La continuité
I- Aux XVIIè et XVIIIè siècles, la notion de fonction continue sur un intervalle I était celle d'une fonction dont on pouvait tracer la courbe représentative sans lever le crayon ?
En utilisant cette définition et les courbes tracées ci-contre, dire si les fonctions suivantes sont ou ne sont pas continues sur l'intervalle proposé :
• f définie sur [–1;2] par f(x) = x2
• g définie sur ]0;1] par g(x) = 1 x
• u définie sur [0;2] par
{
uu(x(x)=)=2−x si xx si x ≤ 1>1• v définie sur [0;2] par
{
v(x)=1−x si x ≤ 1 v(x)=x si x>1 En observant les courbes représentatives, on constate que seule la courbe de v (bleu) ne semble pas pouvoir se tracer sans lever le crayon ce qui n'est pas le cas pour les autres fonction donc v n'est pas continue sur [0;2]II- Au début du XIXè siècle, Bolzano et Cauchy ont défini une approche plus algébrique de la continuité. On reprend les fonctions u et v précédentes
1) D'après les définitions des fonctions u et v, en quel réel x0 y a-t-il à priori une problème de continuité ? Justifier
Sur les intervalles [0;1[ et ]1;2] , les fonctions u et v sont des fonctions affines donc on peut les tracer sans lever le crayon sur ces intervalles. La question de la continuité se pose en x = 1 2) a) Calculer les deux limites suivantes et les comparer à u(x0)
lim
x→x0
x<x0
u(x) = lim
x→1 x<1
x = 1 et lim
x→x0
x>x0
u(x) = lim
x→1 x>1
2−x = 1
Ces deux limites sont égales à u(1)=1 b) Même question avec la fonction v lim
x→x0 x<x0
v(x) = lim
x→1 x<1
1−x = 0 et lim
x→x0 x>x0
u(x) = lim
x→1 x>1
x = 1 Ces deux limites ne sont pas égales à v(1)=1−1=0
c) En sachant que graphiquement la fonction u est continue en x0 et que la fonction v n'est pas continue en x0, proposer une définition de la continuité d'une fonction en un réel x0
lim
x→x0 x<x0
u(x) = lim
x→x0 x>x0
u(x) = u(x0) 3) Représenter une fonction f telle qu'en un réel x0 on ait : lim
x→x0 x<x0
f (x) ≠ lim
x→x0 x>x0
f (x) ≠ f (x0) Facile
4) On considère la fonction suivante : f(x) = 2 x
2– 8 x6 x – 3
a) Citer les plus « grands » intervalles sur lesquelles cette fonction est continue
Cette fonction est définie pour x ∈ ]–∞;3[ et x ∈ ]3;+∞[ donc en tant que fonction rationelle elle est continue
b) Jean considère alors la fonction définie par
{
f (fx()=3)=a2x2x−−38x+6 si x≠3.Il prétend pouvoir trouver une valeur de a pour laquelle f est continue sur ℝ . Est-ce possible ? On observe la courbe à la calculatrice et on peut constater une continuité possible en choisissant convenablement a :
2x2−8x+6 Δ=64−48=16>0 donc deux solutions x=3 et x=1 d'où 2x2−8x+6=2(x−1)(x−3)
lim
x→3
2x2−8x+6
x−3 = lim
x→3
2(x−1)(x−3)
x−3 = lim
x→32(x−1) = 4
Donc en prenant a = 4 , on « rebouche » les morceaux et f est continue sur ℝ .
