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Universit´e Paris 7 Denis Diderot L3Math-Info (Alg`ebre et g´eom´etrie) 2009-2010

Feuille d’exercices VIII

Dans cette feuille d’exercices, 𝑘 d´esigne un corps commutatif. Si 𝐾 est un corps contenant𝑘, on dit que𝐾/𝑘 est uneextensionde corps. On dit qu’une extension𝐾/𝑘 estalg´ebrique si tout ´el´ement de𝐾est une racine d’un polynˆome `a coefficients dans𝑘.

On dit que𝐾/𝑘est une extensionfinie si𝐾 est un espace vectoriel de rang fini sur𝑘.

Exercice 1 Soit𝐾/𝑘une extension alg´ebrique et𝛼∈𝐾. Pour tout𝛼∈𝐾, on d´esigne par𝑓𝛼:𝑘[𝑋]→𝐾 l’homomorphisme que envoie𝑃∈𝑘[𝑋] en 𝑃(𝛼).

1) Montrer que le noyau de𝑓𝛼 est un id´eal maximal de𝑘[𝑋].

2) Soit 𝑘[𝛼] l’image de 𝑓_𝛼. Montrer que 𝑘[𝛼] est un sous-corps de𝐾 et s’identifie au plus petit sous-corps𝑘(𝛼) de𝐾contenant𝑘∪ {𝛼}.

3) Montrer que l’extension𝑘(𝛼)/𝑘est finie.

4) Montrer que tout sous-anneau de𝐾 contenant𝑘est un corps.

5) Montrer que, pour tout sous-corps 𝐾^′ de 𝐾 contenant 𝑘, l’extension 𝐾/𝐾^′ est alg´ebrique.

6) Montrer que, si (𝛼₁,⋅ ⋅ ⋅, 𝛼_𝑛) est une famille finie d’´el´ements dans𝐾, alors le corps 𝑘(𝛼₁,⋅ ⋅ ⋅ , 𝛼_𝑛) :=𝑘(𝛼₁)(𝛼₂)⋅ ⋅ ⋅(𝛼_𝑛)

est un espace vectoriel de rang fini sur𝑘.

Exercice 2 Soit𝐿une 𝑘-alg`ebre int`egre qui est de rang fini (comme espace vectoriel sur𝑘).

1) Montrer que𝐿est un corps.

2) Montrer que l’extension𝐿/𝑘 est alg´ebrique.

Exercice 3 Le but de cet exercice est de montrer que, si 𝐾/𝑘 et 𝐿/𝐾 sont deux extensions alg´ebriques, alors𝐿/𝑘 est ´egalement une extension alg´ebrique.

1) Soit𝛼un ´el´ement de𝐿. Montrer qu’il existe des ´el´ements𝑎1,⋅ ⋅ ⋅, 𝑎𝑛 de𝐾 tels que 𝛼est une racine d’un polynˆome `a coefficients dans𝑘(𝑎1,⋅ ⋅ ⋅ , 𝑎𝑛).

2) Soit𝐾^′ =𝑘(𝑎1,⋅ ⋅ ⋅, 𝑎𝑛). Montrer que l’extension𝐾^′(𝛼)/𝐾^′ est finie.

3) En d´eduire que𝐾^′(𝛼)/𝑘 est une extension finie.

4) Conclure.

Exercice 4 Le but de cet exercice est de montrer que, si𝐿/𝑘 est une extension et s’il existe une famille finie (𝑎1,⋅ ⋅ ⋅, 𝑎𝑛) d’´el´ement dans𝐿telle que𝐿=𝑘[𝑎1,⋅ ⋅ ⋅, 𝑎𝑛]. Alors l’extension𝐿/𝑘 est finie.

1) Montrer que, si𝛼∈𝐿est tel que𝑘[𝛼] =𝑘(𝛼), alors l’extension𝑘(𝛼)/𝑘est alg´ebrique.

2) Soient𝐴un anneau int`egre,𝐹 le corps de fractions de𝐴et𝐵un sous-anneau de𝐹 contenant𝐴. Montrer que, si𝐹 est de type fini comme un𝐵-module, alors𝐵 =𝐹.

3) Soit𝑃 un ´el´ement non-nul de𝑘[𝑋]. Montrer que l’anneau𝑘[𝑋, 𝑃⁻¹] est strictement contenu dans𝑘(𝑋).

4) Conclure par r´ecurrence sur𝑛.

