TS : feuille d’exercices (dérivation, exponentielle)
I
Un randonneur, arrivé au point A, doit terminer sa pro- menade au point C. S’il suit le sentier, il lui reste à parcou- rir la distance égale 900met la distance BC égale à 200m(les chemins [AB] et [BC] étant perpendiculaires).
Pressé, il décide de quitter le sentier et de couper à tra- vers champ, puis de rejoindre C sans passer par B.
L’objectif de l’exercice est de de déterminer l’endroit où le randonneur doit quitter le chemin pour mettre le moins de temps possible à rejoindre le point C.
On précise que la vitesse du randonneur est constante et égale à 6km.h−1sur le sentier et 5km.h−1dans le champ.
bA bB
bC
b
M
Soit M un point situé entre A et B; on pose AM=x.
1. Démontrer que la durée totale (en heures) du par- cours AM + MC est :
f(x)=x 6+
px2−1,8x+0,85
5 avec 0ÉxÉ0,9 2. Étudier les variations de f sur [0 ; 0,9].
3. Répondre au problème posé.
II Fonctions convexes
On dit qu’une fonction f est continue sur un inter- valleI deRest convexe lorsque :
∀x∈I,∀y∈I, f³x+y 2
´
É f(x)+f(y)
2 .
Définition
1. (a) La fonctionf :x7→x2est-elle convexe surR? (b) La fonction f : x 7→ p
x est-elle convexe sur [0 ; = ∞[?
(c) La fonction f : x 7→ 1
x est-elle convexe sur ]0 ; +∞[ ?
2. Interpréter graphiquement l’inégalité de la défini- tion (on représentera une courbe avec A(x ; f(x)), B(y; f(y))).
3. Soit f une fonction deux fois dérivable sur R telle que, pour toutx∈R,f′′(x)Ê0.
(a) Soitx0un réel et soitgla fonction définie surR par :
g(x)=f³x+x0
2
´
−
·f(x)+f(x0) 2
¸ . Prouver quegest dérivable surRet déterminer la dérivéeg′deg.
(b) Démontrer que :
• Six<x0,g′(x)>0
• Six>x0,g′(x)>0
(c) En déduire que, pour tout réelx,g(x)É0 puis quef est une fonction convexe.
III
On rappelle que exp est l’unique fonction non nulle dé- rivable surRtelle que
( f′=f f(0)=1.
On cherche une fonctionf non nulle, dérivable surR, telle que
( f′=f f(0)=λ
λ6=0.
Pour cela, on poseg=1 λf.
1. Montrer qu’alors,g′=get queg(0)=1.
2. En déduire l’expression degpuis celle de f. (on ad- met quegest unique)
IV
On cherche une fonction f, non nulle, dérivable surR et telle que
( f′=k f
f(0)=1 k∈R.
1. Montrer queg:x7→exp(k x) convient.
2. Comment montrerait-on l’unicité d’une telle fonc- tion
3. En déduire une fonctionf telle que
( f′=2f f(0)=1 4. En déduire une fonctionf telle que
( f′=2f f(0)=λ ,λ∈R
