Universit´e Paris Diderot M1 Arithm´etique
2009-2010
Feuille d’exercices V
Exercice 1 Soit 𝜗 un nombre irrationnel. On appelle constante de Markov de 𝜗 la valeur
𝛾(𝜗) := 1/lim inf
𝑞→∞ (𝑞∥𝑞𝜗∥)∈ℝ+∪ {+∞}, o`u ∥𝑥∥:= dist(𝑥,ℤ).
1) Montrer le th´eor`eme de Dirichlet sous la forme suivante :
∀𝛼∈ℝ, 𝑁 ∈ℕ∗, min
1⩽𝑚⩽𝑁∥𝑚𝛼∥⩽ 1 𝑁+ 1. 2) Monter que l’ensemble
𝒟+(𝜗) :={𝑞⩾2 : ∥𝑞𝜗∥< min
1⩽𝑚<𝑞∥𝑚𝜗∥}
est infini.
3) Soit (𝑞𝑛)𝑛⩾1la suite des ´el´ements dans 𝒟(𝜗) rang´es par ordre croissant, o`u
𝒟(𝜗) :=
{𝒟+(𝜗), si{𝜗}⩽1/2, 𝒟+(𝜗)∪ {1}, si{𝜗}>1/2.
On note en outre𝑞0:= 1. Montrer que 𝛾(𝜗) = 1/lim inf
𝑛→∞ 𝑞𝑛∥𝑞𝑛𝜗∥.
4) Soit𝑝0=⌊𝜗⌋. Pour𝑛⩾1, soit𝑝𝑛 l’entier le plus proche de𝑞𝑛𝜗. Montrer que
𝑛→+∞lim 𝑝𝑛/𝑞𝑛=𝜗.
5) On note (𝑝−2, 𝑞−2) = (0,1) et (𝑝−1, 𝑞−1) = (1,0). Pour tout𝑛⩾−2, on d´esigne par 𝜗𝑛la valeur𝑞𝑛𝜗−𝑝𝑛. Montrer que la suite (𝜗𝑛)𝑛⩾1est altern´ee et la suite (∣𝜗𝑛∣)𝑛⩾1
est strictement d´ecroissante et converge vers 0.
6) Pour 𝑘 ⩾ 0, on note𝛽𝑘 := −𝜗𝑘−2/𝜗𝑘−1 et 𝑎𝑘 = ⌊𝛽𝑘⌋. Montrer que 𝑎𝑘 ⩾1 pour tout𝑘⩾1.
7) Montrer que
𝛾(𝜗) = lim sup
𝑘→∞
(𝛽𝑘+1+𝑞𝑘−1/𝑞𝑘) . 8) Montrer que, pour tout entier𝑘⩾0, on a𝛽𝑘+1= 1/{𝛽𝑘}.
9) Montrer que [𝑎0, 𝑎1, . . . , 𝑎𝑘] =𝑝𝑘/𝑞𝑘 (𝑘⩾0).
10) Montrer que [𝑎0, . . . , 𝑎𝑘−1, 𝛽𝑘] =𝜗 (𝑘⩾0).
11) En d´eduire que
[𝑎0,⋅ ⋅ ⋅, 𝑎𝑘] =𝑎0+ ∑
0⩽𝑗<𝑘
(−1)𝑗
𝑞𝑗𝑞𝑗+1 (𝑘⩾1).
12) Montrer que
1/(2 + lim sup
𝑘→∞
𝑎𝑘)⩽lim inf
𝑞→∞ 𝑞∥𝑞𝜗∥⩽1/lim sup
𝑘→∞
𝑎𝑘.
13) Montrer que𝛾(𝜗) =∞si et seulement si lim sup
𝑘→∞
𝑎𝑘 = +∞.
14) D´eterminer 𝛾( (1 +√
5)/2) .
15) En d´eduire que, si𝑎𝑘 = 1 `a partir d’un certain rang, alors𝛾(𝜗) =√ 5.
16) Montrer que, si𝑎𝑘= 2 `a partir d’un certain rang, alors𝛾(𝜗) =√ 8.
17) Montrer que, si𝑎𝑘⩾3 pour une infinit´e de valeurs de𝑘, alors𝛾(𝜗)⩾3.
18) Montrer que, si 𝑎𝑘 = 1 ou 2 pour 𝑘 assez grand, chaque valeur ´etant prise une infinit´e de fois, alors on a𝑎𝑘 = 1 et𝑎𝑘+1= 2 pour une infinit´e de valeurs de𝑘. En d´eduire que𝛾(𝜗)>√
8.
19) Montrer que𝛾(𝜗)⩾√
5, avec l’´egalit´e si et seulement si𝑎𝑘= 1 `a partir d’un certain rang.
20) Montrer que, si𝑎𝑘 prend une infinit´e de valeurs autre que 1, alors𝛾(𝜗)⩾√ 8, avec l’´egalit´e si et seulement si𝑎𝑘 = 2 `a partir d’un certain rang.
Exercice 2 On dit qu’un nombre r´eel𝛼est unnombre de Liouvilles’il existe une suite (𝑝𝑛/𝑞𝑛)𝑛⩾1 de nombres rationnels avec lim
𝑛→+∞𝑞𝑛= +∞et que l’on a
𝛼−𝑝𝑛
𝑞𝑛 < 1
𝑞𝑛𝑛 pour tout𝑛.
1) Montrer que tout nombre de Liouville est n´ecessairement transcendent.
2) Soit 𝛼un nombre r´eel dont la forme d´ecimale est 𝛼= 𝑛, 𝑑1𝑑2𝑑3. . ., o`u 𝑛 ∈ ℤ et 𝑑𝑖 ∈ {0,1, . . . ,9}. On suppose que l’ensemble {𝑖 : 𝑑𝑖 ∕= 0} est infini. Pour tout entier 𝑁 ⩾1, soit 𝐿𝑁 la plus grande longueur des sous-mots de 𝑑1. . . 𝑑𝑁 qui ne consiste que de symbole 0. Montrer que, si
lim sup
𝑁→+∞
𝐿𝑁/𝑁= 1,
alors𝛼est un nombre de Liouville.
3) Pour tout entier𝑛⩾1, soit𝑀𝑛= 1!+2!+⋅ ⋅ ⋅+𝑛!. D´eterminer lim𝑛→+∞𝑀𝑛/𝑀𝑛+1. 4) Montrer que tout nombre r´eel 𝛼s’´ecrit comme la diff´erence de deux nombres de
Liouville.
