Suites géométriques. 3 2n+1. On a u n+1 =3 2 (n+1)+1 =3 2 n+3 et pour tout n N, u n =3 2 =9. >0. D'où u n+1 u n 3 = n+1

Suites géométriques

Exercice 1

Déterminer si les suites (^un) ^et (^vn) suivantes sont géométriques. Si oui, préciser leur raison.

1. La suite (^un) est définie pour tout entier n par u_n=3²ⁿ⁺¹.

On a u₀=3^2×0+1=3 , u₁=3^2×1+1=3³=27 , u₂=3^2×2+1=3⁵=243 , etc...

La suite (^un) semble géométrique de raison 9 .

On a u_n+1=3^{2(n+1) +1}=3²ⁿ⁺³ et pour tout n∈ℕ, u_n>0 . D'où u_n+1

u_n =3²ⁿ⁺³

3²ⁿ⁺¹=3²×3²ⁿ⁺¹

3²ⁿ⁺¹ =3²=9 . Le quotient de deux termes consécutifs est une constante, donc (^un) est une suite géométrique.

Sa raison est q=9 .

2. La suite (^vn) est définie pour tout entier n par v_n= 2ⁿ n+1 . 1^ère méthode : On a v₀= 2⁰

0+1=1 , v₁= 2¹

1+1=1 et v₂= 2² 2+1=4

3 . Or v₁

v₀ =1

1=1 et v₂ v₁=

4 3 1 =4

3 . Ainsi la suite v_n n'est pas géométrique car 1≠4 3 . 2^e méthode : Pour tout n∈ℕ, v_n>0 .

D'où v_n+1 v_n =

2ⁿ⁺¹ n+2

2ⁿ n+1

=2ⁿ⁺¹

2ⁿ ×n+1

n+2=2ⁿ×2

2ⁿ ×n+1

n+2=2(n+1) n+2 .

Le quotient entre deux termes dépend de n, donc la suite (^vn) n'est pas géométrique.

Exercice 2

Les suites (^un)^, (^vn) ^et (^wn) sont-elles géométriques ? Si oui, en donner le premier terme et la raison. Pour tout entier n :

1. u_n=− 2 5ⁿ . On a u₀=− 2

5⁰=−2 , u₁=− 2 5¹=−2

5 , u₂=− 2

5²=− 2

25 , etc...

La suite (^un) semble géométrique de raison 1 5 . On a u_n+1

u_n =

− 2 5ⁿ⁺¹

− 2 5ⁿ

=− 2

5ⁿ⁺¹×−5ⁿ 2 = 5ⁿ

5ⁿ⁺¹=1 5 .

Le quotient de deux termes consécutifs est une constante, donc (^un) est une suite géométrique de raison q=1

5 .

2. v_n=2²ⁿ 3²ⁿ . On a v₀=2⁰

3⁰=1 , v₁=2² 3²=4

9 , v₂=2⁴ 3⁴=16

81 , etc...

La suite (^vn) semble géométrique de raison 4

9 . On a v_n+1 v_n =

2²⁽ⁿ⁺¹⁾ 3²⁽ⁿ⁺¹⁾ 2²ⁿ 3²ⁿ

=2²ⁿ⁺²

2²ⁿ × 3²ⁿ 3²ⁿ⁺²=2²

3² =4 9 . Le quotient de deux termes consécutifs est une constante, donc (^vn) est une suite géométrique de raison q=4

9 .

3. w_n+1=−w_n+3 et w₀=−4 .

On a w₀=−4 , w₁=−w₀+3=−(−4)+3=7 et w₂=−w₁+3=−7+3=−4 . Or w₁

w₀= 7

−4=−7

4 et w₂ w₁=−4

7 . Ainsi la suite (^wn) n'est pas géométrique car −7 4≠−4

7 . Exercice 3

Les suites (^un) ^et (^vn), définies sur ℕ, sont-elles géométriques ? Si oui, préciser le premier terme et la raison.

1. u_n=5²ⁿ⁺³.

On a u0=5^2×0+3=5³=125 , u1=5^2×1+3=5⁵=3125 , u2=5^2×2+3=5⁷=78125 , etc...

La suite (^un) semble géométrique de raison 25. On a u_n+1

u_n =5^2(n+1)+3

5²ⁿ⁺³ =5²ⁿ⁺⁵

5²ⁿ⁺³=5²×5²ⁿ⁺³ 5²ⁿ⁺³ =25 . Le quotient de deux termes consécutifs est une constante, donc (^un) est une suite géométrique de raison q=25 .

2. v_n=3n+2 n+1 . On a v₀=3×0+2

0+1 =2 , v₁=3×1+2 1+1 =5

2 et v₂=3×2+2 2+1 =8

3 . Or v₁

v₀ = 5 2 2 =5

4 et v₂ v₁=

8 3 5 2

=8 3×2

5=16

15 . Ainsi (^vn) n'est pas géométrique car 5 4≠16

15 .

Exercice 4

Soit (^un) une suite géométrique de terme initial u_p et de raison q . Écrire l'expression du terme général de cette suite dans les cas suivants.

1. u₀=2 et q=5 . Pour tout n∈ℕ, u_n=2×5ⁿ. 2. u₂=7 et q=0 , 1 . Pour tout n⩾2 , u_n=7×0 ,1ⁿ⁻². 3. u₀=−9 et q=1

2 . Pour tout n∈ℕ, u_n=−9×

(

¹2

)

^n=−9×₂^{1n .}

4. u₅=1

3 et q=7

2 . Pour tout n⩾5 , u_n=1

3×

(

⁷₂

)

^n−5.

