Paris 7 Examen de th´eorie quantique des champs, D.E.A. de physique nucl´eaire le Mercredi 10 janvier`a 10 heures.
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NAISSANCE ET MORT DU Z0
Cette ´etude ne pr´esente pas de difficult´es conceptuelles et ne fait gu`ere appel `a d’autres connaissances que celles ´evoqu´ees dans la premi`ere partie du cours que vous avez suivi (subi ?). Les calculs, pas trop longs (?), devraient faire la joie de l’arp`ete appr´eciant le cˆot´e pratique (!) de la th´eorie des champs : `a la fin, il y a mˆeme des unit´es, barns, GeV, secondes, etc.
Le but est ici d’´evaluer
i) la section efficace de production du boson interm´ediaireZ0 dans les collisionneurs e−e+ SLC (Stanford) ou LEP (Gen`eve, en cours de mise au point),
ii) la dur´ee de vie moyenne du mˆemeZ0,
dans le cadre du mod`ele de l’interaction ´electrofaible, dˆu `a Glashow, Salam et Weinberg.
Le labeur ma¨ıeutique exige malheureusement trop de temps pour que vous puissiez donner le jour, ici et maintenant, `a ce mod`ele. Votre libido (sciendi) devra s’accomoder de l’adoption de la partie pertinente du mod`ele qui vous est donn´ee plus bas.
Quelle que soit la m´ethode de travail que vous adoptiez, je vous saurai gr´e de r´ediger individuellement, clairement et concis´ement, le fruit de vos efforts. Si vos penchants vous inclinent `a vous livrer aux plaisirs de la recherche collective, rappelez vous que celle-ci doit aussi ˆetre l’occasion d’exercer son esprit critique ; bis repetita placent . . . si elles ne sont pas fausses. Enfin, le bon usage (parfois mˆeme suivi dans la profession) veut que l’on cite avec pr´ecision les sources (publications formelles ou non, conversations de couloirs, etc.) utilis´ees. Votre rapport ´ecrit doit ˆetre remis entre les mains — aussi propres qu’expertes — de Jacqueline Dufournet, le Vendredi 12 janvier, avant 16 heures.
Il vous restera ensuite `a montrer oralement que vous avez compris quelque chose `a tout
cela. A.L.
La partie de la densit´e lagrangienne du mod`ele standard concernant l’interaction du bosonZ0 avec les leptons et les quarks s’´ecrit*
LZ−l,q =− |e| 2 sinθWcosθW
jn·Z , expression dans laquelle on trouve
i) la charge |e|, dite ´el´ementaire, et le param`etre du couplage, θW (´evalu´e, pour l’instant, `a sin2θW = 0,231(6)),
ii) le champ vectorielZ, r´eel, massif (mZ = 91,17(17) GeV), iii) lecourant neutre des champs de leptons et quarks
jn=
i
ψiγ(Vi−Aiγ5)ψi,
* Particle Data Group,Review of particle properties, Phys. Lett. 204().
Naissance et mort du Z0 2 aveci∈ {νe, e, νµ, µ, ντ, τ, u, d, c, s, t(?), b. . .}, et sans oublier que chaque saveur de quark existe en trois couleurs dont l’interaction ´electrofaible est ind´ependante. Les constantes particuli`eresVi et Ai valent
— pour les neutrinos : V =A=12,
— pour les leptons charg´es : V =−12+ 2 sin2θW,A=−12,
— pour les quarksu,c,t(?) : V = 12−43sin2θW,A=12,
— pour les quarksd,s,b : V =−12+23sin2θW,A=−12. 1.Calculer l’´el´ement de matrice S correspondant `a la transition
— d’un ´etat initial `a un ´electron et un positron, d’impulsions p−, p
+ et de spineurs u− df=ur−(p−),v+df
=vr+(p+),
— `a un ´etat final `a unZ0, d’impulsionk et de vecteur polarisationε (transverse ou longitudinale).
2. En d´eduire l’´el´ement de matrice invariant−iMf i et le facteur associ´e au vertex correspondant.
3.On effectue N fois l’exp´erience consistant `a envoyer un ´electron sur un positron, contenus dans la section commune S, pendant une dur´ee T. Calculer, en fonction de|Mf i|2, le nombre moyend3ndeZ0fabriqu´es dans le pav´ed3kavec la polarisationε.
