Exercices sur la dérivation

Exercices sur la dérivation

1 Soitf une fonction définie sur un intervalle ^I



^{a b;}



^oùaetb sont deux réels tels queab, continue sur I et dérivable sur

 

^{a b; telle que f a}

 

^{f b}

 

⁰.

On note

C

sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.

Soitd un réel n’appartenant pas à I.

Démontrer qu’il existe une tangente à

C

coupant l’axe des abscisses au point de coordonnées



^{d; 0}



^.

Indication : Considérer la fonctiong définie sur I par_{g x}

 

^{f x}

 

d x

  .

2 1°) Soitf une fonction de classe Cⁿ (n^*) définie sur^* à valeurs dans. On note g_n la fonction définie par gn

 

x xⁿ¹f ¹

x

  

   .

Démontrer par récurrence surn que, pour tout réelxnon nul, on a gn^{ n}

   

x n¹₁ⁿ f^{ n 1} x^ x

  

   

 . Indication : On commencera par établir que pour tout réelx non nul, on a

 ¹

 

^{ 1}

   

^{ }

 

1^{n n} 1 ⁿ

n n n

g_ ^ x xg ^ x  n g x . 2°)Applications

Calculer les dérivéesn-ièmes des fonctionsx

1 1e

n x

x^ etx x^n1ln x . 3 Démontrer que



^{x y;}







^{1 ;} 



^{2 ln}



^{x 1}

 

^{ln y1}



^1₄ ^{xy .}

4 Démontrer que



^;



^{; 2}

x y   4 4

    xy  tanxtany 2 xy .

5 Soitx ety deux réels strictement positifs tels que l’on ait xy. Démontrer que l’on a : y x ln ln y x

y x

y x

     .

6 Démontrer que pour tout couple (x,y) de réels on a : sinxsiny  xy . 7 Soitf une fonction définie et dérivable sur telle que ^{lim '}

 

x

f x

   l ^où l est un réel.

Démontrer que ^lim



¹

  

x f x f x

     l. La réciproque est-elle exacte ?

8 Soitf etg deux fonctions définies et dérivables sur telles que ^f

 

⁰ ^g

 

⁰ et, pour tout réelx, on a :

   

' '

f x g x . Comparerf etg.

9 Soitf une fonction définie et dérivable sur un intervalle^I



^{a b;}



(aetb étant deux réels tels queab) telle que ^{f a}

 

^{ f b}

 

^0.

Démontrer qu’il existe un réelk positif ou nul tel que pour tout réel xI on ait ^{f x}

 

^{k x a x b .}

10 On considère la fonctionf :x^E

 

^{x sin}

 

^{x .}

1°) Étudier la continuité def sur.

2°) Étudier la dérivabilité def sur.

11 Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Démontrer que l’équation



^x1



^{x2 ...}

 

^xn

 

^{x x2 ...}

 

^{x n  }



^{... x x}



^1



^{x2 ...}

 

^{x n  1}



⁰

admet au moinsn racines x₁, x₂, …, x_n dans telles que, pour tout entier naturelk compris entre 1 etn,



^{1 ;}



xk k k .

12 Soitf une fonction définie sur un intervalle^I



^{a b;}



^oùaetb sont deux réels tels queab, de classeC¹ sur I telle que

     

 ;  sup '

a b

f b f a  b a f . Démontrer que la fonctionf est affine.

13 Soit

 

an et

 

bn deux suites de réels convergeant vers 0 telles que pour tout entier natureln, on ait : 1 a_n 0 b_n 1

     .

Soitf une fonction définie sur l’intervalle



^{1 ; 1}



à valeurs dans, dérivable en 0.

Démontrer que

 

ⁿ

 

ⁿ _n ^{' 0}

 

n n

f b f a

b a ^{  } f

 

 .

14 On noteE l’ensemble des fonctionsf de classeC sur³  vérifiant l’équation différentielle



^x1



^{y''xy' y 0.}

1°) Démontrer que, si fE, alors, pour tout ^{x\ 1}

 

^{, on a : f 3}

 

^{x  f''}

 

^{x .}

En déduire que, si fE, alors f^{ 3}  f''. 2°) En déduire l’ensembleE.

15 Pour tout réela, on note f_a la fonction définie par fa

 

x ^{excha ch}



x^sha



. Calculer la dérivéen-ième def_a.

16 Soita etb deux réels tels queaib soit une racinen-ième de l’unité



^n*



^.