Exercice 5

1. Soit (^un) une suite géométrique de raison 4 et de premier terme u₀=5 . a. Pour tout entier n, exprimer u_n en fonction de n.

Pour tout n∈ℕ, u_n=5×4ⁿ. b. Calculer u₁₀.

On a u₁₀=5×4¹⁰=5242880 .

2. Soit (^vn) une suite géométrique de raison 1

4 et de premier terme v₃=16 . a. Pour tout entier n⩾3 , exprimer v_n en fonction de n.

Pour tout n⩾3 , v_n=16×

(

¹₄

)

^n−3=16×₄^{1n−3 .}

b. Calculer v₈.

On a v₈=16×

(

¹4

)

⁸⁻⁵⁼⁴₄^{25 =}₄¹³⁼64¹ . Exercice 6

1. Soit (^un) une suite géométrique telle que u₂=2 et u₇=486 . Déterminer la raison q et le premier terme u₀ de la suite (^un)^.

Pour tous entiers n et p, un=up×q^n−p. On choisit n=7 et p=2 . u₇=u₂×q⁷⁻²⇔ 486=2×q⁵ ⇔q⁵=243⇔q=243

1

5 ⇔q=3 (ceci est hors programme).

De plus, u₀=u₂×3⁰⁻²=2×1 9=2

9 . Ainsi, pour tout n∈ℕ, u_n= 2 9×3ⁿ.

2. Soit (^vn) une suite géométrique de terme initial v₁=0, 2 et telle que v₄=3, 125 . Déterminer sa raison q.

Pour tous entiers n et p, v_n=v_p×q^n−p.

v₄=v₁×q⁴⁻¹⇔ 3, 125=0, 2×q³⇔ q³=15, 625⇔q=15 , 625

1

3 ⇔ q=2 ,5 (HP).

Ainsi, pour tout n⩾1 , vn=0 , 2×2 ,5ⁿ⁻¹. Exercice 7

1. Soit (^un) une suite géométrique de raison 3 et telle que u₂=99 . Calculer le terme initial u₀, puis u₁₄.

Pour tous entiers n et p, un=up×q^n−p. D'où u₀=u₂×3⁰⁻²=99× 1

3²=11 et u₁₄=u₂×3¹⁴⁻²=99×3¹²=52612659 .

2. Soit (^un) une suite géométrique de raison 0 ,1 et telle que u₃=8 . Calculer le terme initial u₁, puis le terme u₅.

Pour tous entiers n et p, un=up×q^n−p. D'où u₁=u₃×0 , 1¹⁻³=8× 1

0 ,1²=800 et u5=u3×0 , 1³⁻¹=8×0, 1²=0 ,08 .

Exercice 8

1. Soit (^un) une suite géométrique de terme initial u₀=40 et telle que u₃=5 . Calculer sa raison.

Pour tous entiers n et p, u_n=u_p×q^n−p. u₃=u₀×q³⁻⁰ ⇔5=40×q³⇔ q³=1

8 ⇔q=

(

¹8

)

^{13 ⇔q=1}2 (HP).

Ainsi, pour tout n∈ℕ, u_n=40×

(

¹2

)

^n=40×₂^{1n .}

2. Soit (^vn) une suite géométrique de terme initial v₁=0, 1 , telle que v₄=21 ,6 . Calculer sa raison.

Pour tous entiers n et p, v_n=v_p×q^n−p.

v₄=v₁×q⁴⁻¹⇔ 21 ,6=0 , 1×q³⇔ q³=216 ⇔q=216

1

3 ⇔ q=6 (HP).

Ainsi, pour tout n⩾1 , v_n=0 ,1×6ⁿ⁻¹. Exercice 9

1. On donne u₀=6 et q=1

3 . Calculer u₆.

Pour tout n∈ℕ, u_n=u₀×qⁿ. D'où u₆=u₀×q⁶=6×

(

¹3

)

⁶⁼243² . 2. On donne u₁=1024 et q=1

2 . Calculer u₈.

Pour tout n⩾1 , u_n=u₁×qⁿ⁻¹. D'où u₈=u₁×q⁸⁻¹=1024×

(

¹2

)

^{7=8 .}

3. On donne u₃=2 et u₄=18 . Calculer q, u₀ et u₆. Pour tous entiers n et p, un=up×q^n−p. On a q=u₄

u₃=18 2 =9 . D'où u₀=u₃×q⁰⁻³=2× 1

9³= 2

729 et u6=u4×q⁶⁻⁴=18×9²=1458 . Ainsi, ∀n∈ℕ, u_n= 2

729×9ⁿ. Exercice 10

Donner le sens de variations de chacune des suites géométriques (^un) définies sur ℕ suivantes.

1. un=2×3ⁿ.

q=3>1 et u₀=2>0 donc (^un) est croissante.

2. un=2×0 , 5ⁿ.

0<q=0 ,5<1 et u₀=2>0 donc (^un) est décroissante.

3. un=−4×5ⁿ⁺¹.

On a u_n=−4×5×5ⁿ=−20×5ⁿ.

q=5>1 et u₀=−20<0 donc (^un) est décroissante.