4. En d´eduire la section efficace diff´erentielle et la section efficace totale (tr`es sin- guli`ere!) de ce processus, en fonction de|Mf i|2.
5.On d´efinit M2tel que
|Mf i|2= e2
4 sin2θWcos2θWM2.
Par quelle quantit´eB2 faut-il remplacer M2 dans les expressions des sections efficaces lorsque les faisceaux d’´electrons et positrons ne sont pas polaris´es et que l’on compte indiff´eremment tous lesZ0 fabriqu´es, quel que soit leur mode de polarisation ?
6.Calculer
r−r+M2en fonction deVe,Ae,p
+,p−,meetε. (Pour cela, il convient de rappeler les valeurs des traces de a/, a/b/,a/b/c/et a/b/c/d/, puis de calculer les traces de γ5, γµγ5,γµγνγργ5et (moins trivial) deγµγνγ5. Enfin, il ne reste qu’`a montrer que la trace de γµγνγργλγ5 est proportionnelle au tenseur de Levi-Civita εµνρλ, avec un facteur `a d´eterminer.)
7. Calculer
ε
r−r+M2, en fonction de Ve, Ae, p+, p− et me. (Pour cela, il convient de calculer l’expression des composantes du tenseur3
α=1(εα)µ(εα)ν associ´e `a des quadri-vecteurs de base.)
8. En d´eduire la section efficace totaleσ(E) de production d’un Z0 dans un colli- sionneur (p++p− = 0), en fonction de l’´energie E de l’´etat initial. Quelle est l’allure graphique de la “fonction”σ(E) ?
Naissance et mort du Z0 3 9.Comparez votre pr´ediction avec les r´esul-
tats exp´erimentaux* ci-contre obtenus alors que vous d´efloriez `a peine (ou `a plaisir ?) les champs.
(Vous pouvez en particulier comparer les valeurs de
dE σ(E).)
10. On s’int´eresse maintenant `a la d´esint´e- gration d’unZ0(modek,ε) en une paire particu- le-antiparticule de saveuri(modesp
−,u− etp
+, v+). Rappeler les expressions de l’´el´ement de ma- trice invariant −iMf i et de la probabilit´e |Sf i|2 de cette transition.
11.Calculer, en fonction de|Mf i|2, la probabilit´ed6P de d´esint´egration, au cours de la dur´eeT, `a des modes dont les impulsions sont dans les pav´esd3p− et d3p+.
12. On d´efinit encore M2, de la mˆeme fa¸con que pr´ec´edemment (voir 5). Par quelle quantit´eC2faut-il remplacerM2dans l’expression de la probabilit´e lorsque lesZ0 envisag´es sont dans tous leurs ´etats de polarisation (c’est-`a-dire non polaris´es !) et lorsqu’on accepte, avec ´equanimit´e, tous les modes de polarisation des (anti)particules finales.
13.Calculer, en fonction deC2, la probabilit´e de d´esint´egration deZ0au repos, non polaris´es, vers l’ensemble des ´etats finals dont la particule a une impulsion dans l’angle solided2pˆ−.
14.CalculerC2dans ce cas, en fonction deVi,Ai,mietmZ. (Il est rigoureusement autoris´e d’utiliser les r´esultats de calculs pr´ec´edents, en particulier ceux de la question8.) En d´eduire la probabilit´e totalePi de d´esint´egration vers le type de particule consid´er´e, ainsi que le taux de transition (ou largeur partielle) Γi
df=Pi/T.
15.Calculer les taux de transition, en MeV−1, lorsque la paire finale est constitu´ee d’une saveur
— de neutrinos,
— de leptons charg´es,
— de quarksu,coud,
— de quarksd,sout.
16.Calculer la largeur totale duZ0, en GeV, et sa dur´ee de vie moyenne, en secondes,
`
a l’aide de vos connaissances actuelles sur les masses des quarks.
Bonne fin de semaine !
* G.S. Abrams et al.,Measurements of Z-Boson Resonance Parameters ine+e− An- nihilation, Phys. Rev. Lett. 63(), p. 2173.
