Universit´e Paris 7 Denis Diderot L3Math-Info (Alg`ebre et g´eom´etrie) 2009-2010
Feuille d’exercices X
Exercice 1 Soient𝐿/𝐾 une alg´ebrique alg´ebrique et𝐶un corps alg´ebriquement clos.
On suppose donn´e un homomorphisme de corps de𝜂:𝐾→𝐶. Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe un homomorphisme de corps𝜑:𝐿→𝐶 qui prolonge𝜂.
1) D´emontrer ce r´esultat pour le cas o`u l’extension𝐿/𝐾 est monog`ene.
2) Soitℰla famille des paires (𝐿′, 𝜓), o`u𝐿′est un sous-corps contenant𝐾et𝜓:𝐿′→𝐶 est un homomorphisme de corps prolongeant𝜂.
i) Montrer que la familleℰ est non-vide.
ii) On munit la familleℰde la relation d’ordre suivante. Soient (𝐿1, 𝜓1) et (𝐿2, 𝜓2) deux ´el´ements dans ℰ. On ´ecrit (𝐿1, 𝜓1)≤(𝐿2, 𝜓2) si et seulement si𝐿1⊂𝐿2
et si𝜓2∣𝐿1 =𝜓1. Montrer que tout sous-ensemble totalement ordonn´e deℰ est major´e.
3) Conclure par le lemme de Zorn.
4) Application. Soient𝜂1 :𝐾→𝐶1 et 𝜂2 :𝐾→𝐶2 deux homomorphismes de corps.
Montrer que, si 𝐶1 et 𝐶2 sont respectivement la clˆoture alg´ebrique de 𝜂1(𝐾) et 𝜂2(𝐾), alors il existe un isomorphisme de corps𝜑:𝐶1→𝐶2tel que 𝜂2=𝜑𝜂1. Exercice 2 Soit𝐿/𝐾 une extension de corps.
1) Pour tout ´el´ement𝛼∈𝐿qui est alg´ebrique sur𝐾, on d´esigne par𝑆𝛼l’ensemble des racines du polynˆome minimal de𝛼dans𝐿. Montrer que, pour tout endomorphisme 𝐾-lin´eaire𝜎:𝐿→𝐿, l’ensemble𝑆𝛼 est stable par l’action de𝜎.
2) En d´eduire que, si l’extension 𝐿/𝐾 est alg´ebrique alors tout endomorphisme 𝐾- lin´eaire de𝐿est un isomorphisme de corps.
3) Construire un endomorphisme de corps qui n’est pas un automorphisme.
4) Application. Soient𝐾un corps et𝐶une clˆoture alg´ebrique de𝐾. Montrer que tout homomorphisme𝐾-lin´eaire entre deux sous-corps de𝐶 contenant𝐾 se prolong en un automorphisme de𝐶.
Exercice 3 On appelle degr´e s´eparable d’une extension alg´ebrique 𝐿/𝐾 le cardinale de Hom𝐾(𝐿, 𝐶), o`u 𝐶est une clˆoture alg´ebrique de𝐾. On le note [𝐿:𝐾]𝑠.
1) Montrer que la d´efinition de [𝐿:𝐾]𝑠ne d´epend pas du choix de la clˆoture alg´ebrique 𝐶de𝐾.
2) Soient𝐿′/𝐿/𝐾des extensions alg´ebriques de corps et𝐶une clˆoture alg´ebrique de𝐿.
Etablir une bijection entre Hom´ 𝐿(𝐿′, 𝐶)×Hom𝐾(𝐿, 𝐶) et Hom𝐾(𝐿′, 𝐶). En d´eduire que [𝐿′:𝐾]𝑠= [𝐿′:𝐿]𝑠[𝐿:𝐾]𝑠.
3) Montrer que, si 𝐿 =𝐾(𝛼) est une extension monog`ene et finie, alors [𝐿: 𝐾]𝑠 est
´egal au cardinale de l’ensemble des racines (dans𝐶) du polynˆome minimal de𝛼.
4) Montrer que, si𝐿/𝐾 est une extension finie, alors [𝐿:𝐾]𝑠≤[𝐿:𝐾]. Montrer que l’´egalit´e est atteinte si et seulement si l’extension𝐿/𝐾 est s´eparable (i.e. pour tout 𝛼∈𝐿, le polynˆome minimal de𝛼n’a que des racines simples).