On considère la fonctionf définie par ^{f x}

 

^{e cosax}

 

^{bx .}

Déterminer la dérivéen-ième def.

17 Question préliminaire :Démontrer que, pour tout x_, on a : sinxx. Soitx un réel positif ou nul.

On cherche à comparer^{cos sin}



^x



^{etsin cos}



^x



^.

1°) Étudier la parité et la périodicité de la fonctionf :x^{cos sin}



^x



^{sin cos}



^x



^.

2°) Soit 0 ; x  2

  . Démontrer que^{sin cos}



^x



^{cosx et cos sin}



^x



^cosx (on pourra utiliser le résultat préliminaire).

Conclure.

3°) Soit ;

x  2. Démontrer que^{sin cos}



^x



^{0 et cos sin}



^x



^0. Conclure.

4°) Quel est le signe de la fonctionf ?

18 Soitu,v,w trois fonctions de classeC sur un intervalle [a ;² b] oùaetb sont deux réels tels queab vérifiant

     

     

     

0

' ' '

u b v b w b

u a v a w a

u a v a w a

 .

Démontrer qu’il existe^c

 

^{a b;} tel que

     

     

     

0

'' '' ''

u b v b w b

u a v a w a

u c v c w c

 .

19 Étudier la famille de fonctions f_ :xe^xx



^{ }



^.

20 Le but de l’exercice est de résoudre l’équation différentielle y' y1 (E).

1°) Déterminer le sens de variation des solutions de (E).

2°) On suppose que (E) admet une solutionfdéfinie et dérivable sur qui ne prend pas la valeur 1.

a) Démontrer que soit x ^{f x}

 

^{1 soit x  f x}

 

^1.

b) Déterminer les solutions dans ce cas.

3°) On suppose que (E) admet une solutionfdéfinie et dérivable sur qui prend la valeur 1 en un réelx₀. a) Démontrer quexx₀ ^{f x}

 

^{1 et que}xx0 ^{f x}

 

^1.

b) Déterminer les solutions dans ce cas.

4°) Représenter l’allure des courbes intégrales dans le plan.

21 1°) SoitP un polynôme à coefficients réels. On suppose que ₁,₂,…,_p



p2



sont solutions de l’équation ^{P x}

 

^{ex (}     1 2 ... _p).

Démontrer que l’équation ^{P x'}

 

^ex admet au moins p– 1 solutions.

2°) Démontrer par récurrence surn que, pour tout polynômeP non nul à coefficients réels de degrén, l’équation ^{P x}

 

^ex admet au plusn1 solutions.

Rédiger proprement en formulant clairement la propriété sous la forme d’une phrase quantifiée.

Idée :

À l’intérieur de la récurrence, on distinguera deux cas :

 L’équation^{P x}

 

^ex n’a aucune solution.

 L’équation^{P x}

 

^ex admet au moins une solution. On notera ₁,₂,…,_p p solutions distinctes.

22 On considère la fonctionf :x 1+e^x.

1°) Démontrer que l’équation ^{f x}

 

^x admet une unique solution dans.

2°) On pose ^I



^{1 ; }



^.

 Démontrer que I.

 Démontrer que I est stable parf.

 Démontrer que pour tout xI, on a : ^'

 

¹

f x 2e.

 Démontrer que pour tout xI, on a :

 

¹

f x   2e x  .

3°) Soit

 

u_n la suite définie par u₀I et la relation de récurrenceu_n1f u

 

_n pour tout entier natureln.

a) Démontrer que pour tout entier natureln, on a : 1 ₀ 2e

n

un    u   . b) En déduire que

 

un converge et calculer sa limite.

23 1°) Démontrer que, pour tout réelt, on a :

2

1 2 1

1 t

 t

   .

2°) On cherche les fonctionsf définies et dérivables de dans telles que



^{x y;}



²

 

     

   

1

f x f y f x y

f x f y

  

 (

R

^).

a) Démontrer que, pour tout réelx, on a :^{1f x}

 

^1.

b) Déterminer toutes les fonctions constantes vérifiant la relation (

R

^).

Dans toute la suite, on supposera désormaisf non constante.

3°) a) Démontrer que, pour tout réelx, on a :^{ 1 f x}

 

^1.

b) Calculer ^f

 

⁰ puis démontrer quef est impaire.

