Ti2D3
Corrections des ex.7 et 8
Ü Recherche d’une primitive particulière
Exercice 7 :
Déterminer la primitive F de f définie sur IR par telle que F(0) = 2.
Correction :
• 𝑓(𝑡) = cos )3𝑡 −,
-. =/
0× 3× cos )3𝑡 −,
-. On reconnaît 𝑓(𝑡) = /
0𝑎 cos(𝑎𝑡 + 𝑏)
Or 𝐹(𝑡) =/0sin(𝑎𝑡 + 𝑏) donc 𝐹(𝑡) =/0sin )3𝑡 −,-. + 𝑘 (𝑘 ∈ ℝ)
• On cherche maintenant 𝑘 tel que 𝐹(0) = 2
⟺/
0sin )3 × 0 −,
-. + 𝑘 = 2
⟺/0sin )−,-. + 𝑘 = 2 ⟺ /0× )−/>. + 𝑘 = 2
⟺ −/-+ 𝑘 = 2 ⟺ 𝑘 = 2 +/-= />- +/-= /0- Donc 𝑭(𝒕) =𝟏
𝟑𝐬𝐢𝐧 )𝟑𝒕 −𝝅
𝟔. +𝟏𝟑
𝟔
Exercice 8 : QUESTION 2) DIFFICILE
Soit f la fonction définie sur ]1; [ par 𝑓(𝑥) =(/IJ)>IJK 1) Vérifier que pour tout x ]1; [, 𝑓(𝑥) =(/IJ)/ K+/IJ/
2) Déterminer la primitive F de f sur ]1; [ qui s’annule pour 𝑥 = 2.
Correction :
1) Pour tout 𝑥 ∈ ]1; +∞[, (/IJ)/ K+/IJ/ =(/IJ)/ K+(/IJ)×(/IJ)/IJ =(/IJ)/Q/IJK =(/IJ)>IJK= 𝑓(𝑥).
2) Utilisons la nouvelle forme de 𝑓 pour déterminer l’ensemble des primitives : Une primitive de (/IJ)/ K =−(/IJ)I/ K [la forme −RRKS] est −−/IJ/ = /IJ/ [devient −/R] Une primitive de /IJ/ = I(JI/)/ = −JI// [la forme −RRS] est − ln(𝑥 − 1) [devient − ln(𝑢)]
Il faut que 𝑥 − 1 > 0 sinon ln(𝑥 − 1) n’est pas définie.
Ainsi, 𝐹(𝑥) =/IJ/ − ln(𝑥 − 1) + 𝑘 constitue la famille de primitives de 𝑓.
On cherche 𝑘 tel que 𝐹(2) = 0 ⟺ /
/I>− ln(2 − 1) + 𝑘 = 0 ⟺ −1 − ln(1) + 𝑘 = 0 ⟺ −1 − 0 + 𝑘 = 0
⟺ 𝑘 = 1 Donc 𝑭(𝒙) =𝟏I𝒙𝟏 − 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟏) + 𝟏
÷ø ç ö
è æ -p
=cos 3 6 )
(x t
f
¥ +
Î +¥
¥ +
