Chapitre 6 Structures coh´erentes

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Structures coh´

erentes

Ce chapitre traite de la décomposition du mouvement en une partie organisée et une partie aléatoire. Pour les variables de vitesse considérées, nous prenons les notations :

U_i= Ui+ u(c)_i + u(r)_i

o`u Uid´esigne la vitesse moyenne, u (c)

i la fluctuation organis´ee et u (r)

i la fluctuation al´eatoire.

Dans notre cas, la partie organisée du mouvement est principalement constituée de l’al-lée tourbillonnaire de von Kármán. Dans un premier temps, nous observerons ces struc-tures au moyen de lignes d’émission, calculées à partir des acquisitions de PIV haute cadence (paragraphe 6.1). Afin de quantifier la contribution de chaque partie organisée et aléatoire à l’écoulement, nous tenterons ensuite de séparer ces deux composantes de manière quantitative. Du fait du caractère quasi-périodique de l’allée tourbillonnaire, la décomposition est d’abord réalisée par l’opérateur de moyenne de phase (paragraphe6.2). Ainsi la décomposition précédente peut s’écrire, en reprenant les notations de Reynolds and Hussain [106] :

U_i= U_i+ ˜u_i+ u0_i

où ˜U_idésigne la fluctuation quasi périodique et u0_i la fluctuation aléatoire. La moyenne de phase s’écrit alors :

hU_ii = U_i+ ˜u_i

Après avoir présenté les moyennes de phase obtenues par échantillonnage conditionnel (6.2.1), nous validerons au paragraphe6.2.2les estimations stochastiques en les comparant aux moyennes de phase et nous apliquerons cette technique aux acquistions 3C de PIV stéréoscopique. Ensuite, nous verrons les défauts de cet opérateur de moyenne de phase (paragraphe6.3). Nous analyserons l’écoulement au moyen de la décomposition en modes propres orthogonaux (POD) au paragraphe 6.4, puis nous reconsidérerons la moyenne de phase en utilisant les informations issues de la POD (paragraphe 6.5). Les résultats présentés dans ce chapitre sont obtenus au nombre de Reynolds 140000.

6.1 Lignes d’´

emission

La PIV haute cadence permettant le suivi spatio-temporel, il est intéressant de regarder l’allure de lignes d’émission pour visualiser les structures de l’écoulement. Pour ceci, des particules fictives sont lâchées à certains endroits de l’écoulement à chaque instant et

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leur position aux instants successifs forment ces lignes d’émissions. On visualise donc l’écoulement tel qu’on le verrait en injectant de la fumée ou un colorant à ces positions. Nous avons calculé ces lignes d’émission en lâchant une particule à chaque instant en des points répartis uniformément sur la frontière amont du domaine mesuré, ainsi que sur la frontière inférieure, proche de l’axe arrière y/D = 0. En pratique, il semble peu naturel car impossible d’injecter du colorant à ces positions. Néanmoins, les lignes d’émission obtenues illustrent certains aspects du mouvement. Les positions des particules à un instant t sont calculées à partir de la vitesse interpolée (par une méthode des moindres carrés pondérés par les distances) à la position de la particule à l’instant précédent. Egalement, pour un meilleur rendu visuel, les champs de vecteurs ont été réechantillonnés (avec une interpolation par moindres carrés) à une fréquence cinq fois supérieure à la fréquence d’acquisition. Ainsi, la distance entre deux particules successives est réduite. Compte tenu de ces traitements et de la résolution spatiale des mesures, les lignes d’émission obtenues sont beaucoup plus lisses qu’elle ne le seraient réellement. Egalement ces visualisations ne prennent pas en compte l’aspect tridimensionnel de l’écoulement. Ainsi, nous visualisons des particules qui devraient être sorties du plan. En particulier, les régions où les particules semblent ’s’entasser’ sont certainement soumises à une vitesse normale au plan de mesure et ainsi les particules à cet endroit ne devraient plus être visibles. Ces lignes d’émission sont donc à interpréter avec beaucoup de précautions. Elles permettent néanmoins d’observer les mouvements de grandes échelles et leur aspects bidimensionnel.