4°) On pose ^{a f' 0}

 

^.

a) En utilisant la définition de la dérivée, démontrer que pour tout réelx, on a : ^f'

 

^{x a}_^1



^{f x}

  

^2_^.

b) Peut-on avoira0 ?

c) En déduire quef est strictement monotone.

5°) a) Déterminer deux réels et tels que, pour tout^t\



^{1 ;1}



^{, on ait : 1}₂

1 1

1 t t t

 

 

 

 .

b) Déterminer toutes les fonctionsf dérivables non constantes vérifiant (

R

^).

24 On cherche une fonctionf telle que, pour tout couple (x ;y) d’éléments de son ensemble de définition, on ait : ^{f xy}

 

^{ f x}

 

^{f y}

 

⁽

R

^).

1°)Un cas évident

On suppose quef est définie en 0.

Déterminer ^{f x}

 

pour tout réelx de son ensemble de définition. Il vaudrait mieux mettrefdéfinie sur.

Conclure dans ce cas.

2°)Une solution plus intéressante

On supposera dorénavant quef n’est pas définie en 0.

Plus précisément, on cherche une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle



^{0 ; }



qui vérifie (

R

^).

a) Déterminer f

 

1 .

b) Soita un réel strictement positif fixé.

Quelle est la dérivée de la fonctionx ^{f x}

 

^{f a}

 

? de la fonctionx ^{f ax}

 

^?

En déduire que sif vérifie (

R

), alors pour tout réel x0, on a : ^f'

 

^{ax 1 f'}

 

^x

a , puis que ^f'

 

^{a k}

a oùk est une constante.

c) Que peut-on en déduire pourf ? 25 Soitn un entier naturel.

Déterminer l’ensemble E_n des fonctionsf de classe C^ sur vérifiant ^{ }

0

0

n k k

n f

 k

  

  



^.

Indication :On pourra considérer, pour fE_n, la fonctiong définie sur par ^{g x}

 

^{exf x}

 

^.

26 Soitf une fonction de classeC sur²  telle que f''0.

Démontrer que pour tout réelx, on a : ^f'



^x1



^{f x}



^{ 1}



^{f x}

 

^f'

 

^{x .}

27 Soitf une fonction dérivable sur à valeurs dans.

On noteg la fonction définie par ^{g x}

 

^{2f x}

 

^xf'

 

^{x .}

Démontrer que sig est paire, alorsf est paire.

Indication : Établir une équation différentielle vérifiée par la fonction :x f x

 

f

 

x .

28 1°) Démontrer que pour tout entier naturel nonk, on a : ^{1 ln}



¹



^{ln 1}

1 k k

k   k

   .

2°) Déterminer la limite de la suite

 

Sn définie sur^* par

0

1

n

n k

S n k







 ^.

29 1°) Démontrer que pour tout entier naturel non nulk, on a : ^{1 ln}



¹



^{ln 1}

1 k k

k   k

   .

2°) Pour tout entier naturel non nuln, on pose

1

1

n

n k

S

 k





^.

Déterminer lim _n

n S

   puis un équivalent deS_n.

30 Soit un réel donné tel que 0  1.

1°) Démontrer que pour tout entier naturel nonk, on a :



¹

 

¹



^{1 1 1}

1 k k

k k

 

 

     

   .

2°) Pour tout entier naturel non nuln, on pose

1

1

n

n k

S k^







^.

Déterminer lim _n

n S

   puis un équivalent deS_n. 31 Soit un réel strictement positif donné.

1°) Démontrer que pour tout entier naturel nonk, on a :



^{ 1}



^k



^k1



^{1k1}



^{ 1}



^k1



^.

2°) Déterminer un équivalent de

1 n

n k

S k^







^{lorsquen® + ∞.}

32 Soit un réel donné tel que 1.

1°) Démontrer que pour tout entier naturelk2, on a :

 

^{1 1}

1 1 1

k^ k 1^ k^

  

  .

2°) Étudier la convergence de la suite

 

Sn définie sur^* par

1

1

n

n k

S k^







^.

33 Soitf etg deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle [a ;b] (ab) telles que ^{f a}

 

^{g a}

 

^et

   

f b g b .

Démontrer qu’il existe au moins un point d’abscisse comprise entrea etb pour lequel les tangentes aux graphes def etgsont parallèles.

Illustrer le résultat à l’aide d’un graphique.

34 Soitf une fonction définie sur un intervalle^I



^{a b ;}



^oùaetb sont deux réels tels queab. On suppose quefvérifie les hypothèses suivantes :

 

^{H :}₁ f est dérivable ena et enb.