4. u_n= 1

2×

(

³₄

)

^n.

0<q=3

4<1 et u₀=1

2>0 donc (^un) est décroissante.

5. u_n=−7×(

√

^2)n.

q=

√

2>1 et u₀=−7 donc (^un) est décroissante.

6. u_n=8

√

3×10ⁿ⁻¹.

q=10>1 et u₁=8

√

3>0 donc (^un) est croissante.

7. u_n=0 , 64×

(

^{− 2}₃

)

^n.

q=−2

3<0 donc (^un) n'est pas monotone.

8. u_n=

(

⁵4

)

^n.

q=5

4>1 et u₀=1>0 donc (^un) est croissante.

Exercice 11

1. Soit (^un) la suite définie pour tout entier n par u_n=4×2ⁿ . a. Montrer que la suite (^un) est géométrique. Préciser sa raison.

Pour tout entier n, u_n>0 . On a u_n+1

u_n = 4×2ⁿ⁺¹ 4×2ⁿ =2 .

Le quotient de deux termes consécutifs est une constante, donc la suite (^un) est géométrique de raison q=2 et de premier terme u₀=4 .

b. Quelles sont les variations de (^un) ^?

q=2>1 et u₀=4>0 donc (^un) est croissante.

2. Soit (^vn) la suite définie pour tout entier n par v_n=3ⁿ⁻¹ 5ⁿ⁺² . a. Montrer que la suite (^vn) est géométrique. Préciser sa raison.

Pour tout entier n, v_n>0 . De plus v_n+1=3ⁿ⁺¹⁻¹ 5ⁿ⁺¹⁺²= 3ⁿ

5ⁿ⁺³ . D'où u_n+1 u_n =

3ⁿ 5ⁿ⁺³ 3ⁿ⁻¹ 5ⁿ⁺²

= 3ⁿ

3ⁿ⁻¹×5ⁿ⁺² 5ⁿ⁺³=3

5 . Le quotient de deux termes consécutifs est une constante, donc (^vn) est géométrique de raison

q=3

5 et de premier terme v₀= 3⁻¹ 5² = 1

75 . Ainsi, pour tout n∈ℕ, v_n= 1

75×

(

³5

)

^n.

b. Quelles sont les variations de (^vn) ^? 0<q=3

5<1 et v₀= 1

75>0 donc (^vn) est décroissante.

3. Soit (^wn) la suite définie pour tout entier n par w_n=3ⁿ×4²ⁿ⁻¹. a. Montrer que la suite (^wn) est géométrique. Préciser sa raison.

Pour tout entier n, w_n>0 . De plus w_n+1=3ⁿ⁺¹×4^2(n+1)−1=3ⁿ⁺¹×4²ⁿ⁺¹. D'où w_n+1

w_n =3ⁿ⁺¹×4²ⁿ⁺¹

3ⁿ×4²ⁿ⁻¹ =3×4²=48 .

Le quotient de deux termes consécutifs est une constante, donc (^un) est une suite géométrique de

raison q=48 et de premier terme w₀=3⁰×4^2×0−1=1

4 . Ainsi, pour tout n∈ℕ, u_n=1

4×48ⁿ. b. Quelles sont les variations de (^wn) ^?

q=48>1 et w₀=0 , 25>0 donc (^wn) est croissante.

Exercice 12

1. Soit (^un) la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u₀=4 . Calculer u₁, u₂ et u₃. Pour tout n∈ℕ, u_n=4+2n. On a u₁=4+2×1=6 , u₂=4+2×2=8 , u₃=4+2×3=10 .

2. Soit (^vn) la suite définie pour tout entier n par v_n=2^un. Calculer v₀, v₁ et v₂ puis démontrer que la suite (^vn) est géométrique et donner sa raison.

On a v₀=2^u0=2⁴=16 , v₁=2^u1=2⁶=64 et v₂=2^u2=2⁸=256 .

Pour tout n∈ℕ, v_n=2^un=2⁴⁺²ⁿ=2⁴×2²ⁿ=16×4ⁿ et v_n+1=16×4ⁿ⁺¹. De plus, pour tout n∈ℕ, v_n>0 . D'où v_n+1

v_n =16×4ⁿ⁺¹

16×4ⁿ =4 . Le quotient de deux termes consécutifs est une constante, donc la suite (^vn) est géométrique de raison q=4 .

Autre méthode : Pour tout n∈ℕ, v_n+1=16×4ⁿ⁺¹=4×16×4ⁿ=4v_n. Donc (^vn) est une suite géométrique de raison q=4 .

Exercice 13

1. Soit (^un) la suite définie pour tout entier n par u_n=4ⁿ−1 . a. Montrer que la suite (^un) n'est pas géométrique.

On a u₀=4⁰−1=0 , u₁=4¹−1=3 , u₂=4²−1=15 et u₃=4³−1=63 . Or u₂

u₁=15

3 =5 et u₃ u₂=63

15=21

5 (attention ici, car u₀=0 donc on ne peut pas calculer u₁ u₀ ).

Donc (^un) n'est pas géométrique car 5≠21 5 .

b. Montrer que la suite (^vn) définie pour tout entier n par v_n=u_n+1−u_n est une suite géométrique dont on précisera la raison.

