Cours sur les équations différentielles

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Cours sur les équations différentielles

Dans tout le chapitre, I désigne un intervalle. Les fonctions considérées seront définies sur I et à valeurs dans K = R ou C .

Introduction

Exercice 1 (Exemple introductif) Trouver les fonctions f dérivables sur ]0, + ∞ [ vérifiant

∀ (x, y) ∈ ]0, + ∞ [

²

, f(xy) = f(x) + f(y).

Les équations différentielles (ED) sont des cas particuliers d’équations fonctionnelles : ce sont des équations où les inconnues sont des fonctions vérifiant des conditions de dérivabilité.

En mathématiques, on note souvent y la fonction inconnue. Voici quelques exemples :

• Trouver les fonctions dérivables y : R → R telles que y

^′

= y. On dit que c’est une ED d’ordre 1 (car la dérivée première de y intervient). On remarque que toute fonction proportionnelle à exp est solution.

Plus généralement, une ED linéaire d’ordre 1 sera de la forme y

^′

+ ay = b avec a et b des fonctions.

• Trouver les fonctions deux-fois dérivables y : R → R telles que y

^′′

= y. On dit que c’est une ED d’ordre 2 (car la dérivée seconde de y intervient). On remarque que exp, x 7→ e

⁻^x

, ch, sh sont solutions, et même toute combinaison linéaire de exp et de x 7→ e

⁻^x

est solution.

Plus généralement, une ED linéaire d’ordre 2 sera de la forme y

^′

+ ay

^′

+ by = f avec a, b et f des fonctions.

• Chute libre d’un objet de masse m avec hypothèse de frottement.

Cet objet est soumis à son poids − → P = m − → g et à une force de frottement − → f . Si l’on fait l’hypothèse que le frottement est proportionnel à la vitesse − → v , on a − →

f = − k − → v avec k > 0.

D’après le principe fondamental de la dynamique, on a alors m − → g + − → f = m − → a , ce qui donne mg − kv = m

^dv_dt

, qu’on écrit :

(E1) dv

dt = − k m v + g

C’est une ED linéaire d’ordre 1 avec la vitesse v comme fonction inconnue.

Dans le cas par exemple d’une chute libre d’un humain depuis un avion, notre hypothèse de frottement «linéaire» n’est pas réaliste, un modèle satisfaisant est de supposer que le frottement est proportionnel au carré de la vitesse − → v .

On obtient alors

(E2) dv

dt = − k

m v

²

+ g

Ce n’est pas une ED linéaire.

(2)

• Pour la culture, citons enfin deux équations dites au dérivées partielles, que vous rencon- trerez en Physique :

L’équation de la chaleur :

∂T

∂t (x, t) = ∂

²

T

∂x

²

(x, t)

où T (x, t) est la température à l’instant t et à la position x (par exemple d’une tige).

L’équation des ondes :

∂

²

u

∂x

²

(x, t) = 1 c

²

∂

²

u

∂t

²

(x, t)

On distingue deux types d’équations différentielles : les «linéaires» et les «non linéaires». Il est en général impossible de résoudre de manière explicite une équation différentielle. On peut toujours en revanche en obtenir des solutions approchées par des méthodes numériques (cf cours informatique). La méthode d’Euler en est un exemple intéressant du point de vue pédagogique, mais peu performante. La méthode Runge-Kutta 4 en est en revanche très performante.

Dans ce cours de MPSI, nous allons voir des méthodes permettant de résoudre certaines équations différentielles linéaires.

I Équations différentielles linéaires d’ordre 1

I.1 Fonctions à valeurs complexes

Définition 1 Une fonction f : I → C est dite dérivable (resp. continue) sur I si ses fonctions composantes Re(f ) et Im(f) sont dérivables (resp. continues). On pose alors f

^′

= (Re(f ))

^′

+ i(Im(f))

^′

.

En particulier, la partie réelle (resp. imaginaire) de la dérivée est la dérivée de la partie réelle (resp. imaginaire).

Exemple : si q ∈ C , la dérivée de t 7→ e

^qt

est t 7→ qe

^qt

.

I.2 EDL d’ordre 1 homogène

Proposition 2 Les solutions de l’équation homogène (H) : y

^′

+ a(x)y = 0 avec a fonction continue sur I sont

{ λe

⁻^A

| λ ∈ K } avec A primitive de a.

Remarques :

• toutes les solutions sont proportionnelles à la solution e

⁻^A

. On dit que l’ensemble des solutions S

^H

est une droite vectorielle (contient la fonction nulle).

• lorsque a est une fonction constante, les solutions de l’équation homogène sont propor- tionnelles à x 7→ e

⁻^ax

.

