Recherche d’une primitive particulière

Primitives – Feuilles d’exercices

Un des exercices corrigés sur la chaîne Maths en tête (voir QR Code) est susceptible de tomber en évaluation. www.mathsentete.fr

Ü

Dérivées et primitives

Montrer que la fonction G définie par est une primitive de g définie par : .

Exercice A : VERIFIER UNE PRIMITIVE

Vérifier que 𝐹(𝑥) = 3𝑥 ln 𝑥 définie sur ℝ^*∗ est une primitive de 𝑓(𝑥) = 3(1 + ln 𝑥).

Exercice 2 :

Deux fonctions F et G sont définies sur ] ; [ par et .

Ces fonctions F et G sont-elles des primitives de la même fonction f sur ] ; [ ? Exercice B : DEUX PRIMITIVES

Montrer que 𝐹_/(𝑥) =^012/_31*4 et 𝐹₅(𝑥) = ^2561253_31*4 définies sur ℝ\ 8−⁴₃: sont deux primitives d’une même fonction.

Ü

Recherche de primitives

Déterminer l’ensemble des primitives des fonctions suivantes définies sur l’intervalle I :

1) IR 9) ]0; [

2) IR 10) ]0; [

3) IR 11) IR

4) IR 12) IR

5) ]0; [ 13) IR

6) ]1; [ 14) IR

7) ]1; [ 15) IR

8) IR 16) IR

3 2 1

)

( = - +

x x x

G ₂

2

) 3 (

19 12 ) 2

( +

+

= + x

x x x

g

3 1 +¥

1 3

9 7 ) 5

(

2

- +

= - x

x x x

F 3 1

12 16 ) 5

(

2

- +

= -

x x x x

G 3 1 +¥

1 2 3 )

(x = x²+ x-

f I=

1 4 ) 4

( = +

x x

f I = +¥

) sin(

) cos(

)

(x x x

f = - _I=

5 2 ) 1

( = +

x x

f I = +¥

4 1 3 1 2 )

(x = x³+ x² + x-

f I= f(x)=2(2x-3)⁵ I =

2 2 ) 1

(x =x⁴+x³+ x²-

f I= f(x)=sin3x _{I =}

x x x

f 1 2

)

( = ₂ + I= +¥ f(x)=3cos(2x-7) _{I =}

x x x x

f -

= -

2

1 ) 2

( _I= +¥ ÷

ø ç ö

è æ +p

=sin 2 4 )

(x x

f _{I =}

1 4 ) 2

( = -

x x

f _I= +¥

3

3 1 2 1 2 ) 3

( ÷

ø ç ö

è

æ -

= t

t

f I =

2 2) 2 1 ( ) 4

( x

x x

f = + _I= f(t)=-sintcos³t I =

Exercice 4 :

Déterminer l’ensemble des primitives des fonctions suivantes définies sur I.

1) IR 5) IR

2) [0; [ 6) ]0; [

3) ]0; [ 7) ]0; [

4) [0; [ 8) [0; [

Ü

Recherche d’une primitive particulière

Déterminer la primitive M de la fonction m définie sur IR par : vérifiant . Exercice 6 :

1) Montrer que la fonction F définie par est une primitive sur ]0; [ de la fonction f

définie par .

2) Déterminer la primitive de f qui s’annule en 1.

Exercice C : PRIMITIVES PARTICULIERES

a) Déterminer la primitive 𝐹 de la fonction 𝑓(𝑥) =_1;*51*/^1*/

définie sur ℝ\{−1} telle que 𝐹(0) = 1.

b) Déterminer la primitive 𝐺 de la fonction 𝑔(𝑥) =^{AB 1}₁ définie sur ℝ^∗ telle que 𝐺(1) = −2.

c) Déterminer la primitive 𝐻 de la fonction ℎ(𝑥) =_√51¹_;*/

définie sur ℝ qui s’annule en 0.

Exercice 7 :

Déterminer la primitive F de f définie sur IR par telle que F(0) = 2.

Exercice 8 :

Soit f la fonction définie sur ]1; [ par 𝑓(𝑥) =_(/21)⁵²¹_;

1) Vérifier que pour tout x ]1; [, 𝑓(𝑥) =_(/21)^/ _;+_/21^/

2) Déterminer la primitive F de f sur ]1; [ qui s’annule pour 𝑥 = 2.

) 1 ( 6 )

(x = x²+x x-

f I= f(x)=x(x²-4)³ I =

1 2 ) 1

( = +

x x

f _I= +¥ ⁴ 4₂² 2

)

( x

x x x

f = + - I = +¥

5

) 2 (x x

f = I= +¥

x x x

f ₂

sin ) cos

( = I = p

)2

1 3 ( ) 1

( = +

x x

f _I= +¥

1 2 ) 3

( ₃

2

= + x x x

f I = +¥

x x x

m( )=3cos -sin M(p)=-2

x x x x

F( )= ln - +¥

x x

f( )=ln

÷ø ç ö

è æ -p

=cos 3 6 )

(x t

f

¥ +

Î +¥

¥ +

Exercice D : DECOMPOSER POUR MIEUX PRIMITIVER Soit 𝑔 la fonction définie sur ]2; +∞[ par 𝑔(𝑥) =⁰¹_(1*5)^;*/512/_; . 1) Vérifier que pour tout 𝑥 > −2, 𝑔(𝑥) = 3 −_(1*5)^/0 _;. 2) En déduire la primitive de 𝑔 qui vaut 4 pour 𝑥 = 1.

Exercice 9 :

Déterminer la fonction F, primitive de f sur l’intervalle I, qui vérifie la condition indiquée.

1) ] ; [

2) ]0; [

3) IR

4) ] ; [

5) IR

6) ]0; [

2 3

2

) 2 ) (

( = +

x x x

f I =

2

3 +¥ F(1)=2

÷ø ç ö

è æ -p

=cos 2 3 )

(x x

f _{I =} p 1

4÷= ø ç ö è Fæ p

1 ) 2

( = 2+

x x x

f _{I =} F(2)=3

x x x

f ₂

cos ) sin

( = I =

2 -p

2

p F(0)=1

1 2 ) 1

( ₂

+ +

= +

x x x x

f I = F(0)=0

x x x

f ln

)

( = I = +¥ F(e)=1