La figure 6.1 représente une séquence de lignes d’émission sur environ un tiers de période correspondant au passage d’un tourbillon dans le plan de mesure. A t = 0.023, le tourbillon qui se détache du cylindre commence à apparaˆıtre et le fluide extérieur est entraˆıné vers le centre du sillage. entre les instants t = 0.025 et t = 0.029, le tourbillon est clairement visible et les lignes d’émission s’enroulent autour. Au centre du tourbillon, les lignes d’émission se ’brisent’ et les particules se mélangent, ce qui indique une agita-tion relativement forte au centre des tourbillons, comme l’ont observé beaucoup d’auteurs (Hussain and Hakayawa [72] ou Cantwell and Coles [37], entre autre) et comme le confir-meront les contraintes turbulentes en moyenne de phase au paragraphe suivant. A partir de t = 0.031, le tourbillon conmmence à être convecté vers l’aval et derrière lui (en amont), le fluide provenant de la partie inférieure du sillage remonte dans cette partie et il s’en suit une forte agitation. Aux instants t = 0.035 et t = 0.037, le fluide provenant de la partie inférieure est également entraˆıné vers l’amont et un forte agitation se produit quand ce fluide rencontre le fluide supérieur. Comme nous l’avons déja noté en observant l’allure des champs de vitesse instantanée, dans ces régions de forte agitation, les ruptures des lignes d’émission ainsi que leur enchevêtrement apparent suggèrent une forte composante de vitesse normale au plan.

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(a) t = 0.023 (b) t = 0.025 (c) t = 0.027

(d) t = 0.029 (e) t = 0.031 (f) t = 0.033

(g) t = 0.035 (h) t = 0.037 (i) t = 0.039

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6.2 Moyenne de phase

6.2.1 Echantillonnage conditionnel

Dans ce paragraphe sont présentées les moyennes de phase obtenues par la procédure décrite dans le paragraphe 3.3.2. Nous rappelons que les acquisitions de PIV sont triées en post-traitement en 16 classes réparties sur une période de l’écoulement, la largeur de chaque classe étant de 1/128eme de période. L’angle de phase attribué à chaque champ instantané est déterminé à partir du signal de pression pariétale sur le cylindre à θ = 70◦ compté à partir du point d’arrêt amont en utilisant la transformation de Hilbert. Les moyennes et moments centrés sont ensuite calculés pour chaque classe.

Les figures 6.3 à 6.10 présentent différentes grandeurs calculées à 8 angles de phase d’une période. Les différentes figures montrent dans l’ordre les lignes de courant de l’´ ecou-lement ainsi moyenné, les iso-contours de la composante hΩ21i du tenseur des taux de

rotation, les iso-contours de hU i, puis de hV i, les iso-contours des composantesu2_{, v}2 et huvi du tenseur des contraintes turbulentes, la composante hS12i du tenseur des taux

de déformation et enfin le terme de production d’energie cinétique turbulente hPi. Sur chaque figure sont également représentés en traits épais la périphérie des tourbillons de von Kármán.

Pour ceci, nous avons utilisé le critère Q proposé par Hunt et al. [70], qui correspond au second invariant du tenseur des gradients de vitesse :

Q= 1 2(kΩk − kSk) = − 1 2(u 2 i,i− ui, j uj,i)

Ce critère, qui est une balance entre les taux de rotation et les taux de déformation, permet d’identifier un tourbillon plus aisément que la vorticité car celle ci est également importante dans les régions cisaillées. En deux dimensions, le critère Q est équivalent au critère λ proposé par Jeong and Hussain [73]. La structure est identifiée pour Q > 0. Nous avons calculé cette quantité à partir des vitesses en moyenne de phase et légèrement lissé le résultat pour un meilleur rendu visuel. Sur les figures le contour représenté correspond `

a l’iso-contour Q = 0.5.

Les lignes de courant représentées sur la figure 6.3 montrent une allure classique de l’allée tourbillonnaire. A ϕ = 0◦ un tourbillon se détache du cylindre dans la partie in-férieure du sillage. Ce tourbillon, dans sa formation, se dirige vers l’aval et le centre du sillage jusqu’à la phase ϕ = 90◦, puis est convecté vers l’aval. De l’autre côté du sillage par rapport au tourbillon, se forme un point selle, ou point d’arrêt. Quand le tourbillon est à une abscisse supérieure à x/D ' 1.5, les lignes de courant ne s’enroulent plus autour du centre du tourbillon à cause de la vitesse de convection du cylindre. Ces lignes de courant sont tracées dans un repère fixe par rapport au cylindre. Dans un repère se dépla¸cant à la vitesse de convection du tourbillon, les lignes de courant s’enrouleraient autour de son centre, comme le montrent Cantwell and Coles [37] qui représentent les champs de vecteurs vitesse en moyenne de phase dans un repère se dépla¸cant à la vitesse de convection des tourbillon estimé à 0.755U₀, dans la zone proche de convection des tourbillons. De même, les points selle ne sont plus visibles dans le repère fixe. Pendant ce temps, un tourbillon de signe opposé s’est formé de l’autre coté du cylindre et suit la même évolution. On observe donc une antisymétrie des lignes de courant par rapport à l’axe arrière y/D = 0

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en comparant deux champs de lignes d´ephas´es de 180◦.

