TS : exercices sur la dérivation
I
Soitgla fonction définie surRpar :
g(x)=
p1+x2−1 x six6=0 g(0)=0
. On noteC sa courbe représentative.
1. Étudier la parité deg.
2. Montrer quegest continue en 0.
3. La fonctiongest-elle dérivable en 0 (on pourra poserh= x2). Interpréter graphiquement.
4. Déterminer les limites degen−∞et en+∞. Interpréter graphiquement.
II
Soient les fonctionsf etgdéfinies sur ]− ∞; 0[ par : f(x)=x2−xetg(x)=3
x.
Démontrez que les courbes Cf etCg admettent des tangentes parallèles au point d’abscisse -1.
III
Soitf une fonction définie sur l’ensembleD; déterminer sa fonction dérivée.
a) f(x)=x5+1
2x4−2x3+5x−1,D=R.
b) f(x)=(3x−1)p
x,D=]0 ;+∞[.
c) f(x)=x2+x+1
x+2 ,D=R\ {−2}.
d) f(x)=1+cosx
1−sinx,D=h0 ; π 2 h. e) f(x)= 1
3x2+5,D=R.
IV
Soitf :x7→1
x, définie surR∗.
On note f′ la fonction dérivée de f, f′′ la dérivée de f′
³ f′′=¡
f′¢′´
,f(3)la dérivée def′′et plus généralementf(n)la dé- rivée def(n−1).
1. Calculerf′(x),f′′(x),f(3)(x),f(4)(x).
2. Conjecturer alors l’expression def(n)(x) en fonction den.
3. La démontrer.
V
f est la fonction définie surRparf(x)=sinx.
1. Dériver les dérivées successivesf′,f′′,f(3),f(4).
2. Conjecturer, suivant les valeurs den∈N∗, l’expression de f(n)(x).
3. À partir de cette conjecture, montrer que f(n)(x)=sin³
x+nπ 2
´avecn∈N∗.