 

H2 : pour tout réel xI on a ^{f x}

 

^0.

 

H3 : ^{f a}

 

^{f b}

 

⁰.

Démontrer, en utilisant la définition du nombre dérivé en un réel, que ^f'

 

^{a 0 et 'f}

 

^{b 0.}

35 Le but de l’exercice est de démontrer que les fonctionsf dérivables sur à valeurs dans telles que pour tout couple (a ;b) de réels on ait :

     

'

2

f b f a  b a f a b  sont les fonctions polynômes de degré au plus 2.

1°) Démontrer que pour tout couple (x ;h) de réels on a : ^{f x}



^h



^{f x}



^h



^2hf'

 

^{x .}

2°) Dériver la relation précédente par rapport àx d’une part et par rapport àh d’autre part en justifiant à chaque fois que cela est possible.

En déduire alors que pour tout réelh, on a : f'

 

h f' 0

 

hf'' 0

 

. 3°) Conclure.

36 En s’inspirant de la méthode de l’exercice précédent, déterminer les fonctionsf dérivables sur à valeurs dans telles que pour tout couple (a ;b) de réels on ait :

   

^'

2 2

b a a b

f b f a   f   .

37 Soitf etg deux fonctions définies sur un intervalle



^{a b;}



^oùaetb sont deux réels tels que ab, continues sur



^{a b;}



et dérivables sur ]a ;b[.

On suppose que g' ne s’annule pas sur ]a ;b[.

Démontrer que ^{g a}

 

^{g b}

 

^.

Démontrer qu’il existe^c

 

^{a b; tel que}

^{ } _{   } ^{ }

^'

^{ } _{ }

'

f b f a f c

g b g a g c

 

 .

38 Soitf une fonction appartenant àC (,¹ ). On pose ^{g x}

 

^{xf x}

 

^{pour tout}x appartenant à.

On suppose que 1g'2.

1°) Démontrer queg est une bijection de dans.

2°) Démontrer que 1 f 2.

39 Soitf une fonction définie sur un intervalle I de la forme

 

^{0,a (où}a désigne un réel strictement positif ou +) et dérivable telle que ^f

 

^{0 0.}

1°) On suppose qu’il existe un réelk tel que pour tout réelxI, ^f'

 

^{x k f x}

 

^.

Étudier le sens de variation de la fonction :x^_^{f x}

 

^_^2e2kx.

En déduire quef est identiquement nulle sur I.

2°) Résoudre sur



^{0 ; }



l’équation différentielle

 

2

sin 1

0 0

y' y y y

  

 



.

40 SoitP un polynôme non constant à coefficients réels.

Démontrer que l’équation ^{P x}

 

^cosx admet un nombre fini de solutions dans.

Commencer par restreindre l’intervalle.

41 On considère la fonctionf :x 1 1

1 sin

4 x

 .

1°) On pose 3 5

I ;

4 4

 

  .

a) Démontrer que I est stable parf.

b) Démontrer que pour tout xI, on a : ^'

 

⁴

f x 9.

c) Démontrer que l’équation ^{f x}

 

^x admet une unique solution dans I.

d) Démontrer que pour tout xI, on a :

 

⁴

f x   9 x  .

2°) Soit

 

un la suite définie par son premier termeu₀^* et la relation de récurrence un_1f u

 

n pour tout entier natureln. Démontrer que

 

un est bien définie et que tous les termes sont dans I à partir de l’indice 1.

Démontrer que

 

un converge et calculer sa limite.

42 SoitP un polynôme à coefficients réels admettantp racines dans deux à deux distinctes.

Démontrer que pour tout réel  0 le polynôme P' P admet au moinsp racines dans.

Indication : Considérer la fonctionf :x^{P x}

 

^ex.

43 Soitf une fonction définie sur un intervalle^I

 

^{a b;} oùa etb sont deux réels tels queab. On suppose quef est de classe C sur I et que¹ lim

 

lim

 

x a x b

f x f x

 

     .

Démontrer que ^{f' I}

 

^.

44 Soitf une fonction définie et dérivable sur, vérifiant, pour tout réelx, ^f'

 

^{x 0 et} un réel strictement positif fixé.

Déterminer le nombre de solutions dans de l’équation ^{f x}

 

^{ x.}

45 Soitf la fonction définie par f x

 

x²lnx.

