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L’´energie libre d’un mod`ele de type Ising est donn´ee dans l’approximation du champ moyen par:

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Statistical Physics 3 23 October 2009

S´erie 6

Exercice 1

L’´energie libre d’un mod`ele de type Ising est donn´ee dans l’approximation du champ moyen par:

f = F N = −1

β ln 2 1

β ln [cosh ( β Jmz + β h)] + Jm 2 z 2

a) Etudier le comportement de f proche du point critique (k B T C = Jz). Pour ceci ne garder que les termes jusqu’`a m 4 et h 1 .

b) Que se passe-t-il lorsque h = 0? Dessinez graphiquement le comportement de f . c) Si T < T C , comment se comporte la magn´etisation en passant de h < 0 `a h > 0.

Exercice 2

L’´energie libre du gaz de Van der Waals est donn´ee par:

f (v) = −k B T ln(v b) a v

Cette expression de l’´energie libre est celle d’un gaz de Van der Waals sans contraintes externes.

En travaillant `a temp´erature constante dans un milieu avec une pression p, l’´etat du syst`eme est celui qui minimise la fonction g = f + pv (c’est-`a-dire que le gaz ne peut pas diminuer son ´energie libre par une d´ecompression, ceci revient en fait `a travailler avec l’´energie de Gibbs).

Etudier le comportement pour T proche de T C de g autour de v C en fixant p = p(v C ,T ). Mettre en

´evidence le changement de phase qui a lieu au point critique.

On rappelle que v C = 3b et k B T C = 27b 8a ainsi que le diagramme (p, v) pour des isothermes.

0 2 4 6 8 10

v

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

P

TC

Figure 1: Isothermes pour diff´erentes temp´eratures

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