Universit´e Paris Diderot M1 Arithm´etique
2009-2010
Feuille d’exercices VII
Dans cette feuille,𝑝d´esigne un nombre premier,𝑓 est un entier strictement positif et𝑞=𝑝𝑓. Soit en outre𝔽un corps `a𝑞´el´ements. Soit𝐴=𝔽[𝑇] l’anneau des polynˆomes
`
a une variable𝑇 et `a coefficients dans𝔽. Pour tout polynˆome𝑓 ∈𝐴, soit
∣𝑓∣:=𝑞deg(𝑓).
Le symbole 𝑃, avec ou sans indice, d´esigne un ´el´ement irr´eductible dans l’anneau principal𝐴.
Exercice 1 On dit qu’un anneau commutatif et unif`ere est local s’il n’admet qu’un id´eal maximal.
1) Montrer que, si 𝑅 est un anneau local et si 𝔪 est l’id´eal maximal de 𝑅, alors les
´el´ements dans𝑅∖𝔪 sont inversibles dans𝑅.
2) Soient𝐵un anneau principal et𝑏un ´el´ement irr´eductible dans𝐵. Montrer que, pour tout entier𝑛, l’anneau quotient𝐵/𝑏𝑛𝐵 est local. D´eterminer son id´eal maximal.
Exercice 2 Pour tout𝑓 ∈𝐴, soit 𝜑(𝑓) le cardinal de (𝐴/𝑓 𝐴)×.
1) Montrer que la fonction 𝜑 est multiplicative, autrement dit, si 𝑓 et 𝑔 sont deux polynˆomes premiers entre eux, alors𝜑(𝑓 𝑔) =𝜑(𝑓)𝜑(𝑔).
2) Soit𝑃 un polynˆome irr´eductible. D´eterminer𝜑(𝑃𝑒), o`u𝑒est un entier strictement positif.
3) En d´eduire que
𝜑(𝑓) =∣𝑓∣∏
𝑃∣𝑓
(1− 1
∣𝑃∣ ).
4) Soient𝑓 et𝑔 deux polynˆomes dans𝐴tels que pgcd(𝑓, 𝑔) = 1. Montrer que
𝑔𝜑(𝑓)≡1 (mod𝑓).
5) Soit𝑃 un polynˆome irr´eductible dans𝐴. Montrer la relation
𝑋∣𝑃∣−1−1≡ ∏
0⩽deg(𝑓)<deg(𝑃)
(𝑋−𝑓)
dans (𝐴/𝑃 𝐴)[𝑋].
6) En d´eduire que, si 𝑑 est un entier strictement positif qui divise ∣𝑃∣ −1, alors le polynˆome𝑋𝑑−1 a exactement𝑑racines distinctes dans (𝐴/𝑃 𝐴)∗.
7) Montrer que
∏
0⩽deg(𝑓)<deg(𝑃)
𝑓 ≡ −1 (mod𝑃).
8) Pour tout entier𝑚⩾1, soit𝑓𝑚(𝑇) =𝑇𝑞𝑚−𝑇. Montrer que
𝑓𝑚= ∏
𝑃unitaire deg(𝑃)∣𝑚
𝑃.
9) En d´eduire que∏𝑚
𝑖=1𝑓𝑖 est le ppcm des polynˆomes de degr´e𝑚.