1°) Démontrer quef réalise une bijection de ]0 ; +[ dans.

2°) Dresser le tableau de variation de f^1 ; étudier la dérivabilité de f^1.

3°) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de f^1 au point d’abscisse 1.

4°) Démontrer que f^1

 

x est équivalent à x en + et que

 

^{f1 '}

 

^x est équivalent à 1

2 x en +.

46 1°) Calculer la dérivée de la fonctionx



^{x21 sin}



^x.

2°) Démontrer que l’équation



^{x21 cos}



^{x2 sinx x0} admet au moins une solution dans l’intervalle [0,].

47 1°) SoitP un polynôme non nul à coefficients réels de degrén.

Démontrer que l’équation ^{P x}

 

^lnx admet au plusn1 solutions dans^*_. 1°) On considère la fonction :x^{P x}

 

^{– lnx.}

Combien l’équation ^'

 

^{x 0} admet-elle au plus de solutions ? 2°) Conclure.

48 Soitf etg les fonctions définies sur par :

 

^sin1

f x  x si x0 et ^f

 

^{0 1}

 

^sin1

g x  x si x0 et ^g

 

^{0 0.}

1°) Démontrer quef etg vérifient le théorème des valeurs intermédiaires.

2°) Démontrer que l’une des deux fonctionsf oug n’est pas la dérivée d’une fonction dérivable.

Indication :Considérer la fonctionf –g.

49 Pour tout entier natureln non nul, on pose :un ^ln



n ¹



^lnn.

Déterminer un équivalent simple de u_n lorsquen tend vers + en utilisant la formule ou l’inégalité des accroissements finis.

Retrouver cet équivalent par une autre méthode.

50 Déterminer les fonctionsf de dans, dérivables sur, telles que ^{f2 }



^{1 f'}



^21.

51 On considère une fonctionf de dans, dérivable sur, telle que

·f admet une limite finie en + ;

· f' admet une limite finie en +.

Démontrer que f ^'

 

x x_{  } 0.

52 Soitf une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1], continue sur [0 ; 1], dérivable sur ]0 ; 1[ telle que

 

⁰

 

^{1 0}

f f  .

On suppose de plus qu’il existe un réelx0

 

0 ;1 tel quef x

 

0 1. Démontrer qu’il existe un réel^c

 

^{0 ;1 tel que f'}

 

^{c 2.}

53 Soitf une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle de la forme



x0;x02h



où x₀ eth sont deux réels fixés avech0.

Démontrer qu’il existe un réel^

 

^{0 ; 1 tel que} f x



02h



2f x



0h



f x

 

0 h f² "



x0 2 h



. Indication : On pourra introduire la fonction :t f x



0 t h



f x



0t



.

54 Soitf une fonction de dans, périodique de période T0 et dérivable sur.

On suppose quef s’annule enp points distincts de [0 ; T[.

Démontrer que f' s’annule en au moinsp points de [0 ; T[ distincts de ceux def.

55 Soit I un intervalle de, non vide, non réduit à un singleton eta un élément fixé de I.

Soitf,m,M trois fonctions définies sur I à valeurs dans.

On suppose que :

m x

 

f x

 

M x

 

;

^{m a}

 

 ^{f a}

 

^{M a}

 

;

m a'

 

M'

 

a .

Démontrer qu’alorsf est dérivable ena et que ^f'

 

^a ^{m a'}

 

^M'

 

^a . Ce résultat est parfois appelé lethéorème du sandwich.

56 Soitf :

 

^{0,a ®} de classeC¹



^a0



^{telle que f}

 

^{0 0 et f a f}

   

^{' a 0.}

Démontrer quef s’annule sur l’intervalle

 

^{0,a .}

58 Soitf la fonction définie par

 

¹

f x 2ch

 x.

On considère la suite

 

un définie par son premier termeu₀ et la relation de récurrenceun_1f u

 

n . 1°) Démontrer que l’équation ^{f x}

 

^x admet une unique solutionl dans.

Justifier que 1 0,2

l  

  .

2°) Démontrer que pour tout réelx, on a : '

   

¹

f x f x 2. En déduire que pour tout entier natureln, on a : ₁ 1

n 2 n

u_ l  u l puis lim _n

n u

   .

59 Soita etb deux réels tels queab.

On pose ^I

 

^{a b,} . Soitx₁, x₂, …, x n réels_n



^n*



de I deux à deux distincts.

