Exercices sur le dérivation – Corrigé
Exercice 1 :
1) Calcul du taux d’accroissement de entre 1 et 1 + ℎ (avec ℎ ≠ 0 et 1 + ℎ ≠ 2) : 1 + ℎ − 1
ℎ =
2 1 + ℎ + 3
1 + ℎ − 2 −2 × 1 + 3 1 − 2
ℎ =
2ℎ + 5 ℎ − 1 + 5
ℎ =
2ℎ + 5 + 5ℎ − 5 ℎ − 1
ℎ =
ℎ − 17ℎ ℎ =1
ℎ × 7ℎ ℎ − 1 Et donc :
1 + ℎ − 1
ℎ = 7
ℎ − 1
2) Lorsque h tend vers 0, le taux d’accroissement tend vers un nombre réel : −7 donc est dérivable en 1 et ′ 1 = −7.
3) La tangente à la courbe de au point d’abscisse 1 a pour équation : = ′ 1 × − 1 + 1 C’est-à-dire : = −7 × − 1 + −5 = −7 + 7 − 5 = −7 + 2
Exercice 2 :
1) = 2²+ − 7 donc
′ = 2 × 2 + 1 + 0 = 4 + 1 2) = donc
′ =2 × − 5 − 1 × 2 + 3
− 5 = 2 − 10 − 2 − 3
− 5 = −13 − 5 3) = √ donc
′ = 1 × √ + × 1
2√= √ +
2√ = 2 + 2√ = 3
2√ =3√
2 4) = = 7 × donc
′ = 7 × −2
2 − 1 = −14 2 − 1 5) =²² donc
′ = 4 − 1 3− 2 + 1 − 2− + 1 6 − 2 3− 2 + 1
= 12 − 8²+ 4 − 3²+ 2 − 1 − 12− 4²− 6²+ 2 + 6 − 2 3− 2 + 1
= 12 − 11²+ 6 − 1 − 12− 10²+ 8 − 2
3 − 2 + 1 = −²− 2 + 1 3 − 2 + 1
6) = √3 − 2 donc est de la forme + ! ′ = −2 × 1
2√3 − 2= −1
√3 − 2
Exercice 3 :
1) ="²# donc
′ =2$ 3 − 2 − 3 $²+ %
3 − 2² = 6$²− 4$ − 3$²− 3%
3 − 2² =3$²− 4$ − 3%
3 − 2² 2) & coupe l’axe des ordonnées au point A (0 ; 1) donc 0 = 1.
Or 0 =$ × 0²+ %
3 × 0 − 2 = −%
2 donc −%
2 = 1 ⇔ % = −2
& admet une tangente horizontale au point d’abscisse 1 donc ′ 1 = 0. Or ′ 1 =3$ × 1− 4$ × 1 − 3%
3 × 1 − 2 =3$ − 4$ − 3%
1 = −$ − 3% = −$ + 6 donc $ = 6 Finalement =6²− 2
3 − 2
Exercice 4 :
1) a) = −− 2²+ 4 + 3 donc ′ = −3− 4 + 4
5 = 64 = 8² donc ′ admet deux racines : = 678 = et =678 = −2
Elle est du signe de -3 à l’extérieur de ses racines donc négative sur 9−∞; −29 et ;; +∞; et positive sur ;−2;<.
b) On en déduit le tableau de variation de :
2) a) il semble que −3 soit solution de l’équation = 0.
Vérifions le par un calcul : −3 = − −3− 2 −3²+ 4 −3 + 3 = 0… b) + 3 −+ + 1 = −− 2²+ 4 + 3 =
= 0 ⇔ + 3 −+ + 1 = 0 ⇔ + 3 = 0 ou −+ + 1 = 0 Après calcul : > = ?−3; √ ;√ @
−∞ −2
+∞
