Chapitre 30

Chapitre 30

Fonctions de deux variables - Calcul intégral

I - Intégrales sur des pavés I.1 - Pavés, Fonctions en escalier Définition 1 (Pavé).

On appelle pavé de R² toute partie de R² de la forme [a, b]×[c, d], où a, b, c, d ∈ R et a < b, c < d.

Définition 2 (Subdivision).

SoitP = [a, b]×[c, d]un pavé deR². Soit(xi)i∈J0,nK (resp.(yi)i∈J0,mK) une subdivision de [a, b](resp.[c, d]). Pour tout couple(i, j)∈J0, n−1K×J0, m−1K, on notePi,j = [xi, xi+1]× [y_i, y_i+1]. L'ensemble {P_i,j,(i, j)∈J0, n−1K×J0, m−1K} est appelé subdivision deP. Définition 3 (Fonction en escalier).

Une fonction f : P →Rest dite en escalier sur P s'il existe une subdivision deP telle quef soit constante sur chacun des pavés ouverts de la subdivision. L'ensemble des fonctions en escalier dénies sur P est noté E(P).

Définition 4 (Intégrale des fonctions en escalier).

Soit f : P → R une fonction en escalier et σ ={[x_i, x_i+1]×[y_i, y_i+1],(i, j) ∈ J0, nK× J0, mK}une subdivision adaptée àf. On appelle intégrale def la quantitéⁿ⁻¹P

i=0 m−1

P

j=0

λij(xi+1− x_i)·(y_j+1−y_j), où f_{|]xi,xi+1[×]yj,yj+1[}=λ_ij.

Propriétés 1.

Soitf une fonction en escalier.

(i). L'intégrale de f est indépendante de la subdivision adaptée choisie. On la noteRR

P f.

(ii). L'application f 7→RR

Pf est une forme linéaire croissante.

I.2 - Intégrale des fonctions continues Lemme 1.

Soitf une fonction continue de P dansR etε un réel strictement positif. Il existe deux fonctions en escalierψ, ϕ telles que0≤f−ϕ≤ψ−ϕ≤ε.

Définition 5.

Soitf une fonction continue de P dansR. On note I⁻(f) =

Z Z

P

ϕ; ϕ∈E(P), ϕ≤f

, I⁺(f) =

Z Z

P

ϕ; ψ∈E(P), ψ≥f

.

Lorsque f est continue, l'ensemble I⁻ (resp. I⁺) admet une borne supérieure (resp. infé- rieure). De plus, ces bornes sont égales. Leur valeur commune est appelée intégrale de f sur P et est notée RR

Pf. Propriétés 2.

Soientf, g deux fonctions continues deP = [a, b]×[c, d]dansR etλun réel.

(i). Linéarité.RR

P(f+λg) =RR

Pf +λRR

Pg.

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(ii). Positivité. Sif ≥0, alors RR

P f ≥0.

(iii). Croissance. Sif ≤g, alors RR

Pf ≤RR

P g.

(iv). Inégalité triangulaire.

RR

P f ≤RR

P|f|.

(v). Relation de Chasles. SoitP = [a, b]×[c, d],x0 ∈]a, b[ety0 ∈]c, d[. Alors, Z Z

P

f = Z Z

[a,x0]×[c,d]

f + Z Z

[x0,b]×[c,d]

f

= Z Z

[a,b]×[c,y₀]

f + Z Z

[a,b]×[y₀,d]

f.

Théorème 1 (Théorème de Fubini).

Soitf une fonction continue de P dansR. On a Z Z

P

f = Z b

a

Z d c

f(x, y)dy

dx

= Z _d

c

Z b a

f(x, y)dx

dy.

Corollaire 2.

Soit g ∈ C([a, b],R) et h ∈ C([c, d],R). Alors, RR

[a,b]×[c,d]gh = Z b

a

g(x)dx

·

Z d c

h(y)dy

.

Exercice 1.Calculer les intégrales suivantes.

1. RR

[0,1]×[0,π](x+ cosy)dx dy. 2. RR

[0,1]×[0,1]xcos(xy)dx dy.

3. Le centre d'inertie d'une plaque rectangulaire[0, a]×[0, b]de densité surfacique constante σ. II - Intégrales sur des parties bornées de R²

Remarque. (À propos d’intégrabilité) On dit qu'une partieN de R² est négligeable au sens de Riemann si, pour toutεstrictemet positif, il existe une famille nie de pavés(Pi)i∈J1,nK tels que N ⊂

n

S

i=1

Pi et Pⁿ

i=1

Z Z

Pi

1≤ε.