Pour tout n∈ℕ, vn=un+1−un=4ⁿ⁺¹−1−(4ⁿ−1)=4ⁿ⁺¹−1−4ⁿ+1=4×4ⁿ−4ⁿ=(4−1)×4ⁿ=3×4ⁿ . Or pour tout n∈ℕ, v_n>0 . D'où v_n+1

v_n =3×4ⁿ⁺¹

3×4ⁿ =4 . Le quotient de deux termes consécutifs est une constante, donc (^vn) est une suite géométrique de raison q=4 .

c. Donner les variations de (^vn)^.

q=4>1 et v₀=3>0 donc (^vn) est croissante.

2. Soit (^un) la suite définie par u₀=2 et pour tout entier n, u_n+1=3u_n−2 . a. Montrer que la suite (^un) n'est pas géométrique.

On a u₀=2 , u₁=3u₀−2=3×2−2=4 , u₂=3u₁−2=3×4−2=10 . Or u₁

u₁=4

2=2 et u₂ u₁=10

4 =5

2 . Ainsi la suite (^un) n'est pas géométrique car 2≠5 2 .

b. Montrer que la suite (^vn) définie par v_n=u_n−1 est une suite géométrique. Préciser sa raison.

Pour tout n∈ℕ, v_n+1=u_n+1−1=3u_n−2−1=3u_n−3=3(^un−1)^=3vn. Ainsi (^vn) est une suite géométrique de raison q=3 .

Exercice 14

La suite (^un) est géométrique et monotone telle que u₂=2 et u₄=9 8 . 1. Déterminer la raison de la suite (^un)^.

Pour tous entiers n et p, un=up×q^n−p. u₄=u₂×q⁴⁻² ⇔ 9

8=2×q² ⇔ q²= 9

16 ⇔q=3

4 ou q=−3 4 .

Or la suite (^un) est monotone, donc sa raison est forcément positive. Donc q=3 4 . 2. Déterminer le sens de variation de la suite (^un)^.

0<q=3

4<1 et u₀=u₂×

(

³4

)

^0−2=2×

(

³4

)

⁻²⁼³²9 >0 donc (^un) est décroissante.

3. La suite (^un) est-elle bornée ?

Une suite est bornée à condition qu'elle soit comprise entre deux valeurs fixes.

Or son premier terme est u₀=32

9 et elle est décroissante, donc elle admet 32

9 comme maximum.

De plus, lim

n→+∞

u_n=lim

n→+∞

32

9 ×

(

³4

)

^{n=0 car} −1<q<1 . Donc pour tout n∈ℕ, 0⩽u_n⩽32

9 . Ainsi, la suite (^un) est bornée.

Exercice 15

Une population d'oiseaux d'une réserve était de de 9000 le 1^er janvier dernier. Depuis cette date, elle diminue chaque jour de 2%.

1. Calculer la population d'oiseaux le 2^e jour, puis le 3^e jour.

Le 2^e jour, il y a

(

¹⁻100²

)

^×9000=0 ,98×9000=8820 oiseaux.

Le 3^e jour, il y a 0 , 98×8820=8643 , 6≈8643 oiseaux.

2. On note p₀ la population le 1^er janvier et p_n la population n jours après.

a. Montrer que (^pn) est une suite géométrique ; préciser son terme initial et sa raison.

Pour tout n∈ℕ, p_n+1=0 , 98p_n.

Ainsi la suite (^pn) est géométrique de raison q=0 , 98 et de premier terme p₀=9000 . b. Écrire le terme de rang n de la suite (^pn)^.

Pour tout n∈ℕ, p_n=p₀×qⁿ=9000×0 , 98ⁿ.

Exercice 16

Une machine-outil est achetée 9000€. Elle perd chaque année 20% de sa valeur.

1. Calculer sa valeur au bout d'une année.

Au bout d'un an, elle vaudra

(

¹⁻₁₀₀²⁰

)

^{×9000=0 ,8×9000=7200€.}

2. On note r₀ sa valeur d'achat et r_n sa valeur de revente au bout de n années.

a. Montrer que (^rn) est une suite géométrique. Préciser son terme initial et sa raison.

Pour tout n∈ℕ, r_n+1=0 , 8r_n.

Donc la suite (^rn) est géométrique de raison q=0 , 8 et de premier terme r₀=9000 . b. Écrire l'expression de r_n en fonction de n.

Pour tout n∈ℕ, r_n=r₀×qⁿ=9000×0, 8ⁿ. 3. Déterminer sa valeur au bout de quinze ans.

Sa valeur au bout de quinze ans correspond au terme de rang 15. D'où r₁₅=9000×0 , 8¹⁵≈317 . Sa valeur au bout de quinze ans sera d'environ 317€.

Exercice 18

La plus grande des poupées russes mesure 10cm. La taille d’une poupée est les deux tiers de celle qui la précède. Quelle sera la taille de la cinquième poupée ?

Soit (^un) une suite arithmétique de raison q= 2

3 et de premier terme u₁=10 où u_n représente la taille de la n-ième poupée russe. Pour tout n∈ℕ, u_n=10×

(

²3

)

^n−1.

La taille de la 5^e poupée correspond au terme de rang 5. Or u₅=10×

(

²₃

)

^5−1=160₈₁ ^{=1 , 98 .}

Donc la 5^e poupée mesurera environ 1, 98cm. Exercice 19

Rappel : S=

∑

k=0 n

q^k=1−qⁿ⁺¹ 1−q .

