝑋∈𝑀𝑛(ℂ) tels que exp(𝑋)∈𝐻).
1) Soit 𝐻∘ la composante convexe de𝐼 dans𝐻. Montrer que𝐻∘ est un sous-groupe de𝐻.
2) Montrer que l’image de𝔥par exp est contenue dans𝐻∘.
3) Montrer que, pour tout𝑟 >0, l’image de la boule de rayon𝑟dans𝔥par l’application 𝔥est un voisinage ouvert de𝐼 dans𝐻.
4) En d´eduire que𝐻 est localement connexe par arcs.
5) Montrer que𝐻 est engendr´e par exp(𝔥).
Exercice 7 Pour chacun des sous-groupes de GL𝑛(ℂ) suivants, d´etermier son alg`ebre de Lie. Lesquelles sont des alg`ebres de Lie surℂ?
1) SL𝑛(ℂ).
2) GL𝑛(ℝ), SL𝑛(ℝ).
3) O𝑛 :={𝑋 ∈GL𝑛(ℝ)∣𝑋𝑇𝑋=𝐼}, SO𝑛 := O𝑛∩SL𝑛(ℝ).
4) U𝑛:={𝑋∈GL𝑛(ℂ)∣𝑋∗𝑋=𝐼}, SU𝑛:= U𝑛∩SL𝑛(ℂ).
Exercice 8 Dans cet exercice, on ´etudie𝔰𝔩2(ℂ) l’alg`ebre de Lie de SL2(ℂ). On note
𝐻 = (1 0
0 −1 )
, 𝑋= (0 1
0 0 )
, 𝑌 = (0 0
1 0 )
1) Montrer que (𝐻, 𝑋, 𝑌) est une base de𝔰𝔩2(ℂ).
2) Calculer [𝐻, 𝑋], [𝐻, 𝑌] et [𝑋, 𝑌].
3) Pour𝑘∈ℕ∗, soit𝑉𝑘 l’espaces des polynˆomes homog`enes `a deux variables𝑥, 𝑦et de degr´e𝑘. Montrer que les op´erateurs suivants sont des endomorphismes de𝑉𝑘 :
𝜃(𝐻) :=𝑥 ∂
∂𝑥−𝑦 ∂
∂𝑦, 𝜃(𝑋) :=𝑥∂
∂𝑦, 𝜃(𝑌) :=𝑦 ∂
∂𝑥.
4) En d´eduire un morphisme d’alg`ebres de 𝔰𝔩2(ℂ) vers l’alg`ebre de Lie associ´ee `a l’alg`ebre associative End(𝑉𝑘).
5) Montrer que𝑉𝑘 est une repr´esentation irr´eductible de𝔰𝔩2(ℂ). Autrement dit, le seul sous-espace non-nul de𝑉𝑘 invariant par l’action de 𝔰𝔩2(ℂ) est𝑉𝑘 lui-mˆeme.
