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Chapitre 11

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Academic year: 2022

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Chapitre 11 – Pour reprendre contact – Aide exercice 3

Le titre de l’exercice suggère la méthode.

Revoir dans le mémento le paragraphe « Produit scalaire dans le plan» ( page 478), en particulier le point 2 : « avec les normes».

Cette méthode permet de calculer des produits scalaires dans un triangle lorsque l’on connaît les longueurs des trois côtés du triangle.

Démonstration de AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ AC⃗⃗⃗⃗⃗ =1

2(AB2 + AC2− BC2) :

BC2 = BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = (BA⃗⃗⃗⃗⃗ + AC⃗⃗⃗⃗⃗ )2 = (AC⃗⃗⃗⃗⃗ − AB⃗⃗⃗⃗⃗ )2 = AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2− 2AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ AC⃗⃗⃗⃗⃗ + AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2 d’après les propriétés de bilinéarité et de symétrie du produit scalaire.

On en déduit que 2AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ AC⃗⃗⃗⃗⃗ = AB2+ AC2 − BC2 et donc AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ AC⃗⃗⃗⃗⃗ =1

2(AB2+ AC2 − BC2).

Math’x Terminale S © Éditions Didier 2016

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