Exercice 4 Le but de cet exercice est de montrer que toute extension finie et s´eparable est une extension monog`ene. On fixe dans cet exercice une extension 𝐿/𝐾 finie et s´eparable.
1) Montrer que, si𝐾 est un corps fini, alors il en est de mˆeme de𝐿.
2) En d´edure que, si𝐾 est un corps fini, alors l’extension𝐿/𝐾 est monog`ene.
Dans la suite, on suppose que𝐾 soit un corps infini. On fixe une clˆoture alg´ebrique𝐶 de𝐿.
3) Expliquer pourquoi il suffit de considerer le cas o`u l’extension 𝐿/𝐾 est engendr´e par deux ´el´ements 𝑎et 𝑏.
4) Soient 𝑓 et 𝑔 le polynˆome minimal (unitaire) de 𝑎 et 𝑏 respectivement. Soient {𝑎1,⋅ ⋅ ⋅ , 𝑎𝑛} (resp. {𝑏1,⋅ ⋅ ⋅, 𝑏𝑚}) l’ensemble des racines de 𝑓 (resp. 𝑔) dans 𝐶 diff´erents de 𝑎 (resp. 𝑏). Montrer que 𝑓(𝑋) = (𝑋 −𝑎1)⋅ ⋅ ⋅(𝑋 −𝑎𝑛) et 𝑔(𝑋) = (𝑋−𝑏1)⋅ ⋅ ⋅(𝑋−𝑏𝑚).
5) Soit𝜆un ´el´ement dans𝐾 qui est diff´erent des 𝑎−𝑎𝑖
𝑏−𝑏𝑗, 𝑖∈ {1,⋅ ⋅ ⋅ , 𝑛}, 𝑗∈ {1,⋅ ⋅ ⋅ , 𝑚}.
Soit en outre𝜃=𝑎+𝜆𝑏et ℎ(𝑋) = 𝑓(𝜃−𝜆𝑋)∈𝐾(𝜃)[𝑋]. Montrer que 𝑏 est une racine deℎet que 𝑏𝑗 n’est pas une racine deℎpour tout𝑗.
6) En d´edure que𝑏∈𝐾(𝜃) et donc𝐾(𝑎, 𝑏) =𝐾(𝜃). Conclure.
Exercice 5 Le but de cet exercice est d’´etudier la norme et la trace. On fix une extension finie 𝐿/𝐾 et une clˆoture alg´ebrique 𝐶 de 𝐿. Pour tout 𝑎 ∈ 𝐿, on d´esigne par 𝑓𝑎 : 𝐿 → 𝐿 l’application 𝐾-lin´eaire qui associe 𝑥 en 𝑎𝑥. On note 𝑃𝑎(𝑇) (resp.
Tr𝐿/𝐾(𝑎),𝑁𝐿/𝐾(𝑎)) le polynˆome caract´eristique (resp. la trace, le d´eterminant) de𝑓𝑎. On note en outre Γ := Hom𝐾(𝐿, 𝐶).
1) On suppose que𝐿/𝐾 soit s´eparable. Montrer les ´egalit´es suivantes (la premi`ere est dans𝐶[𝑇], les deux autres sont dans𝐶) :
𝑃𝑎(𝑇) = ∏
𝜎∈Γ
(𝑇−𝜎(𝑎)), Tr𝐿/𝐾(𝑎) =∑
𝜎∈Γ
𝜎(𝑎), 𝑁𝐿/𝐾(𝑎) = ∏
𝜎∈Γ
𝜎(𝑎).
2) ´Etablir les ´egalit´es suivantes dans le cas g´en´eral.
𝑃𝑎(𝑇) = ∏
𝜎∈Γ
(𝑇−𝜎(𝑎))[𝐿:𝐾]/[𝐿:𝐾]𝑠,
Tr𝐿/𝐾(𝑎) = [𝐿:𝐾]
[𝐿:𝐾]𝑠
∑
𝜎∈Γ
𝜎(𝑥),
𝑁𝐿/𝐾(𝑎) =∏
𝜎∈Γ
(𝜎(𝑥))[𝐿:𝐾]/[𝐿:𝐾]𝑠.
3) En d´eduire que, si𝐿/𝐾/𝐹 sont des extensions finies, alors Tr𝐿/𝐹 = Tr𝐾/𝐹Tr𝐿/𝐾, 𝑁𝐿/𝐹 =𝑁𝐾/𝐹𝑁𝐿/𝐾.
