Fonction exponentielle

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Fonction exponentielle

Exercice 1 :

On considère les fonctions et définies pour tout réel par : () = et () = 1 − .

Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan sont notées respectivement

et . L’objectif de l’exercice est d’étudier le nombre de tangentes communes aux deux courbes.

Partie A

Dans cette partie, on admet l’existence de ces tangentes communes.

On note l’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbe au point A d’abscisse et tangente à la courbe au point B d’abscisse .

1. (a) Exprimer en fonction de le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A.

(b) Exprimer en fonction de le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point B.

(c) En déduire que = −.

2. Démontrer que le réel est solution de l’équation 2( − 1)+ 1 = 0. Partie B

On considère la fonction définie sur ℝ par () = 2( − 1)+ 1. 1. (a) [Compétence 1] Calculer les limites de la fonction en −∞ et +∞.

(b) Calculer la dérivée de la fonction , puis étudier son signe.

(c) Dresser le tableau de variation de la fonction sur ℝ. Préciser la valeur de (0).

2. (a) Démontrer que l’équation () = 0 admet exactement deux solutions dans ℝ.

(b) On note la solution négative de l’équation () = 0 et la solution positive de cette équation.

À l’aide d’une calculatrice, donner les valeurs de et arrondies au centième.

Partie C

Dans cette partie, on démontre l’existence de ces tangentes communes, que l’on a admise dans la partie A.

On note E le point de la courbe d’abscisse et F le point de la courbe d’abscisse – ( est le nombre réel défini dans la partie B).

1. Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe au point E.

2. Démontrer que (EF) est tangente à au point F.

Exercice 2 : Partie A

1. Restitution organisée de connaissance

L’objet de cette question est de démontrer que : _→+∞

lim

= +∞

On suppose connus les résultats suivants :

• La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et est égale à sa fonction dérivée ;

• ¹ = 1 ;

• Pour tout réel , on a > ;

• Soit deux fonctions 3 et 4 définies sur l’intervalle [6; +∞[, où 6 est un réel positif.

Si pour tout de [6; +∞[, 3() ≤ 4() et si lim_→<=3() = +∞, alors lim_→<=4() = +∞.

(a) Soit la fonction dé@inie sur [0 ; +∞[ par : () =

−^A Montrer que pour tout de [0 ; +∞[, () ≥ 1. 2

(2)

(b) En déduire que : _→+∞

lim

= +∞

2. Soit la fonction dé@inie sur [0 ; +∞[ par : () =1 2 ^DA (a) Étudier la limite de la fonction en +∞.

(b) Étudier le signe de la dérivée de la fonction , puis dresser son tableau de variations sur [0; +∞[. Partie B

1. Soit la fonction dé@inie sur E0 ; +∞[ par : () = − 1 (a) Déterminer la limite de en 0.

(b) [Compétence 2] Déterminer la limite de en +∞. 2. Soit (FG) la suite définie pour tout entier naturel H ≥ 1 par :

FG= 1

H I1 + ^DG+ ^AG+ ⋯ + ^GD^G K =1 H L

MG GD

MN1

(a) [OPQéRHS 3E Montrer que, pour tout entier naturel H ≥ 1 : FG = ( − 1) I1 (b) En déduire, en utilisant la question 1, que la suite (FG) converge vers ( − 1). HK

Exercice 3 :

Soit la fonction dé@inie par ∶ () =

− 1

−

1. (a) En étudiant la fonction : ↦

− − 1 , démontrer que, pour tout réel ,

− ≥ 1 . Justifier alors que est définie sur ℝ .

(b) Déterminer les limites de en −∞ et en +∞ . (c) Calculer ’().

2. On considère la fonction dé@inie sur ℝ par ∶ = 2 −

− 1 (a) Établir le tableau de variations de , limites comprises.

(b) Démontrer que l’équation () = 0 admet exactement deux solutions que l’on nommera et (avec < ) .

(c) Avec la calculatrice, donner un encadrement de d’amplitude 10

^A

. Faire de même avec . (d) Montrer que ∶

^Y

= 1

3. (a) Etudier les variations de 2 − . (d) Montrer que ∶ () = 1

− 1

Exercice 4 : VRAI - FAUX

Soit la fonction dé@inie par ∶ () = 2

^Z

− 2

^Z

Fonction exponentielle