Chapitre 9
Conversion d’´energie ´electrom´ecanique
9.1 Introduction
La conversion d’´energie ´electrom´ecanique est une partie int´egrale de la vie de tous les jours. Que ce soit les grandes centrales hydo´electriques qui transforment l’´energie de l’eau en
´energie ´electrique, ou bien le moteur qui fait tourner un s´echoir, la conversion d’´energie est tr`es r´epandue. On verra ici un exemple simple, la machine `a r´eluctance.
9.2 Syst` eme ` a simple excitation
Soit le circuit suivant :
-
¾
i→ N +
−v
x
Fig. 9.1 – Syst`eme simple `a r´eluctance variable
1
La force magn´etomotrice est :
F=Ni=Rϕ La tension est :
v =Ri+ dΨ dt o`u
ψ =L0i et L0 est l’inductance de magn´etisation.
Il faut noter qu’on n´eglige habituellement les pertes Fer et les flux de fuite, sauf sous indication contraire.
Si les pi`eces ferromagn´etiques sont immobiles, la puissance est vi =ei+Ri2
o`u
e= dΨ
dt =L0di dt
L0 est ind´ependante du courant, `a cause des entrefers. Donc, vi=ei+Ri2
=Ri2+idΨ
dt =Ri2+L0idi dt vi=Ri2+ d
dt µ1
2L0i2
¶
On peut int´egrer pour trouver l’´energie. L’´energieR
vifournie par la source pendant un inter- val dt est ´egale `a l’´energie dissip´ee en chaleurR
Ri2 plus la variation de l’´energie magn´etique R idψ.
L’´energie magn´etique totale emmagasin´ee durant l’interval de temps dt est : Wmag =
Z Ψ
0
idΨ
- 6
i Ψ =Nϕ
Fig. 9.2 – Flux en fonction de l’´energie
Gabriel Cormier 2 GEN1153
L’aire sous la courbe est laco-´energie : Wmag0 =
Z i
0
Ψdi
On obtient :
Wmag +Wmag0 = Ψi
= (Nϕ) µRϕ
N
¶
=Rϕ2
= (L0i)(i) =L0i2
On voit que la somme de l’´energie et de la co-´energie `a un instant donn´e est ´egale au produit du flux totalis´e Ψ `a cet instant par la valeur du courant i`a cet instant.
Dans le cas o`u dΨdt est constant (relation lin´eaire), Wmag =Wmag0 = 1
2Ψi= 1
2L0i2 = 1 2Rϕ2
Si une des pi`eces ferrom´ecaniques est mobile, une tension de vitesse et une puissance m´ecanique seront cr´e´es.
Si une pi`ece s’´eloigne ou s’avance l’une par rapport `a l’autre, l’entrefer change, et donc l’inductance :
v =Ri+dΨ dt
=Ri+ d dt
³ L0i
´
=Ri+L0di
dt +idL0 dt o`u
idL0 dt est la tension de vitesse, puisque :
dL0
dt = dL0 dx
dx dt Alors,
vi=Ri2+L0idi
dt +i2dL0 dt
=Ri2+1 2L0di2
dt + 1 2i2dL0
| {z dt}+1 2i2L0
dt
=Ri2+ d dt
µ1 2L0i2
¶ + 1
2i2dL0 dt
Le premier terme repr´esente les pertes Joule, tandis que le second terme repr´esente l’´energie m´ecanique, et le troisi`eme terme la puissance m´ecanique. On peut r´earranger l’´equation pour obtenir,
vi−Ri2 = d dt
µ1 2L0i2
¶ +1
2i2dL0 dt =ei eidt=d
µ1 2L0i2
¶ + 1
2i2dL0
dt =F dx
Le premier terme `a droite repr´esente la variation de l’´energie magn´etique, et le second la variation de l’´energie m´ecanique.
La variation de l’´energie m´ecanique correspond au travail effectu´e par l’armature mobile durant l’interval dt.
