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Universit´e Paris 7 Denis Diderot L3Math-Info (Alg`ebre et g´eom´etrie) 2009-2010

Feuille d’exercices IX

On appellecorps de nombres toute extension finie de ℚ.

Exercice 1 Soit 𝐾 un corps de nombres. On appelle entier alg´ebrique dans 𝐾 tout

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el´ement de 𝐾 qui est une racine d’un polynˆome unitaire `a coefficient dans ℤ et on d´esigne par𝒪𝐾 l’ensemble des entiers alg´ebriques dans𝐾.

1) V´erifier que𝒪_ℚ=ℤ.

2) Soit 𝛼 un entier alg´ebrique dans 𝐾. Montrer que le sous-groupe 𝑀_𝛼 de (𝐾,+) engendr´e par les 𝛼^𝑛 (𝑛∈ℕ) est de type fini et que la multiplication par 𝛼induit un endomorphisme du groupe𝑀𝛼.

3) En d´eduire que𝒪𝐾 est un sous-anneau de𝐾 contenantℤ.

4) Montrer que, pour tout𝑥∈𝐾, il existe un ´el´ement non-nul𝑎∈ℤtel que𝑎𝑥∈ 𝒪𝐾. En d´eduire que𝐾est le corps des fractions de𝒪𝐾et qu’il existe une base (𝑒1, . . . , 𝑒𝑟) de𝐾surℚqui est contenue dans𝒪𝐾.

5) Pour tout𝑎∈𝐾, on d´esigne par𝑓_𝑎:𝐾→𝐾 qui envoie𝑥en𝑎𝑥. Montrer que cette application estℚ-lin´eaire, et est inversible si et seulement si𝑎∕= 0.

6) Montrer que, si𝑎∈ 𝒪𝐾, alors Tr(𝑓𝑎)∈ℤ.

7) Montrer que l’application𝐹 :𝐾×𝐾→ℚqui envoie (𝑥, 𝑦) en Tr(𝑓𝑥𝑦) est une forme ℚ-bilin´eaire sym´etrique non-d´eg´en´er´ee sur𝐾.

8) Soit (𝑒^′₁, . . . , 𝑒^′_𝑟) une base duale de (𝑒1, . . . , 𝑒𝑟) pour la forme bili´eaire𝐹. Autrement dit, on a

Tr(𝑓𝑒^′_𝑖𝑒_𝑗) =𝛿𝑖𝑗.

On prend𝑐∈ℤnon-nul tel que𝑐𝑒^′_𝑖 ∈ 𝒪𝐾pour tout𝑖. Pour𝑧=𝑏1𝑒1+⋅ ⋅ ⋅+𝑏𝑟𝑒𝑟∈𝐾 (o`u𝑏1, . . . , 𝑏𝑟∈ℚ), calculer𝐹(𝑐𝑧, 𝑒^′_𝑖).

9) En d´eduire que 𝒪𝐾 est contenu dans le sous-groupe de (𝐾,+) engendr´e par les 𝑐⁻¹𝑒𝑖 (𝑖= 1,⋅ ⋅ ⋅ , 𝑟).

10) En d´eduire que (𝒪𝐾,+) est un groupe ab´elien libre de rang𝑟.

11) Si𝒘= (𝑤₁, . . . , 𝑤_𝑟) est une base de𝐾 surℚ. On d´esigne par𝑑(𝒘) le d´eterminant de la matrice (𝐹(𝑤𝑖, 𝑤𝑗))1⩽𝑖,𝑗⩽𝑟. Montrer que si𝒘 est une autre base de𝐾 sur ℚ et si𝐴est la matrice de transition (𝒘^′=𝐴𝒘), alors𝑑(𝒘^′) = d´et (𝐴)²𝑑(𝒘).

12) En d´eduire que, si𝒘 et𝒘^′ sont deux bases de𝒪𝐾 surℤ, alors on a𝑑(𝒘) =𝑑(𝒘^′) (cette valeur est appel´e le discriminant de𝐾, not´ee𝑑𝐾).

Exercice 2 Dans cette exercice, le symbole 𝐾 d´esigne le corps ℚ(𝑖) des nombres de Gauss.

1) Soit 𝛼 = 𝑐+𝑖𝑑 un ´el´ement dans 𝐾. Montrer que 𝛼 est la racine du polynˆome quadratique

𝑃𝛼(𝑋) =𝑋²+𝑎𝑋+𝑏∈ℚ[𝑋] avec𝑎=−2𝑐 et𝑏=𝑐²+𝑑².

2) En d´eduire queℤ[𝑖]⊂ 𝒪𝐾.

3) Montrer que, si𝛼=𝑐+𝑖𝑑est un ´el´ement dans𝒪𝐾, alors 2𝑐et 2𝑑sont des entiers.

En d´eduire que𝑐 et𝑑sont en fait des entiers.

4) En d´eduire que𝒪𝐾 =ℤ[𝑖].

5) Calculer le discriminant deℚ(𝑖).

Exercice 3 Soient𝑝un nombre premier,𝜔=𝑒^{2𝑖𝜋/𝑝}et 𝐾=ℚ(𝜔).

1) Montrer que 1 +𝜔+⋅ ⋅ ⋅+𝜔^𝑝−1= 0.

2) En d´eduire que [𝐾:ℚ]⩽𝑝−1.

3) Montrer que, pour tout 𝑖∈ {1,⋅ ⋅ ⋅ , 𝑝−1}, 1 +𝜔+⋅ ⋅ ⋅+𝜔^𝑖−1est un ´el´ement dans 𝒪^×_𝐾.

4) Soit𝑎= 1−𝜔. Montrer que𝒪_𝐾𝑝= (𝒪_𝐾𝑎)^𝑝−1.

5) Montrer que l’id´eal de𝒪_𝐾engendr´e par𝑎est permier et que𝒪_𝐾/𝒪_𝐾𝑎est isomorphe

` aℤ/𝑝ℤ.

6) Montrer que [𝐾:ℚ] =𝑝−1 et que 1, 𝜔, . . . , 𝜔^𝑝−1est une base de𝒪_𝐾 surℤ. 7) D´eterminer le discriminant de𝐾.