1. Pour n entier, on pose S_n=1+2+2²+…+2ⁿ . Calculer S₅, S₂₀ et S₅₀. S₅=

∑

k=0 5

2^k=1−2⁵⁺¹

1−2 =63 , S₂₀=

∑

k=0 20

2^k=1−2²⁰⁺¹

1−2 =2097151 et S₅₀=

∑

k=0 50

2^k=1−2⁵⁰⁺¹

1−2 ≈2,25 .10¹⁵. 2. Pour n entier, on pose S_n=1+

(

¹2

)

⁺

(

¹2

)

^{2+ …+}

(

¹2

)

ⁿ. Calculer S₅, S₂₀ et S₅₀.

S₅=

∑

k=0

5

(

¹₂

)

^k=1−

(

¹2

)

⁵⁺¹

1−1 2

=63

32 , S₂₀=

∑

k=0

20

(

¹₂

)

^k=1−

(

¹2

)

²⁰⁺¹

1− 1 2

≈1,999999046

et S₅₀=

∑

k=0

50

(

¹2

)

^k=1−

(

¹₂

)

⁵⁰⁺¹

1−1 2

=2 .

Exercice 20

Certaines sommes de cet exercice sont complexes à calculer. Je vous laisse le soin d'y réfléchir par vous-même !

Exercice 21 Rappel :

∑

k=p n

u_k=u_p×1−q^n−p+1

1−q .

Calculer les sommes suivantes : a. S₁=1+3+9+27+…2187 .

S₁ est une somme géométrique de raison 3.

Soit (^wn) une suite géométrique de raison q=3 et de premier terme u₀=1 . On a 2187=3⁷. Donc w₇=2187 . Donc S₁=w₀+w₁+…+w₇=

∑

k=0 7

w_k=1×1−3⁷⁻⁰⁺¹

1−3 =3280 . Remarque : S₁ est en fait la somme des huit puissances consécutives de 3.

D'où S₁=1+3+3²+...+3⁷=

∑

k=0 7

3^k=1−3⁷⁺¹

1−3 =3280 .

b. S₂=u₀+u₁+u₂+…+u₇ où (^un) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme 2.

On a S₂=u₀+u₁+…+u₇=

∑

k=0 7

u_k=2×1−3⁷⁻⁰⁺¹

1−3 =6560 .

c. S₃=v₀+v₁+v₂+…+v₇ où la suite (^vn) est définie par v_n=u_n−1 .

On a S₃=(^u0−1)⁺(^u1−1)^+…+(^u7−1)^=u0+u₁+…+u₇−8×1=S₂−8=6552 . Exercice 22

1. Soit (^un) la suite géométrique de raison 1

5 et de premier terme u₀=3 . Calculer la somme des 6 premiers termes de la suite (^un)^.

On a

∑

k=0 5

u_k=3×

1−

(

¹5

)

⁵⁻⁰⁺¹

1−1 5

=3×

1−

(

¹5

)

⁶

−4 5

=15

4

( (

¹₅

)

⁶⁻¹

)

=−3, 74976 . 2. Soit (^vn) la suite géométrique de raison

√

2 et de premier terme v₁=4 . Calculer v₁+v₂+v₃+…+v₁₀.

∑

k=1 10

v_k=4×1−(

√

^2)10−1+1

1−

√

2 =4×1−(

√

²⁾¹⁰

1−

√

2 =124+124

√

^{2 .}

3. Soit (^wn) la suite géométrique de raison 2 et de premier terme w₀=1 . Calculer w₀+w₁+w₂+…w_n.

On a

∑

k=0 n

w_k=

∑

k=0 n

2^k=1−2ⁿ⁺¹

1−2 =2ⁿ⁺¹−1 .

Exercice 23

Soit (^wn) une suite géométrique de raison 3

2 et de premier terme w₀=5 . 1. Donner la valeur exacte de S=w₀+w₁+w₂+…+w₆.

On a S=w₀+w₁+…+w₆=

∑

k=0 6

w_k=5×

1−

(

³2

)

⁶⁻⁰⁺¹

1−3 2

=10295 64 . 2. Donner la valeur exacte de S'=w₀+w₁+w₂+…+w₁₀. On a S'=w0+w1+…+w10=

∑

k=0 10

wk=5×

1−

(

³2

)

¹⁰⁻⁰⁺¹

1−3 2

=875495 1024 . 3. Donner la valeur exacte de S''=w₇+w₈+w₉+w₁₀.

On a alors S''=S'−S= 875495

1024 −10295

64 =875495

1024 −164720

1024 =710775 1024 . Exercice 25

Jules a écrit le programme suivant :

PROGRAM : INDICE : 0→N

: 0→S :While S<5 :S+0,8^N→S :N+1→N :End :DISP N

1. À quelle question répond ce programme ?

Ce programme détermine la valeur de n à partir de laquelle la somme des n premières puissances de 0 ,8 dépasse 5.

2. Le programme de Jules renvoie le nombre 104. La réponse est-elle exacte ?

Oui, la réponse est exacte. Il suffit de rentrer le programme dans la calculatrice puis de l'exécuter.