F dx= 1 2i2dL0 d’o`u
F = 1 2i2dL0
dx
Puisque
L0 = N2 R on obtient
F =−1 2ϕ2R
dx
Pour un syst`eme en rotation,
θ
Fig. 9.3 – Syst`eme rotationel
le travail effectu´e par l’armature mobile est : Ttrav =τemdθ On peut ´ecrire
Ttrav =τemdθ = 1 2i2dL0
Et donc,
τem= 1 2i2dL0
dθ =−1 2ϕ2dR
dθ
Exemple 1
N
g ?
x
6r l-
Fig. 9.4 – Machine tournante
Il faut calculer la r´eluctance. La r´eluctance de l’entrefer est Re= x
µ0(πr2) La r´eluctance du guide
Rg = g µ0
£2π¡ r+ g2¢
l¤ La r´eluctance totale est :
R(x) = 1 µ0πr2
·
x+ gr2 (2r+g)l
¸
On n´eglige RF er, puisque µF er est tr`es grand. Donc l’inductance est : L0 = N2
R(x) = N2µ0πr2 x+ (2r+g)lgr2
Donc,
Fem =−1 2ϕ2dR
dx = 1 2i2dL0
dx
⇒ Si la bobine est excit´ee en tension ou que le flux est constant, on utilise la premi`ere relation :
Fem =−1 2
ϕ2 µ0πr2
⇒ Si la bobine est excit´ee `a partir d’une source de courant ou que le relais fonctionne `a courant constant, on utilise la deuxi`eme expression,
Fem =−1
2i2 N2µ0πr2 h
x+ (2r+g)lgr2 i2
On voit que
F ∝i2 ,∝ 1 x2
9.3 Moteur ` a r´ eluctance
Soit la machine suivante :
θ i→
N
Fig. 9.5 – Moteur `a r´eluctance
• Si le courant i est constant (courant DC), le rotor va se positioner pour que R soit minimale, donc θ = 0.
• Si le courant est sinuso¨ıdal (courant AC), et que le rotor tourne d´ej`a, il va continuer `a tourner `a la vitesse synchrone ´egale `a la fr´equence du courant.
⇒ Moteur `a r´eluctance
• Lorsque le rotor est vertical, le courant est nul, et lorsque le rotor est en position horizontale, le courant est maximal.
• Lorsque le rotor est en position vertical, il continue de tourner `a cause de son inertie m´ecanique.
• Lorsque le rotor passe par la position horizontale un couple ´electromagn´etique non nul est exerc´e sur celle-ci.
• Ainsi, si on veut calculer le couple ´electromagn´etique τem, il faut d’abord calculer la r´eluctance du circuit en fonction de la position angulaire du rotor.
On peut approximer la r´eluctance du circuit par : R(θ) = Rmin+Rmax
2 +Rmin−Rmax
2 cos 2θ
Le couple qui produira la rotation est τem =−1
2ϕ2dR(θ) dθ = ϕ2
2 (Rmin−Rmax) sin 2θ
Si la tension aux bornes est
v =Vmaxcosωt=Ri+dΨ dt et qu’on n´eglige la r´esistance R (qui est habituellement faible) :
v ≈ dΨ
dt =Ndϕ dt Donc le flux est
ϕ= 1 N
Z
vdt= Vmax
Nω sinωt=ϕmaxsinωt d’o`u
τem = ϕ2max
2 (Rmin−Rmax) sin2ωtsin 2θ Si le rotor tourne `a vitesse constante, l’angle de rotation est :
θ =ωmt+δ
Donc dθ
dt =ωm
On peut substituer, avec des relations trigonom´etriques, et obtenir τem = ϕ2max
4 (Rmin−Rmax){sin[2(ωmt+δ)]−sin[2(ωmt+δ)] cos 2ωt}
Puisque
sin[2(ωmt+δ)] cos 2ω= 1
2{sin 2[(ωm+ω)t+δ] + sin 2[(ωm−ω)t+δ]}
le couple est τem= ϕ2max
8 (Rmin−Rmax){2 sin(ωmt+δ)−sin 2[(ωm+ω)t+δ]−sin 2[(ωm−ω)t+δ]}
En regardant la derni`ere ´equation,
•Si ωm 6=ω, le couple moyen = 0.
•Si ωm =ω, le couple moyen est
τemmoy =−ϕ2max
8 (Rmin−Rmax) sin 2δ Pour que la machine `a r´eluctance fonctionne,
ωm =±ω ou si la machine a P pˆoles,
ωm =±ω P
Remarque: siδ ≥45◦, ou 45◦/P (pour une machine avec P pˆoles), le moteur d´ecroche
⇒ perd son synchronisme, et le couple moyen devient nul.