On pose X 



x1,...,x_n



.

On considère une fonctionf définie sur I à valeurs dans qui s’annule en x₁, x₂, …, x_n. 1°) On suppose quef est dérivable sur I.

a) Démontrer que la fonctiong définie sur I \ X par

   

 

1 n

i i

g x f x

x x







 est prolongeable par continuité sur I.

b) En déduire qu’il existe un réel M tel que pour tout xI on ait

 

1

M

n

i i

f x x x









 

^{1 .}

2°) On suppose que n1 et quef est de classeC sur I.¹ Proposer une valeur de M telle que

 

1 soit vérifiée.

3°) Cas général

On suppose quef est de classe Cⁿ sur I.

Soit tI \ X fixé. On pose ^{ }

 

I

M_n sup ⁿ

x

f x

  .

a) Déterminer la fonction polynomiale L de degrén telle que^L

 

^{t 1} et pour tout ⁱ



^{1, 2, ...,n}



^L

 

xi ⁰. b) On considère la fonctionh définie par^{h x}

 

^{f x}

 

^{f t}

   

^{L x .}

Démontrer queh^{ n} s’annule en un pointa de I.

c) Démontrer que

 

^{ }

   

1

!

n n

i i

f a

f t t x

n 





 ^.

d) En déduire que pour tout réel xI, on a :

 

1

M

!

n n

i i

f x x x

n 





 .

60 Déterminer les fonctionsf de dans deux fois dérivables telles que pour tout couple



^{a b;}



de réels on

ait :

   

^{2 2 ''}

2 2

b a a b

f b f a   f   .

Indication : Exprimer ^f'

 

^x en fonction de ^f''

 

^{x .}

61 Soitf une fonction définie sur un intervalle



^{a b;}



^oùaetb sont deux réels tels queab à valeurs dans

*

 , continue sur



^{a b;}



et dérivable sur



^{a b;}



^.

Démontrer qu’il existe un réel ^c



^{a b;}



^{tel que}

 

 

    ^'

e

b a f c

f b f c

f a

  .

62 Généralisation du théorème de Rolle

Soitf une fonction définie sur un intervalle



^{a, }



(a réel fixé), à valeurs dans, continue sur l’intervalle



^{a, }



, dérivable sur l’intervalle



^{a, }



admettant une limite en + ∞, égale à ^{f a}

 

^.

On considère la fonctiong définie sur l’intervalle [0, 1] par ^{g x}

 

^{f a 1 1}

x

 

     x

 

^0,1 et ^g

 

⁰  ^{f a}

 

. Démontrer que l’on peut appliquer le théorème de Rolle à la fonctiong ; on démontrera en particulier avec soin queg est continue sur l’intervalle [0, 1].

En déduire qu’il existe un pointc dans



^a, 



tel que ^f

 

^c ⁰.

63 SoitP un polynôme à coefficients réels admettant au moinsn racines dans



^n*



^eta un réel non nul fixé.

Démontrer que le polynôme P'aP admet au moinsn racines dans.

Indication : Considérer la fonctionf définie par f x

 

e^axP x

 

. Autre méthode :

On considère la fraction rationnelle P' H P.

1°) Déterminer la décomposition en éléments simples deH.

2°) Faire le tableau de variations deH.

3°) Conclure.

64

65 Soit une fonctionf :

 

^{0, 1®} dérivable telle que ^f

 

^{0 0 et f}

 

^{1 1.}

Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Démontrer qu’il existe des réels x₁, x₂, …x_n deux à deux distincts dans

 

0, 1 tels que

 

1

'

n

k k

f x n





 ^. Indication : Considérer une subdivision régulière de l’intervalle

 

^{0, 1 .}

66 Soitf etg deux fonctions définies sur un intervalle ^I

 

^{a b,}



^a^b



de classeC telles que²

   

f a g a , ^{f b}

 

^{g b}

 

et f''g''. Comparerf etg.

67 Soit une fonctionf :

 

^{a b, ®} de classeC²



^a^b



telle que ^{f a}

 

^f'

 

^{a et f b}

 

^f'

 

^{b .}

Démontrer qu’il existe un réel^c

 

^{a b, tel que f c}

 

^f''

 

^{c .}

Indication : Considérer la fonctiong définie par ^{g x}

 

^



^{f x}

 

^f'

 

^x



^ex.

68 Soit a₀,a₁, …,a_n des réels tels que ₀ ¹ ... 0

2 1

an

a a

  n 

 .