Exercice 26

Vers −3000 avant J.C., le roi Belkib cherche à tout prix à tromper son ennui. Il promet une récompense exceptionnelle à qui lui proposerait une distraction qui le satisferait. Le sage Sissa lui présente le jeu d’échecs. Le souverain, enthousiaste, demande à Sissa ce que celui-ci souhaiterait en échange de ce cadeau extraordinaire ! Humblement, Sissa demande au prince de déposer un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite pour remplir l’échiquier en doublant la quantité de grain à chaque case. Le prince accorde

immédiatement cette récompense. Sachant qu'un grain de riz pèse en moyenne 0 , 03g , est-ce une bonne affaire ?

Un échiquier est composé de 64 cases. Ce qui signifie que Sissa a placé 1 grain de riz sur la première case, puis 2 sur la deuxième, puis 4 sur la troisième, puis 8 sur la quatrième, et ainsi de suite jusqu'à la soixante quatrième case. Cela correspond donc à une suite géométrique de raison 2.

Soit (^un) une suite géométrique de raison q=2 et de premier terme u₁=1 . Pour tout n∈ℕ, u_n=u₁×qⁿ⁻¹=1×2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹.

On va calculer le nombre de grain total que Sissa doit obtenir (on arrondira les résultats).

On pose S_n=

∑

k=1 n

u_k. On a alors S_n=

∑

k=1 64

u_k=1×1−2⁶⁴⁻¹⁺¹

1−2 ≈1,84 .10¹⁹. Ceci signifie que Sissa recevra environ 1, 84.10¹⁹ grain de riz.

Or un grain de riz pèse en moyenne 0 , 03g .

Ce qui veut dire qu'il va recevoir environ 1, 84.10¹⁹×0 , 03=5 , 52,10¹⁷g de riz au total, soit plus de 500 milliards de tonnes de riz.

Sachant que la production mondiale de riz en 2019 est d'environ 773 millions de tonnes, cela risque d'être compliqué ! (sans même parler du fait qu'il faudrait pouvoir l'approvisionner et le stocker !) Exercice 27

Une retenue d’eau artificielle est alimentée par un ruisseau dont le débit diminue de 20% d’un jour sur l’autre à cause de la sécheresse. Pour la journée du 1^er juin, son débit D₀ est égal à 300m³. Pour n entier, on note D_n le débit pour le n-ième jour après le 1^er juin, en m³.

1. Calculer le débit D₁ pour le 2 juin.

On a D₁=

(

¹⁻100²⁰

)

^{D0=0 , 8 D0}=0 ,8×300=240 . Le débit sera de 240m³ le 2 juin.

2. Quelle est la nature de la suite (^Dn) ? En déduire l’expression de D_n en fonction de n. Pour tout n∈ℕ, D_n+1=0, 8 D_n .

Donc (^Dn) est une suite géométrique de raison q=0 , 8 et de premier terme D₀=300 . Pour tout n∈ℕ, D_n=D₀×qⁿ=300×0, 8ⁿ.

3. Calculer le volume d’eau apporté dans la retenue au cours des 30 jours du mois de juin. On arrondira le résultat au mètre cube.

Le volume apporté dans la retenue au cours des 30 jours du mois de juin correspond à la somme des 30 premiers termes de la suite (^Dn)^.

D'où S₂₉=D₀+D₁+ …+D₂₉=

∑

k=0 29

D_k=300×1−0,8²⁹⁻⁰⁺¹

1−0,8 ≈1498 . Il y aura donc environ 1498m³ dans la retenue après le 30 juin.

QCM

Pour chaque question, indiquer la ou les bonne(s) réponse(s).

1. Les suites ci-dessous sont géométriques : a. u_n=2×4ⁿ b. v_n= 3

4ⁿ⁺¹ c. w_n=2n d. z_n=3×2ⁿ−1 u_n+1

u_n =2×4ⁿ⁺¹

2×4ⁿ =4×4ⁿ 4ⁿ =4 . v_n+1

v_n = 3 4ⁿ⁺²

3 4ⁿ⁺¹

= 3

4ⁿ⁺²×4ⁿ⁺¹

3 = 4ⁿ⁺¹ 4×4ⁿ⁺¹=1

4 . w_n+1

w_n =2n+1 2n =2n

2n+ 1

2n=1+ 1 2n .

On a z₀=3×2⁰−1=2 , z₁=3×2¹−1=5 et z₂=3×2²−1=11 . Or z₂ z₁=11

5 et z₁ z₀=5

2 . Réponses a et b.

2. Soit (^un) une suite géométrique de premier terme u₀=2 et de raison q=3 . L'expression du terme général est :

a. u_n=2×3ⁿ⁺¹ b. u_n=2×3ⁿ c. u_n=3×2ⁿ⁺¹ d. u_n=3×2ⁿ Pour tout entier n, u_n=u₀×qⁿ=2×3ⁿ . Réponse b.

3. Soit (^un) une suite géométrique de premier terme u₁=2 et de raison q=7

2 . L'expression du terme général est :

a. u_n=7

2×2ⁿ⁻¹ b. u_n=7

2×2ⁿ c. u_n=2×

(

⁷2

)

^{n d. un=2×}

(

⁷2

)

ⁿ⁻¹

Pour tout entier n⩾1 , u_n=u₁×qⁿ⁻¹=2×

(

⁷2

)

ⁿ⁻¹. Réponse d.