La composante Ω21 ( figure6.4) du tenseur des taux de rotation, qui correspond `a la

vorticité selon l’envergure du cylindre, illustre de manière plus significative le détachement tourbillonnaire et la convection des tourbillons. Nous remarquons que la vorticité au centre des tourbillons diminue entre le moment où celui ci se détache du cylindre et le moment où celui ci commence à être convecté. En effet, la vorticité au centre des tourbillons passe de ±3 lors de la formation des tourbillon à l’abscisse x/D ' 0.8 et vaut ±2 quand le tourbillon est à l’abscisse x/D = 2.2. Cette même tendance est observée par Cantwell and Coles [37]. Egalement la taille du tourbillon augmente dans cette phase de formation. En repérant à la main les lieux des maxima de Q, qui correspondent aux maxima en valeur absolue de la vorticité, nous avons représenté sur la figure6.2la trajectoire des tourbillons. Sur cette figure, les phases auxquelles correspondent chaque position des tourbillons sont indiqués par des numéros allant de 1 à 16 pour ϕ allant de 0◦ à 337.5◦ par pas de 22.5◦. Nous voyons que les tourbillons se rapprochent de l’axe arrière pendant leur formation jusqu’à x/D ' 1.1 puis s’en écartent quand commence leur convection pour arriver à une trajectoire sensiblement parallèle à l’axe arrière. L’abcsisse où les tourbillons sont les plus proches de l’axe (x/D = 1.1) est située légerement en amont du point de rattachement. (Nous rappelons que la longueur de recirculation est lc= 1.28.)

Fig. 6.2: trajectoire des tourbillons issus de la moyenne de phase. Re=140000

Les composantes de vitesse en moyenne de phase hU i et hV i sont représentées sur les figures 6.5 et 6.6. A l’angle de phase ϕ = 0◦, quand un tourbillon se détache du côté inférieur, la vitesse longitudinale hU i a une valeur maximale de 1.4 du côté du tour-billon et à son abscisse, créée par la superposition du tourbillon et du mouvement moyen. Quand le tourbillon avance vers l’aval (ϕ=45◦ jusqu’à 180◦), cette valeur de hU i à la fron-tière du sillage semble diminuer et valoir 1.2 quand le tourbillon est à l’abscisse x/D ' 2 (ϕ = 180◦). De l’autre coté du cylindre, la même accélération de l’écoulement se produit quand le tourbillon alterné qui succède se forme et se détache (ϕ=180◦ jusqu’à 315◦). Au niveau du décollement, la formation d’un tourbillon s’accompagne d’une forte accélération et la région de hU i > 1.4 s’élargit lors du détachement. A l’intérieur du sillage, la valeur

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minimale de hU i se situe bien à la périphérie des tourbillons. La valeur minimale de hU i sur l’ensemble du domaine reste à une abscisse de x/D ' 0.85 et oscille entre les positions y/D ' 0.2 et y/D ' −0.2 au cours d’une période. La composante transversale hV i pr´ e-sente ses plus fortes valeurs absolues entre les tourbillons. Les maxima sont situés sur la périphérie avale des tourbillons et leurs positions se déplacent avec les tourbillons dans le sens de l’écoulement. Ces maxima ont une valeur de ±0.8 à partir de l’abscisse x/D ' 1 (ϕ=135◦ et 315◦). Quand le tourbillon avance, la valeur maximale de hV i augmente lég` e-rement jusqu’à x/D ' 1.3, puis diminue très faiblement quand le tourbillon est convecté. C’est donc autour de l’abscisse x/D ' 1.3 et donc à hauteur du point de rattachement (lc= 1.28) que l’entraˆınement du fluide extérieur est le plus important.

