x -∞ 1 +∞
f'(x) - 0 +
f(x) 3
x -∞ -1/3 1 +∞
f'(x) + 0 - 0 +
-7/27 f(x) -1
x 0 +∞
f'(x) +
f(x) 0
x -∞ -1 +∞
f'(x) - 0 + +
f(x) 9
0
2 -1
2 3 4
-1 -2 -3 -4 -5
0 1
1
x y
2 3 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-10 1
1
x y
2 3 4
-1 -2 -3
6 9 12 15 18 21 24 27 30
-3 -6 -9 -12 -15 -18 -21
0 1
3
x y
Exercices de dérivation.
Pour chacune des fonctions suivantes : 1. déterminer les domaines de définition et de dérivabilité,
2. calculer la fonction dérivée 3. étudier le signe de f’(x) 4. dresser le tableau de variation de la fonction f(x) = 2x² − 4x + 5.
1. Df = Df’= IR car f est une fonction polynôme.
2. Calcul de la dérivée : f’(x) = 4x – 4 = 4(x – 1)
3. Etude du signe de f’(x) : f’(x) est du signe de x – 1 c'est à dire : x f'(x)
| |
−∞
- 1 0
+
+∞
4. On en déduit le tableau de variation de f :
f(x) = x3 – x² − x
1. Df = Df’= IR car f est une fonction polynôme.
2. Calcul de la dérivée : f’(x) = 3x² − 2x – 1
3. Etude du signe de f’(x) : f’(x) est un trinôme dont les racines sont : 1 (racine évidente) et −1/3
d’après la règle du signe du trinôme : x f'(x)
| |
−∞
+ -1/3
0 -
1 0
+
+∞
4. On en déduit le tableau de variation de f :
f(x) = 3 x + x
1. f est définie dans Df = [0 ; +∞[ pour que x existe.
x → x n’est pas dérivable en 0 donc Df’ = ]0 ; +∞[
2. Calcul de la dérivée : f’(x) = 3× 1
2 x + 1 = 3 + 2 x 2 x
3. Etude du signe de f’(x) : dans ]0 ; +∞[, 3 + 2 x > 0 et 2 x > 0 donc f’(x) > 0 4. On en déduit le tableau de variation de f :
f(x) = 3x² − 6 x
1. f est définie dans Df = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ pour que 6/x existe.
f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable dans Df’ = Df = IR*
2. Calcul de la dérivée : f’(x) = 6x – 6× -1
x² = 6x3 + 6
x² = 6(x3 + 1) x² 3. Etude du signe de f’(x) :
dans IR*, 6 > 0 et x² > 0 donc f’(x) a le signe de x3 + 1 : or x3 + 1 ≥ 0 ⇔ x3 ≥ −1
⇔ x3 ≥ (−1)3
⇔ x ≥ −1 car la fonction cube est croissante sur IR.
donc : x f'(x)
| |
−∞
- -1
0 +
0
||
+
+∞
4. On en déduit le tableau de variation de f :
x -∞ +∞
f'(x) + +
-3
f(x)
x -∞ 0 +∞
f'(x) - 0 - -
1
f(x) -2
0 1 1
x y
0 1
1
x y
2 3
-1 -2 -3 -4
2 3
0 1
1
x y
f(x) = x + 1 x + 3
1. f(x) existe quand x ≠ −3 donc Df = ]−∞ ; −3[ ∪ ]−3 ; +∞[
f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable dans Df
2. Calcul de la dérivée : f’(x) = (x + 1)'(x + 3) - (x + 1)(x + 3)'
(x + 3)² =
x + 3 - (x + 1) (x + 3)² = 2
(x + 3)²
3. Etude du signe de f’(x) : dans Df, 2 > 0 et (x + 3)² > 0 donc f’(x) > 0
4. On en déduit le tableau de variation de f :
f(x) = 2 x3 - 1
1. f(x) existe quand x3 – 1 ≠ 0 c'est à dire x ≠ 1 donc Df = ]−∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[
f est rationnelle donc dérivable dans Df.
2. f’(x) = 2× - (x3 - 1)'
(x3 - 1)² = - 6x² (x3 - 1)²
3. dans Df , (x3 – 1)² > 0 et −6x² ≤ 0 avec −6x² = 0 quand x = 0.
donc f’(x) ≤ 0.
4. On en déduit le tableau de variation de f :
f(x) = x + 1 x²
1. f(x) existe quand x² ≠ 0 c'est à dire x ≠ 0 donc Df = IR *.
f est rationnelle donc dérivable dans Df.
2. f’(x) = (x + 1)'(x²) - (x + 1)(x²)'
(x²)² = x² - (x + 1)2x
x4 = x(x - (x + 1)2)
x4 = x(- x - 2) x4
3. dans Df, x4 > 0 donc f’(x) est du signe du trinôme x(−x – 2) dont les racines sont 0 (valeur interdite) et −2.
donc x f'(x)
| |
−∞ -
-2 0
+
0
||
-
+∞
4. On en déduit le tableau de variation de f :
x -∞ -1/2 +∞
f'(x) - 0 +
f(x) 0
2 3 4 5 6 7
-1 -2 -3 -4 -5 -6
2 3
0 1
1
x y
x -∞ -1 1 +∞
f'(x) - 0 + 0 -
3 f(x) 1/3
-1 -2
2 3 4 5
-1
0 1
1
x y
f(x) = x² + x + 1 x² - x + 1
1. f(x) existe quand x² − x + 1 ≠ 0.
or ce trinôme a un discriminant négatif donc il ne s’annule pas et Df = IR.
f est rationnelle donc dérivable dans Df = IR.
2. f’(x) = (x² + x + 1)'(x² - x + 1) - (x² + x + 1)(x² - x + 1)'
(x² - x + 1)² = (2x + 1)(x² - x + 1) - (x² + x + 1)(2x - 1)
(x² - x + 1)² = … = 2(1 - x)(1 + x) (x² - x + 1)² 3. dans IR, (x² − x + 1)² > 0 donc f’(x) est du signe du trinôme (1 – x)(1 + x) dont les racines sont −1 et 1.
donc : x f'(x)
| |
−∞
- -1
0 + 1 0
-
+∞
4. On en déduit le tableau de variation de f :
f(x) = (2x + 1)4.
1. f est une fonction polynôme donc définie et dérivable dans IR.
2. f’(x) = 4(2x + 1)3(2x + 1)’ = 4(2x + 1)3(2) = 8(2x + 1)3
3. dans Df = IR, f’(x) est du signe de (2x + 1)3 donc de 2x + 1 :
donc : x f'(x)
| |
−∞
- -1/2
0 +
+∞
4. On en déduit le tableau de variation de f :