Soient A une partie bornée de R² etP un pavé contenant A. Pour toute fonction f dénie de A dans R, on note f^? l'application dénie sur P par f^?(x) = f(x) si x ∈ A et f^?(x) = 0 si x∈P\A. On dira que f est intégrable sur P si et seulement sif^? est intégrable surP.

On admettra que pour toute fonction f continue sauf sur un ensemble négligeable et bornée sur une partie bornéeA de R² de frontière négligeable est intégrable.

Notations.Dans toute la suite, on considère deux fonctionsg, hcontinues sur un segmentI telles queg < h. On considère des parties :

∗ En notant I = [a, b], on noteraB ={(x, y)∈R² ; x∈[a, b], g(x)≤y≤h(x)}.

∗ En notant I = [c, d], on noteraC ={(x, y)∈R² ; y∈[c, d], g(y)≤x≤h(y)}.

A désignera une partie de R² de frontière négligeable ; f une fonction bornée sur l'ensemble considéré, dont l'ensemble des points de discontinuité est négligeable.

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II.1 - Fubini

Théorème 3 (Théorème de Fubini).

∗ Z Z

B

f = Z b

a

Z h(x) g(x)

f(x, y)dy

! dx.

∗ Z Z

C

f = Z d

c

Z h(y) g(y)

f(x, y)dx

! dy.

Exercice 2.

1. Calculer l'aire d'un triangle.

2. Calculer la position du centre de gravité d'un demi-disque.

II.2 - Changements de variables

Propriété 3 (Changement de variables affine).

Soitϕune application ane bijective deR² de partie linéaire−→ϕ, i.e. il existe(a, b)∈R² et−→ϕ ∈G`(R²) tels queϕ(x, y) = (a, b) +−→ϕ(x, y). Alors,

Z Z

ϕ(A)

f(x, y)dx dy= Z Z

A

(f ◦ϕ)(u, v)|det−→ϕ|du dv.

Exercice 3.

1. Calculer l'aire d'un parallélogramme.

2. Calculer l'aire d'une demi-ellipse.

Propriété 4 (Changement de variables polaire).

SoitA⊂R+×[a, a+2π]une partie bornée de frontière négligeable deR²etΦ : R+×R→ R²,(r, θ)7→(rcosθ, rsinθ). On suppose quef est continue et intégrable surΦ(A). Alors,

Z Z

Φ(A)

f(x, y)dx dy= Z Z

A

f(rcosθ, rsinθ)r dr dθ.

Exemple 1.

3. Calculer l'aire du disque unité.

4. Calculer la position du centre de gravité de la demi-cardioïde.

Théorème 4 (Changement de variables, H.P.).

Soitϕ : R² →R² un C¹-diéomorphisme. Alors, Z Z

ϕ(A)

f(x, y)dx dy = Z Z

A

f◦ϕ(u, v)|Jac_(u,v)(ϕ)|du dv.

III - Champs de vecteurs

Dans cette partie, U désigne un ouvert deR²,Γ = ([a, b], f) un arc paramétré de classe C¹ de R² et−→

V = (P, Q) : U →R² un champ de vecteurs continu.

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III.1 - Circulation, Intégrale curviligne Définition 6 (Intégrale curviligne).

L'intégrale Z b

a

h−→

V(f(t)), f⁰(t)idt est indépendante du paramétrage admissible choisi. On l'appelle l'intégrale curviligne de−→

V le long deΓ. On la note Z

Γ

P dx+Q dy= Z

Γ

V.

Exercice 4.Soit Γ =C(0,1). Déterminer Z

Γ

V pour 1. V : R²→R²,(x, y)7→x²+y².

2. V : R²→R²,(x, y)7→

−_x2+y^y ₂,_x2+y^{x 2}

. Propriété 5 (Potentiel scalaire).

Si−→

V =∇W et siΓ va deA=f(a) à B =f(b), alors Z

Γ

−

→V =W(B)−W(A).

III.2 - Formule de Green-Riemann Théorème 5 (Formule de Green-Riemann).

Soit Γ une courbe paramétrée fermée et ∆ le domaine intérieur à Γ. On oriente Γ dans le sens direct, i.e. de manière à ce que le vecteur normal soit dirigé vers l'intérieur deΓ. Soit

−

→V = (P, Q) un champ de vecteur de classeC¹ sur un ouvertU contenant∆. Alors, Z

Γ

P dx+Q dy= Z Z

∆

∂Q

∂x₁ − ∂P

∂x₂

dx dy.

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