Démontrer que le polynôme ^{P x}

 

^a₀^{a x}₁  ^{... a x}_n ⁿ admet au moins une racine réelle dans l’intervalle

 

^{0, 1 .}

69 SoitP un polynôme de degrén.

Démontrer que siP ne prend que des valeurs positives ou nulles sur, alors il en est de même du polynôme ' ...  ⁿ

Q   P P P .Indication : On utilisera la fonctionf :x^{exQ x}

 

^.

70 On considère la fonctionf définie sur par ^{f x}

 

^ex12 six0 et ^f

 

^{0 0.}

Démontrer par récurrence quef est de classe C^ sur et que pour tout entier natureln, on a :

 ⁿ

 

^{P xn}

 

_3n

 

f x f x

 x  six^* et ^{f n}

 

⁰ ⁰ oùP_n est un polynôme réel qu’on n’explicitera pas. En déduire leDL_n

 

0 def.

71 Question préliminaire : Déterminer

1

lim 1 2

n

n k k

  



 ^.

Soitf une fonction définie sur un voisinage de 0, continue en 0 telle que

   

0

lim 2 0

x

f x f x

 x

  .

1°) On pose

 

^f

 

^{2x f x}

 

x x

   .

Démontrer que pour tout entier natureln1, on a :

   

1

1 1

2 2 2

n

n k k

k

f x f x x

x x



 

  



  ^. 2°) Soit  0 fixé. On sait qu’il existe un réel 0 tel que 0 x Þ

 

x 2

  .

Soitx un réel tel que0 x .

a) Démontrer qu’il existe un entier natureln tel que

 

⁰

2

2

n

f x f

x

  

  

   .

b) Démontrer que

 

2

2

n

f x f x

x

 

    .

3°) En déduire quef est dérivable en 0.

72

73 On considère l’équation différentielle y²y'²4

 

^{E .}

Déterminer les solutions constantes de

 

^{E .}

Démontrer que sif est une solution

 

E définie sur, alors pour tout réelh, la fonctiong :t f t



h



est aussi solution de

 

^{E .}

74 Soitf une fonction de dans dérivable en un réela.

Déterminer _lim

   

x a

xf a af x x a





 .

75 Soitf :® une fonction de classeC telle que^{2 f''}

 

^{x }_{x  }^0.

1°) Démontrer que ^{f x}



 ¹



^{f x}

 

^f'

 

^x _x  ⁰.

2°) En déduire que sif a une limite finie en + ∞ alors ^f'

 

^{x }_{x  }^0.

3°) Exhiber une fonctiong dérivable, ayant une limite finie en +∞ mais dont la dérivée n’est pas bornée en +∞.

76 Dérivée symétrique

Soitf une fonction définie sur un intervalleI non vide à valeurs dans.

Si le rapport

   

2 f a h f a h

h

  

admet une limite finie quandh tend vers 0, celle-ci est appelée dérivée symétrique def ena.

1°) Démontrer que sif est dérivable à gauche et à droite en un pointa deI, distinct des extrémités, alors elle admet une dérivée symétrique ena.

Remarques :

Le résultat est en particulier valable dans le cas d’une fonction dérivable ena.

Un certain nombre de calculatrices utilise cette méthode pour calculer un nombre dérivé ; le rapport tend alors plus vite vers ce nombre que celui de la définition.

Par ailleurs, la dérivée symétrique intervient dans l’étude des séries de Fourier.

2°) La réciproque est-elle exacte ?

Corrigé

1 ^{g a}

 

^{g b}

 

^{0 ;}

      

 

²

' f' x d x f x

g x

d x

 

 

D’après le théorème de Rolle, il existe un réel^c



^{a b;}



^{tel que} g c'

 

0 soit f'

 

c d c



f c

 

0. La tangente

C

au point d’abscissec passe par le point de coordonnées (d; 0).

2 1°) On a gn_1

 

x xgn

 

x . On applique ensuite la formule de Leibniz.

   

 

   

^{ }

'

1 1 1

1 1 1 1

1

n n

n n

n n n

g x x f n f

x x

x x

  

      

 

           

12 ^{ c}



^{a b;}



^{tel que}

 

 ; 

' sup '

a b

f c  f .