5) Application : montrer que, si 𝔪 est un id´eal maximal de l’anneau des polynˆomes 𝑆=𝑘[𝑋1,⋅ ⋅ ⋅, 𝑋𝑛], alors 𝑆/𝔪 est un espace vectoriel de rang fini sur𝑘.

Exercice 5 Soit𝐷:𝑘[𝑋]→𝑘[𝑋] l’application𝑘-lin´eaire telle que i) 𝐷(𝑋^𝑛) =𝑛𝑋^𝑛−1quel que soit 𝑛∈ℕ∖ {0},

ii) 𝐷(1) = 0.

Si 𝑚 ≥ 1 est un entier, on d´esigne par 𝐷^𝑚 : 𝑘[𝑋] → 𝑘[𝑋] l’application compos´ee 𝐷∘𝐷∘ ⋅ ⋅ ⋅ ∘𝐷

| {z }

𝑚copies

. Enfin, on note𝐷⁰ l’application d’identit´e de𝑘[𝑋] vers lui-mˆeme.

1) Montrer que𝐷(𝑋^𝑛+𝑚) =𝑋^𝑛𝐷(𝑋^𝑚) +𝑋^𝑚𝐷(𝑋^𝑛) quel que soit (𝑚, 𝑛)∈ℕ². 2) En d´eduire que𝐷(𝑃 𝑄) =𝑃 𝐷(𝑄) +𝑄𝐷(𝑃) quels que soient 𝑃 et 𝑄dans𝑘[𝑋].

3) En d´eduire que, pour tous les𝑚∈ℕ∖ {0},𝑃∈𝑘[𝑋] et𝑄∈𝑘[𝑋],

𝐷^𝑚(𝑃 𝑄) =

𝑚

∑

𝑖=0

𝐶_𝑚^𝑖 𝐷^𝑖(𝑃)𝐷^𝑚−𝑖𝑄.

4) Soient𝑎∈𝑘et 𝑛∈ℕquelconques, d´eterminer 𝐷((𝑋−𝑎)^𝑛).

5) Montrer que, pour tout polynˆome 𝑃 ∈ 𝑘[𝑋], il existe 𝑄 ∈ 𝑘[𝑋] tel que 𝑃(𝑋)− 𝑃(𝑎) = (𝑋−𝑎)𝑄(𝑋).

6) Soient 𝑃 ∈𝑘[𝑋], 𝑎∈𝑘 et 𝑄∈𝑘[𝑋] tel que (𝑋 −𝑎)𝑄=𝑃−𝑃(𝑎). Montrer que, pour tout entier𝑚≥1, (𝑚+ 1)𝐷^𝑚𝑄(𝑎) =𝐷^𝑚+1𝑃(𝑎).

7) On suppose que car(𝑘) = 0. Montrer que, si𝑃 est un polynˆome de degr´e𝑛 dans 𝑘[𝑋] et si𝑎∈𝑘 est quelconque, alors

𝑃 =𝑃(𝑎) +𝐷𝑃(𝑎)(𝑋−𝑎) +𝐷²𝑃(𝑎)

2! (𝑋−𝑎)²+⋅ ⋅ ⋅+𝐷^𝑛𝑃(𝑎)

𝑛! (𝑋−𝑎)^𝑛. 8) Soit𝑃un polynˆome non-nul. On rappelle que la multiplicit´e d’une racine𝑎de𝑃 est

par d´efinition le plus grand entier naturel𝑚∈ℕtel que (𝑋−𝑎)^𝑚divise𝑃. Montrer que,𝑎est une racine de multiplicit´e 1 si et seulement si𝑃(𝑎) = 0 et𝐷𝑃(𝑎)∕= 0. En outre, si car(𝑘) = 0, alors la multiplicit´e de𝑎est ´egale au plus grand entier naturel 𝑚∈ℕtel que

𝑃(𝑎) =𝐷𝑃(𝑎) =⋅ ⋅ ⋅=𝐷^𝑚−1𝑃(𝑎) = 0.

9) Montrer que, si𝑃 ∈𝑘[𝑋] est un polynˆome irr´eductible de degr´e≥1 tel que𝐷𝑃 ∕= 0, alors (𝑃, 𝐷𝑃) =𝑘[𝑋].

10) Montrer que, si𝑘 est parfait, alors pour tout polynˆome irr´eductible de degr´e≥1, on a𝐷𝑃 ∕= 0.

11) En d´eduire que, si 𝑘 est parfait et si 𝑃 est un polynˆome irr´eductible dans 𝑘[𝑋], alors pour toute extension𝐿/𝑘, le polynˆome𝑃 n’a pas de racine multiple dans𝐿.