Exercice 2 Résoudre sur I les EDL suivantes :

1. y

^′

= 2y, I = R 2. x

³

y

^′

(x) + 2y(x) = 0, I =]0, + ∞ [

3. (1 + x

²

)y

^′

(x) − arctan(x)y(x) = 0, I = R 4. xy

^′

(x) − y(x) = 0, I =] − ∞ , 0[ ( solution évidente)

(3)

I.3 EDL d’ordre 1 avec second membre

Proposition 3 (Structure affine de l’ensemble des solutions) On considère l’EDL (E) : y

^′

(x) + a(x)y(x) = b(x) avec a et b deux fonctions continues de I dans K . On appelle équation homogène associée à (E) l’équation (H) : y

^′

(x) + a(x)y(x) = 0.

Les solutions de l’équation avec second membre (E ) : y

^′

+ a(x)y = b(x) s’obtiennent en ajoutant à une solution particulière de (E) les solutions de l’équation homogène. Cela revient à dire que si y

p

est une solution particulière de (E), alors une fonction y sera solution de (E) si, et seulement si, la fonction y − y

p

est solution de (H)

Pour résoudre une EDL d’ordre 2, il suffit donc de résoudre l’ED homogène associée et de trouver une solution particulière. Comment faire ?

On peut d’abord tenter de trouver une solution «évidente», comme une solution constante ou polynomiale. Par exemple, lorsque a et b sont constantes, la fonction constante

_a^b

est solution particulière.

Exercice 3 Résoudre sur I les équations différentielles suivantes :

1. y

^′

(x) + x

²

y(x) = x

²

, I = R 2.

^dv_dt

=

⁻_m^k

v + g et v(0) = 0. I = R

⁺

3. y

^′

+ y = x

³

− 1, I = R . Nous avons une méthode générale dite de la variation de la constante qui fournit toujours une solution particulière.

Proposition 4 (Méthode de la variation de la constante) On considère l’EDL y

^′

+a(x)y = b(x). On peut trouver une solution particulière y

p

sous la forme y

p

(x) = λ(x)e

⁻^A(x)

avec A une primitive de a et λ : I → K une primtive de be

^A

.

En particulier, on peut écrire avec x

₀

∈ I, y

p

(x) = e

^−A(x)

Z _x

x0

b(t)e

^A(t)

dt.

Exercice 4 Résoudre sur I les équations différentielles suivantes :

1. y

^′

(x) +

^y(x)_x

= x, I =]0, + ∞ [ 2. y

^′

(x) − y(x) tan(x) = cos(x), I =]

^π₂

,

^3π₂

[.

Proposition 5 (Problème de Cauchy) il existe une unique solution définie sur I de y

^′

+ a(x)y = b(x) avec a et b fonctions continues sur I vérifiant la condition initiale y(x

0

) = y

0

.

Cela signifie que (si I = R ) par un point du plan, passe une et une seule courbe intégrale.

En particulier, les courbes intégrales ne s’intersectent pas.

Remarque : il peut ne pas y avoir unicité pour une équation non linéaire. Exemple : y

^′

= √ y

et y(0) = 0. Pour tout réel a, les fonctions f

a

: R → R définies par f(x) =

^(x⁻₄^a)²

si x > a et

f (x) = 0 sinon, sont des solutions vérifiant f

a

(0) = 0.

(4)

I.4 Problèmes de raccord

Pour résoudre a(x)y

^′

+ b(x)y = c(x) lorsque la fonction a : R → R s’annule en x

0

par exemple, on la résoud sur les intervalles ] − ∞ , x

0

[ et ]x

0

, + ∞ [. On se demande alors s’il existe des solutions définies sur R tout entier. Elles ne peuvent être obtenues qu’en «raccordant» par continuité et dérivabilité des solutions sur ] − ∞ , x

0

[ avec des solutions sur ]x

0

, + ∞ [. On peut alors obtenir soit 0 solution, soit 1 solution, soit 1 droite de solutions (une constante), soit un plan de solutions (deux constantes).

Exercice 5 Résoudre sur R l’EDL xy

^′

(x) + y(x) = x

²

.

II EDL du second ordre à coefficients constants

II.1 Résolution de l’équation homogène à coefficients constants

Théorème 6 (Solutions de ay

^′′

+ by

^′

+ cy = 0) Soit a, b, c ∈ K avec a 6 = 0. On note (H) : ay

^′′

+ by

^′

+ cy = 0 l’EDL homogène d’ordre 2 et S

^H

l’ensemble de ses solutions sur R .

On pose ∆ le discriminant du polynôme P = aX

²

+ bX + c.

1. Cas où K = C

• si ∆ 6 = 0, P admet deux racines r

₁

et r

₂

. On a alors

S

^H

= { x 7→ αe

^r¹^x

+ βe

^r²^x

| (α, β) ∈ C

²

} .