     

^{f b}

 

^{f a}

   

g x f x f a x a

b a

  

     

 

⁰

g a  et ^{g b}

 

^0

     

^'

  

g x  f x f a f c xa

         

0 0

' '

g x  xa f  f c

 

 

     

' ' '

g x f x f c

x a b

 

g x 0

0

13

   

^{0 ' 0}

   

f x  f xf  x x

 

n

 

⁰ n ^{' 0}

 

n

 

n

f a f a f  a a

 

n

 

⁰ n ^{' 0}

 

n

 

n

f b f b f  b b

 

n

 

n _{' 0}

 

n

 

n n

 

n

n n n n

f a f b a a b b

a b f a b

   

 

 

           

n n n n n n n n n n n

n n n n

a a b b a b a b a b b

a b a b

        

   (on introduit des termes « croisés »)

     

n ⁿ

   

n n n n

n n

n n

n n

a b

a a b

b

a b b

a b   a  

  

     

     

n ⁿ

   

n n n n

n n

n n

n n

a b

a b a

a

a b b

a b   b  

  

     

0 ⁿ 1

n n

b b a

  et 

   

bn   an n_{  }⁰ donc

   

n n n n 0

n

n n

a a b b

a b ^{  }

  



 (produit d’une suite bornée

par une suite qui tend vers 0) 14 ^E



^{xax b e ,x}

 

^{a b, 2}



15 ^{f n}

 

^{x ex ch na ch}



^{x sh}

 

^na



Mieux :

 

_e

 

^e _e

 

^e

2

a a

x x

f x

 



 

 

_{e e}

 

^e _{e e}

 

^e

2

a a

x x

na na

f n x

 

  



18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

' ' '

u b v b w b

u a v a w a

u a v a w a

     

     

     

     

     

     

f     u v w

   

f a f b donc^{ d}



^{a b;}



^f'

 

^{d 0.}

   

' '

f a  f b donc^{ c}



^{a b;}



^f''

 

^{c 0.}

21 Version initiale de l’exercice :

SoitP un polynôme à coefficients réels.

Démontrer que l’équation ^{P x}

 

^ex n’a qu’un nombre fini de solutions dans.

On considère la fonctionf :xe^xP x

 

. On posendegP.

Sif s’annule une infinité de fois, '

f ’’ ’’ ’’ ,

ⁿ¹

 

^ex

f ^ x  admet une infinité de solutions dans. Absurde.

Ancienne version écrite à la main sur une feuille et tapée le samedi 19-12-2015 : 1°) SoitP un polynôme à coefficients réels.

On se propose de démontrer que l’équation ^{P x}

 

^ex admet un nombre fini de solutions.

Pour cela, on raisonne par l’absurde et l’on considère la fonctionf :x^{P x}

 

^ex.

a) Démontrer que l’équation ^f'

 

^x ⁰ admet une infinité de solutions.

b) Conclure.

2°) On suppose queP est non constant.

Démontrer que l’équation ^{P x}

 

^cosx admet un nombre fini de solutions.

Commencer par restreindre l’intervalle en considérant les limites en +∞ et en –∞ de la fonction g :x ^{P x}

 

^{cosx .}

Pour le 2°), voir ex. sur les dérivées Christophe Bertault (je l’ai vu le 18-12-2015).

22 1°)  1,1477576 d’où1  1,1.

25 ^{ }

 

^{ }

0

e

n

n x k

k

g x n f

 k

   

 

 



    27 But : 

 

x 0.

     

' x f' x f' x

   

       

2f x xf' x 2f x xf' x Û^2_^{f x}

 

^f

 

^{x }_^{x f}_ ^'

 

^{x f'}

 

^x_

Û^2

 

^{x  x '}

 

^x

On résout l’équation différentielle xy'2y. On distingue deux cas :

1) Sur



^{0 ; }





 

x k1e^2lnx k x1 ²

2) Sur



^{ ; 0}





 

x k2e^2lnx k x2 ²

La fonctionest impaire d’oùk₁ k₂.

Démontrons que k₁0.

 

^{2 sur *+}_*

'

2 sur x kx

kx _

  







La fonction' est paire et impaire donc nulle.

35 2°) ^f'



^xh



^f'



^xh



^2hf''

 

^{x ; f'}



^xh



^f'



^{x h}



^{2 'f}

 

^{x .}

On fait x0 et on ajoute les égalités précédentes.

On obtient : ^f'

 

^{h  f' 0}

 

^{hf'' 0}

 

^.

Doncf’ est affine.

3°) Conclure. Il faut faire la réciproque.