Universit´e Paris 7 Denis Diderot L3Math-Info (Alg`ebre et g´eom´etrie) 2009-2010
Feuille d’exercices IV
Dans cette feuille, le symbol𝑝d´esigne un nombre premier. On dit qu’un groupe 𝐺 est un𝑝-groupesi tout ´el´ement de 𝐺est d’ordre une puissance de𝑝.
Exercice 1 1) Soit 𝐺 un 𝑝-groupe commutatif fini. Montrer qu’il existe des entiers strictement positifs𝑟1⩽⋅ ⋅ ⋅⩽𝑟𝑛 tels que
𝐺∼= (ℤ/𝑝𝑟1ℤ)× ⋅ ⋅ ⋅ ×(ℤ/𝑝𝑟𝑛ℤ).
2) Montrer que, si 𝑟1 ⩽ ⋅ ⋅ ⋅ ⩽ 𝑟𝑛 and 𝑠1 ⩽ ⋅ ⋅ ⋅ ⩽ 𝑠𝑚 sont deux familles d’entiers strictement positifs tels que
(ℤ/𝑝𝑟1ℤ)× ⋅ ⋅ ⋅ ×(ℤ/𝑝𝑟𝑛ℤ)∼= (ℤ/𝑝𝑠1ℤ)× ⋅ ⋅ ⋅ ×(ℤ/𝑝𝑠𝑚ℤ), alors on a𝑛=𝑚et (𝑟1,⋅ ⋅ ⋅ , 𝑟𝑛) = (𝑠1,⋅ ⋅ ⋅, 𝑠𝑚).
Exercice 2 Soit 𝑚 un entier positif tel que 𝑝 ∤ 𝑚. Soit 𝑛 = 𝑝𝑟𝑚, o`u 𝑟 > 0 est un entier. Si𝐺est un groupe fini d’ordre𝑛, on appelle𝑝-sous-groupe de Sylowde𝐺tout sous-groupe de cardinal𝑝𝑟de𝐺. Le but de cet exercice est de montrer que tout groupe d’ordre𝑛admet au moins un𝑝-sous-groupe de Sylow.
1) Soit 𝑃 la famille des parties `a 𝑝𝑟 ´el´ements de 𝐺. En utilisant l’action de 𝐺 sur lui-mˆeme par multiplication `a gauche, d´efinir une action de 𝐺sur𝑃.
2) Montrer qu’il existe une partie𝐴∈𝑃 dont l’orbite sous l’action de𝐺est de cardinal premier `a𝑝.
3) Montrer que𝑝𝑟 divise le cardinal de Stab𝐺(𝐴) 4) En d´eduire que Stab𝐺(𝐴) est d’ordre𝑝𝑟. Conclure.
Exercice 3 Soit 𝐺 un groupe fini. Le but de cet exercice est de montrer que, si 𝑝𝑟 divise l’ordre du groupe 𝐺, alors 𝐺admet un sous-groupe d’ordre𝑝𝑟. On d´esigne par 𝑍 le centre de𝐺.
1) Montrer que, si∣𝑍∣n’est pas divisible par𝑝, alors il existe une classe de conjugaison de𝐺dont le cardinale est⩾2 et non-divisible par𝑝.
2) En d´eduire que, si𝑝∤∣𝑍∣, alors il existe un sous-groupe𝑁 de𝐺tel que [𝐺:𝑁] soit premier `a𝑝.
3) Conclure. [Indication : on raisonne par r´ecurrence sur𝐺.]
Exercice 4 Soient 𝑚 > 0 un entier tel que (𝑝, 𝑚) = 1 et 𝑛 =𝑝𝑟𝑚 o`u 𝑟 > 0 est un entier. Soit𝐺un groupe de cardinal𝑛.
1) Montrer que tout sous-groupe conjugu´e `a un𝑝-sous-group de Sylow est toujours un 𝑝-sous-groupe de Sylow.
2) Soit 𝐻 un sous-groupe de𝐺qui est un𝑝-groupe. Montrer que𝐻 est contenu dans un𝑝-sous-groupe de Sylow de 𝐺. [Indication : Soit 𝑆 un 𝑝-sous-groupe de Sylow.
Consid´erer l’action de𝐻 sur le quotient 𝐺/𝑆 par multiplication `a gauche.]
3) Montrer que tous les𝑝-sous-groupe de Sylow de𝐺sont conjugu´es.
4) En d´eduire que le nombre des𝑝-sous-groupe de Sylow de𝐺divise𝑚.
5) Soit 𝑆 un𝑝-sous-groupe de Sylow. En utilisant l’action par conjugaison de 𝑆 sur l’ensemble de ses𝑝-sous-groupe de Sylow, montrer que le nombre des𝑝-sous-groupe de Sylow est congru `a 1 modulo 𝑝.
Exercice 5 Soient 𝑛 un entier strictement positif et impair et 𝐺 un groupe d’ordre 2𝑛.
1) Montrer que𝐺admet un ´el´ementℎd’ordre 2.
2) Soit𝜆:𝐺→ {1,⋅ ⋅ ⋅ ,2𝑛}une bijection. Montrer que l’application 𝜑:𝐺× {1,⋅ ⋅ ⋅,2𝑛} → {1,⋅ ⋅ ⋅ ,2𝑛}
qui envoie (𝑔, 𝑥) en𝜆(𝑔𝜆−1(𝑥)) est une action de groupe.
3) En d´eduire un homomorphisme injectif𝜑:𝐺→𝑆2𝑛. 4) Montrer que𝜑(ℎ) est une permutation impaire.
5) En d´eduire que𝐺admet un sous-groupe distingu´e d’indice 2.
Exercice 6 Soit𝐺un groupe d’ordre 455. Le but de cet exercice est de montrer que 𝐺est n´ecessairement un groupe cyclique.
1) Pour𝑝= 5, 7 et 13, montrer que𝐺admet un ´el´ement d’ordre𝑝.
2) Pour 𝑝 = 7 et 13, montrer que 𝐺 a un unique 𝑝-sous-groupe de Sylow que l’on notera𝐻𝑝.
3) Montrer que, ou bien𝐺a un unique 5-sous-groupe de Sylow, ou bien𝐺a 91 5-sous- groupe de Sylow.
4) Montrer que𝐺a un ´el´ement d’ordre 35.
5) Conclure.
Exercice 7 Soit𝐺un groupe fini.
1) Soit 𝐻 un sous-groupe distingu´e de𝐺. Montrer que, si [𝐺: 𝐻] n’est pas divisible par𝑝, alors tout𝑝-sous-groupe de Sylow est contenu dans𝐻.
2) Soit𝐾un sous-groupe distingu´e de𝐺qui est un𝑝-groupe. Montrer que tout𝑝-sous- groupe de Sylow contient𝐾.
3) Soient𝑝et𝑞deux nombres premiers tels que (𝑝, 𝑞) = 1. Montrer que, si le cardinale de𝐺est 𝑝2𝑞, alors le groupe𝐺n’est pas un groupe simple.