• si ∆ = 0, P admet une unique racine r. On a alors

S

^H

= { x 7→ αe

^rx

+ βxe

^rx

| (α, β) ∈ C

²

} . 2. Cas où K = R

• si ∆ > 0, P admet deux racines réelles r

₁

et r

₂

. On a alors (régime apériodique) S

^H

= { x 7→ αe

^r¹^x

+ βe

^r²^x

| (α, β) ∈ R

²

} .

• si ∆ = 0, P admet une unique racine réelle r. On a alors (régime critique) S

^H

= { x 7→ αe

^rx

+ βxe

^rx

| (α, β) ∈ R

²

} .

• si ∆ < 0, P admet deux racines complexes conjuguées r

₁

= ρ + iw et r

₂

= ρ − iw.

On a alors (régime pseudo-périodique)

S

^H

= { x 7→ e

^ρx

(α cos(wx) + β sin(wx)) | (α, β) ∈ R

²

} . Remarques :

• Dans tous les cas les solutions de ay

^′′

+by

^′

+cy = 0 sont des combinaisons linéaires de deux

solutions non proportionnelles. On dit que S

^H

est un plan vectoriel (espace vectoriel de

dimension 2).

(5)

• Un signal de la forme t 7→ a cos(ωt)+b sin(ωt) peut s’écrire sous la forme t 7→ A cos(ωt+φ) avec ω la pulsation, A l’amplitude et φ le déphasage.

Exercice 6 Résoudre les équations différentielles suivantes :

1. y

^′′

(x) − 3y

^′

(x) + 2y(x) = 0 2. θ

^′′

(t) + w

²

θ(t) = 0. 3. y

^′′

− 2y

^′

+ y = 0.

Exercice 7 Déterminer toutes les fonctions f : R → R dérivables, telles que :

∀ x ∈ R , f

^′

(x) = f ( − x).

II.2 Avec second membre

Proposition 7 (Structure affine de l’ensemble des solutions) Les solutions de l’équation avec second membre ay

^′′

(x)+by

^′

(x)+cy(x) = f (x) (E) s’obtiennent en ajoutant à une solution particulière de (E) les solutions de l’équation homogène (H) ay

^′′

+ by

^′

+ cy = 0.

Remarque : on dit que l’ensemble des solutions de (E) est un plan affine de même direction que S

^H

.

Comment trouver une solution particulière ? Quelques «recettes

¹

»

• Cas d’un second membre polynomial, on cherche une solution particulière polynomiale.

• Cas d’un second membre de la forme f (x) = e

^mx

avec m ∈ K : l’équation (E) admet une solution particulière y

p

de la forme :

– y

p

(x) = qe

^mx

si m n’est pas racine de aX

²

+ bX + c avec q ∈ K . – y

p

(x) = qxe

^mx

si m est racine simple de aX

²

+ bX + c.

– y

p

(x) = qx

²

e

^mx

si m est racine double de aX

²

+ bX + c.

• Principe de superposition

Proposition 8 Si y

₁

est solution de ay

^′′

+by

^′

+cy = f

₁

et y

₂

solution de ay

^′′

+by

^′

+cy = f

₂

, alors pour tout α et β, la fonction αy

₁

+ βy

₂

est solution de ay

^′′

+ by

^′

+ cy = αf

₁

+ βf

₂

. Exercice 8 Résoudre y

^′′

(x) + 2y

^′

(x) + y(x) = 2 sh(x).

• Cas d’un second membre de la forme f(x) = cos ωx (signal sinusoïdal de pulsation ω).

Alors on aura une solution particulière sinusoïdale avec même pulsation, du type y

p

(x) = A cos ωx+B sin ωx (ou y(t) = A cos(ωt +φ)). Pour cela, on cherche une solution complexe de l’équation (E

c

) : ay

^′′

+ by

^′

+ c

^′

= e

^iωx

. On en prend la partie réelle et cela fournit une solution particulière de (E).

Exercice 9 Résoudre y

^′′

(x) − 3y

^′

(x) + 2y(x) = sin(2x).

Citons enfin ce dernier résultat hors-programme qui sera vu en SPE.

1. Ce sont les seules au programme.

(6)

Proposition 9 (Problème de Cauchy) Soit f : I → K continue, x

₀

∈ I et y

₀

, v

₀

dans K . Alors il existe une unique solution de ay

^′′

+ by

^′

+ cy = f(x) vérifiant les conditions initiales y(x

0

) = y

0

et y

^′

(x

0

) = v

0

.

Remarque : on impose une condition sur la position y(x

₀

) et la vitesse y

^′

(x

₀

) à un instant donné x

0

.

Si on impose deux conditions sur les positions, il n’y a pas forcément unicité. Par exemple,

la fonction sinus et la fonction nulle sont solutions de y

^′′