Oscillations
Manip 1
Mesure de l’allongement
On utilise la loi
F =k x (1)
pour d´eterminer la raideur k, connaissant la force F = m g appliqu´ee et mesurant l’allongement xdu ressort.
Masse [kg] Allongement [m] k1 kg s−2 0.050±0.001 0.94±0.01 0.52±0.01 0.100±0.001 1.85±0.01 0.53±0.01
Mesure de la p´ eriode
Nous utilisons cette fois la loi
T = 2π rm
k (2)
pour d´eterminer la raideurkdu ressort, en connaissant la massemsuspendue et mesurant la p´eriodeT. Afin de r´eduire les erreurs, nous mesurons 10T.
Masse totale suspendue [kg] P´eriode [s] k2 kg s−2 0.075±0.006 1.718±0.02 1.00±0.1
Mesure de la demi-vie
Nous donnons au ressort une amplitudeA0, et nous mesurons le tempst1
2 pour que cette amplitude soit 12A0. Nous choisissons A0 = 0.2 m (environ). La masse suspendue est de 75 g. La p´eriode T est de 1.718 s et par cons´equent la vitesse angulaire w= 2π/T vaut 3.66 rad/s. L’´equation du mouvement s’´ecrit :
x(t) =A0e−ρ tcos (ω t) (3)
o`u ρest reli´e `a la demi-vie par la relation
ρ=ln 2 t1
2
(4) Nous mesuronst1
2
= 120 s, ce qui nous donneρ= 0.0058 s−1. Finalement, l’´equation du mouvement s’´ecrit :
x(t) = 0.2e−0.0058tcos (3.66t)
Comparaison des r´ esultats
Les valeurs sont compatibles.
Manip 2
Pendule compos´ e
NB : La version de l’´enonc´e distribu´ee en classe diff`ere l´eg`erement de celle du web.
Nous mesurons L = 1.20±.01 m. Afin de r´eduire les incertitudes sur la p´eriode, nous mesurons `a nouveau 5T. La valeur exp´erimentale deT est Texp= 1.8±.1 s.
1
La loi donnant la p´eriode d’oscillation d’un pendule compos´e est : T = 2π
s I
m g d (5)
o`u Iest le moment d’inertie,mla masse de l’objet,g l’acc´el´eration terrestre etdla distance entre l’axe de rotation et le centre de gravit´e du pendule. Dans cette manip, le pendule compos´e est constitu´e d’une barre uniforme. Le moment d’inertie vaut doncI=13m L2 etd= L2. Ainsi,
Tbarre= 2π s
2L 3g Le calcul donneTbarre= 1.79±0.01 s.
Pendule simple
Nous mesurons L= 0.80±0.01 m. Afin de r´eduire les incertitudes sur la p´eriode, nous mesurons `a nouveau 5T. La valeur exp´erimentale deT est Texp= 1.8±0.1 s.
Pour un pendule simple de longueur l, la p´eriode est donn´ee par : Tpendule= 2πp
l/g (6)
Ici l=2/3L, donc on trouve encore :
Tpendule= 2π s
2L
3g (7)
Ce calcul donneTpendule= 1.79±0.01 s.
Comparaison
Les valeurs mesur´ees sont en bon accord avec les valeurs th´eoriques.
La p´eriode d’un pendule compos´e de longueurL(constitu´e d’une barre uniforme) et la p´eriode d’un pendule simple de longueur 2L/3 sont ´egales. On peut donc approximer un pendule compos´e (uniforme) de longueurL par un pendule simple de longueur 2L3 avec une excellente pr´ecision.
Exercice 1
Pour calculer l’´energie contenue dans le ressort, nous calculons le travail fourni par la force de rappel lorsque le ressort se d´etend et que l’objet au bout du ressort passe de la position d’´elongation maximale A `a une ´elongation du ressort nulle.
W = Z 0
A
F dx= Z 0
A
−k x dx=1
2k A2 (8)
Ce travail est ´egale `a la variation d’´energie cin´etique entre les positions d’´elongations A et 0. L’´energie totale du ressort est donn´ee par l’´energie m´ecanique de l’objet et est constante. Or, l’´energie m´ecanique est la somme des ´energies cin´etique et potentielle :
Etot=Epot+Ec (9)
A la position 0 de repos du ressort,Epot= 0 et l’´energie cin´etique est ´egale `a W calcul´e ci-dessus.
On a doncEtot= 12k A2. Autrement dit :
2
E=−W =− Z A
0
−k x dx=
= Z A
0
k x dx=
= 1 2k A2
3