4. Soit (^un) une suite géométrique telle que u₄=4 et u₆=36 . Les valeurs possibles de u₅ sont :

a. −3 b. 3 c. −12 d. 12

Pour tous entiers n et p, u_n=u_p×q^n−p.

u6=u4×q⁶⁻⁴⇔ 36=4×q²⇔ q²=9 ⇔ q=3 ou q=−3 . Réponses a et b.

5. Les suites croissantes sont :

a. u_n=4n+5 b. v_n=3ⁿ c. w_n=10×0 , 5ⁿ d. z_n=2×1, 01ⁿ (^un) est une suite arithmétique de raison 4>0 donc elle est croissante.

(^vn) est une suite géométrique de raison 3>1 et v₀=1>0 donc elle est croissante.

(^wn) est une suite géométrique de raison 0 ,5 et w₀=10>0 . Or 0<0 ,5<1 , donc (^wn) ^est décroissante.

(^zn) est une suite géométrique de raison 1, 01>1 et z₀=2>0 donc elle est croissante.

Réponses a, b et d.

6. Soit (^un) la suite géométrique de raison 2 et de premier terme u₀=3 . Alors la somme S₁₀=u₀+u₁+u₂+…+u₁₀ est égal à :

a. 2047 b. 177146 c. 253 d. 6141

On a S₁₀=

∑

k=0 1

u_k=3×1−2¹⁰⁺¹

1−2 =3×(2¹¹−1)=6141 . Réponse d.

7. Soit q un réel tel que 1+q+q²+…+q⁵=19608 . Alors q est égal à :

a. 4 b. 5 c. 6 d. 7

On sait que 1+q+q²+…+q⁵=

∑

k=0 5

q^k=1−q⁵⁺¹

1−q =1−q⁶ 1−q . D'où 1+q+q²+…+q⁵=19608⇔ 1−q⁶

1−q =19608 . Nous ne savons pas résoudre une telle équation.

Nous allons donc tester chaque valeur jusqu'à trouver la bonne (il ne peut y en avoir qu'une seule).

Si q=4 , alors

∑

k=0 5

4^k=1−4⁶ 1−4 =1

3 (4⁶−1)=1365 . Si q=5 , alors

∑

k=0 5

5^k= 1−5⁶ 1−5 =1

4 (5⁶−1)=3906 . Si q=6 , alors

∑

k=0 5

6^k=1−6⁶ 1−6 =1

5 (6⁶−1)=9331 . Si q=7 , alors

∑

k=0 5

7^k=1−7⁶ 1−7 =1

6 (7⁶−1)=19608 . Réponse d.

8. Soit (^un) la suite arithmético-géométrique qui vérifie u₀=2 et pour tout entier n, u_n+1=2u_n−1 . Alors, pour tout entier n, on a :

a. u_n=2ⁿ b. u_n=2ⁿ−1 c. u_n=2ⁿ+1 d. u_n=2n−1 On a 2⁰=1 , 2⁰−1=0 , 2⁰+1=2 et 2×0−1=−1 .

La seule suite qui possède le même terme initial est celle définie par u_n=2ⁿ+1 . Réponse c.

9. On définit la suite (^un) ^{par u}0=4 et pour tout entier n, u_n+1=−0 , 4u_n+1750 . On définit la suite (^vn) pour tout entier n par v_n=u_n−1250 . Alors :

a. (^vn) est arithmétique b. (^vn) est géométrique c. (^un) est arithmétique d. (^un) est géométrique

v_n+1=u_n+1−1250=−0 , 4u_n+1750−1250=−0 , 4u_n+500=0 , 4(^un+1250)^{=0 , 4v}n. La suite (^vn) est géométrique de raison 0 , 4 .

La suite (^un) est arithmético-géométrique car elle est de la forme u_n+1=au_n+b avec a=−0 , 4 et b=1750 . Réponse b.

10. En 2011, la facture de gaz d'une entreprise s'élève à 148000€. À partir de 2011, la facture de gaz augmente de 5% par an. À partir de quelle année cette facture dépassera-t-elle 200000€ ?

a. 2020 b. 2017 c. 2018 d. 2019

Soit u_n la facture de gaz de cette entreprise à lors de l'année 2011+n.

Chaque année, la facture de gaz augmente de 5%, donc u_n+1=

(

¹⁺100⁵

)

^{un=1, 05un.}

Donc la suite (^un) est géométrique de raison 1, 05 . Pour tout entier n, u_n=u₀×qⁿ=148000×1 , 05ⁿ.

On cherche n tel que u_n>200000 , c'est-à-dire 148000×1 , 05ⁿ<200000 .

On sait pas résoudre ce type d'inéquation. On va donc tester les valeurs de n correspondant aux différentes années proposées.

Pour 2020, u₉=148000×1, 05⁹=229596, 576 . Pour 2017, u₆=148000 1, 05⁶=198334, 1548 Pour 2018, u₇=148000 1, 05⁷=208250 ,8626 . Pour 2019, u₈=148000 1, 05⁸=218663, 4057 . Réponse c.

Problèmes : Suites arithmétiques et géométriques

Problème 1 ...Partager en trois...

On partage un carré de côté 1 en quatre carrés de même taille et on noircit le carré inférieur gauche.

On applique le procédé au carré en haut à droite et ainsi de suite. Quelle sera l’aire de la partie noire lorsqu’on poursuit indéfiniment la construction ?

Je vous laisse le soin ici de faire une figure qui résume la situation.

