DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
SoitE unK-espace vectoriel.
Exercice 1 : Un classique
Soitf ∈ L(E).
1Montrer que Im(f) = Im(f2) si et seulement si Ker(f) + Im(f) =E.
2Montrer que Ker(f) = Ker(f2) si et seulement si Ker(f)∩Im(f) ={0}.
Exercice 2 : Projecteurs de L(E)
Soitp∈ L(E) un projecteur, surF parall`element `a G. On poseq= IdE−p.
1V´erifier queqest un projecteur, dont on donnera (sans d´emonstration) image et noyau en fonction de ceux dep.
2On d´efinit les partiesF etGsuivantes deL(E) :
F ={f ∈ L(E),∃u∈ L(E), f =u◦p} et G={f ∈ L(E),∃u∈ L(E), f =u◦q}
Montrer queF et Gsont des sous-espaces vectoriels de L(E).
3Montrer queF etGsont suppl´ementaires dansL(E).
Exercice 3 : Th´ eor` eme de Maschke
1Soitf etgdeux endomorphismes deE tels quef◦g=g◦f. Montrer queglaisse stables Im(f) et Ker(f) (i.e.g(Im(f))⊂Im(f) etg(Ker(f))⊂Ker(f).
Soit G un sous-groupe fini de GL(E), F un sous-espace vectoriel de E stable par tout ´el´ement g de G (i.e.g(F) ⊂ F). On suppose disposer d’un projecteur q de E sur F. On souhaite montrer que F admet un suppl´ementaireH stable par tout ´el´ement deG(th´eor`eme de Maschke). Pour ce faire, on pose
p= 1
|G|
X
g∈G
g◦q◦g−1.
2Montrer quepest un endomorphisme d’image incluse dansF, puis que c’est un projecteur d’imageF. 3Soitg0∈G. Montrer quep◦g0=g0◦p.
Conclure.