On est en présence d'une suite géométrique dont on va additionner tous les termes. Comme on les additionne à l'infini, on fera tendre n vers l'infini et on déterminera alors la limite de la somme de tous les termes de la suite géométrique.

Le premier carré possède une aire de 1 2×1

2=1 4 . Le second carré possède une aire de 1

4×1 4= 1

16 . Le troisième carré possède une aire de 1

16× 1 16= 1

256 . Et ainsi de suite.

Soit (^un) la suite géométrique de raison 1

4 . Pour tout n∈ℕ^*, u_n=

(

¹4

)

^n.

On pose S_n=

∑

k=1 n

u_k.

On a alors S_n=

∑

k=1 n

u_k=u₁×

1−

(

¹₄

)

ⁿ⁻¹⁺¹

1−1 4

=1 4×

1−

(

¹₄

)

ⁿ

3 4

=1 4×4

3

(

¹⁻

(

¹4

)

ⁿ

)

⁼¹3

(

¹⁻

(

¹4

)

ⁿ

)

^.

Or lim

n→+∞

(

¹4

)

^{n=0 car −1<1}₄<1 . D'où, par somme et produit, lim

n→+∞

(

¹3

(

¹⁻

(

¹4

)

ⁿ

))

⁼¹3 . Ainsi, lim

n→+∞S_n= 1

3 et donc l'aire de la partie noire sera de 1

3 lorsque l'on poursuit indéfiniment la construction.

Autre méthode : On a S_n=

∑

k=1

n

(

¹4

)

^k=

^∑

_k=0ⁿ

(

¹4

)

^k−1=1−

(

¹4

)

ⁿ⁺¹

1−1 4

−1=4

3

(

¹⁻

(

¹4

)

ⁿ⁺¹

)

^{−1 .}

Or lim

n→+∞

(

¹4

)

^{n+1=0 car −1<1}4<1 . D'où, par somme et produit, lim

n→+∞

(

⁴3

(

¹⁻

(

¹4

)

ⁿ⁺¹

))

⁼⁴3 . Ainsi, par somme, lim

n→+∞

S_n=1

3 et donc l'aire de la partie noire sera de 1

3 lorsque l'on poursuit indéfiniment la construction.

Problème 2 …Comparaison de crédit...

Vincent veut emprunter 2500€ pour un achat. Le vendeur lui propose de choisir entre deux formules de crédit sur 12 mois.

Proposition 1 : la première mensualité est de 400€ et chaque mois les mensualités suivantes diminuent de 30€ par rapport au mois précédent.

Proposition 2 : la première mensualité est de 400€ et chaque mois, les mensualités suivantes diminuent de 10% par rapport au mois précédent.

Déterminer quelle est la proposition la plus avantageuse pour Vincent.

• Proposition 1 :

Soit (^un) la suite arithmétique de raison r=−30 et de premier terme u₁=400 . Pour tout n⩾1 , u_n=u₁+(n−1)r=400+(n−1)×(−30)=400−30n+30=430−30n.

Vincent emprunte 2500€ qu'il va rembourser sur 12 mois. La somme totale du crédit correspond donc à la somme des 12 premiers termes de la suite (^un)^.

On pose S_n=

∑

k=1 n

u_k=u₁+u₂+…+u_n. Pour n=12 , on a S₁₂=

∑

k=1 12

u_k=u₁+u₂+…+u₁₂=(12−1+1)×u₁+u₁₂

2 =12× 400+70

2 =2820 . Avec la première formule, Vincent remboursera 2820€, soit 320€ d'intérêts.

• Proposition 2 :

Soit (^vn) la suite géométrique de raison q=1− 10

100=0, 9 et de premier terme v₁=400 . Pour tout n⩾1 , v_n=v₁×qⁿ⁻¹=400×0 , 9ⁿ⁻¹.

Vincent emprunte 2500€ qu'il va rembourser sur 12 mois. La somme totale du crédit correspond donc à la somme des 12 premiers termes de la suite (^vn)^.

On pose S'_n=

∑

k=1 n

v_k=v₁+v₂+ …+v_n. Pour n=12 , on a S'₁₂=

∑

k=1 12

v_k=v₁+v₂+…+v₁₂=v₁×1−q¹²⁻¹⁺¹

1−q =400×1−0 , 9¹²

0 , 1≃2870 . Avec la deuxième formule, Vincent remboursera environ 2870€, soit 370€ d'intérêts.

• Conclusion :

D'après les deux formules de crédit proposées, la plus avantageuse est la première car il remboursera 320€ au lieu de 370€ pour la deuxième.

Problème 5 ...Paradoxe de Zénon...

Un archer tire une flèche. Pour atteindre la cible, la flèche doit parcourir la moitié de la distance qui la sépare de la cible, puis la moitié de la distance qui reste, puis la moitié de la distance qui reste, etc... Elle ne peut donc jamais atteindre la cible. Où est l'erreur dans ce raisonnement ?

Il s'agit ici de traiter d'une suite géométrique de raison 1

2 et de sa somme.

Soit (^un) la suite définie sur ℕ^* par u_n=

(

¹2

)

^{n où un} correspond à la distance parcourue lors de la n-ième étape. On a alors u₁=1

2 , u₂=

(

¹₂

)

²⁼¹₄ ^{, u3=}

(

¹₂

)

³⁼¹₈ ^{, etc...}

On cherche la distance totale parcourue par la flèche.