La contrainte turbulente normaleu2 est représentée sur la figure 6.7. Dans la région très proche, `_{a des abscisses x/D . 1.5, cette contrainte présente deux lobes importants} dans les régions de cisaillement de chaque coté du cylindre et ces deux lobes oscillent en fonction des tourbillons au cours de la période. La répartition deu2 entre deux instants de phase opposée est symétrique. Ces deux lobes sont initialement orientés dans le sens de l’écoulement (ϕ = 0◦ du coté supérieur) et quand un tourbillon se détache, les fortes valeurs de u2 suivent les centres des tourbillons et ainsi les lobes ’se rabattent’ vers l’intérieur du sillage (ϕ = 180◦ du coté supérieur ). Les faibles valeurs de u2 juste en aval des tourbillons (ϕ=90◦ et 135◦ en bas à x/D entre 1.5 et 2, et ϕ=270◦ et 315◦ en haut à x/D entre 1.5 et 2) sont caractéristique de l’entraˆınement de fluide extérieur peu turbulent par les tourbillons vers l’intérieur du sillage. Dans la région de convection des tourbillons, plus en aval du cylindre, Hussain and Hakayawa [72] et Cantwell and Coles [37] reportent les maxima deu2 au centre des tourbillons. Cette répartition semble bien s’établir en aval de la région de formation, dans notre cas du fait des faibles valeurs dans les régions d’entraˆınement. Dans la région de formation, de fortes valeurs sont également obervées aux centres des tourbillons mais également entre le tourbillon qui est en train de se former et le tourbillon qui commence à être convecté du fait du cisaillement important de l’écoulement (ϕ = 90◦ du coté supérieur et ϕ = 90◦ du coté inférieur vers x/D ' 1). Cette répartition de la contrainte normale u2 est bon accord avec les résultats de Leder [83] qui a mesuré les moyennes de phase des quantités turbulentes dans le sillage proche d’une plaque verticale par LDV.

La contrainte turbulente normale v2, représentée à la figure6.8, présente ses valeurs maximales au centre des tourbillons. Cette constatation est en bon accord avec les r´ esul-tats de Hussain and Hakayawa [72], Cantwell and Coles [37] dans le sillage un peu moins proche et avec les résultats de Leder [83] dans le sillage proche d’un plaque verticale. Les valeurs de ces maxima au centre de ces tourbillons sont de 0.35-0.4. L’agitation de la composante V est donc nettement plus importante que celle de U et ceci montre une forte anisotropie du tenseur des contraintes turbulentes. Egalement en accord avec les ´

etudes précitées, la composante v2 présente de fortes valeurs entre les tourbillons du côté opposé à la région d’entraˆınement du fluide extérieur, et proche des points selle. Ces résultats confirme les observations faites à partir des champs instantanés de vitesse, ainsi qu’à partir des lignes d’émission. Quand le fluide extérieur entraˆıné par les tourbillons arrive à l’intérieur du sillage et rencontre le fluide opposé, une forte agitation turbulente se produit. Dans ces régions, le niveau de v2 se situe au valeurs 0.25-0.3 et est donc ´

egalement bien plus important que celui de la composanteu2_{, qui est autour de 0.15,ce}

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qui traduit une forte anisotropie de l’agitation turbulente.

La contrainte de cisaillement huvi est représentée sur la figure 6.9. Cette composante présente deux régions de signes opposés de part et d’autre du sillage qui oscillent avec l’évolution des tourbillons. Les iso-contours de cette composante pris à deux instants à des angles de phase opposés présentent donc une antisymétrie. Les valeurs absolues les plus fortes sont situées entre les tourbillons, en accord avec les résultats de Hussain and Hakayawa [72] et Cantwell and Coles [37]. Les valeurs absolues maximales dans ces r´ e-gions vont de 0.16 (à la phase ϕ = 90◦dans la partie supérieure à x/D ' 1.3 et à la phase ϕ = 270◦ dans la partie inférieure) à environ 0.1 plus en aval (phases ϕ=180◦ et 0◦). A la différence de la topologie observée de cette composante dans le sillage plus en aval par Hussain and Hakayawa [72] et Cantwell and Coles [37], huvi présente également de fortes valeurs (≈ 0.16 à la phase ϕ=45◦ dans le tourbillon inférieur) au coeur des tourbillons pendant leur formation le long de la ligne de séparation. Leder [83] obtient également des valeurs importantes dans ces régions mais de fa¸con moins importante que dans notre cas. Cantwell and Coles [37] dans le sillage proche, reportent également de forte valeurs dans ces régions. Ces fortes valeurs sont issues du fort cisaillement dans ces régions de séparation. Quand le tourbillon est convecté vers l’aval, les valeurs de huvi dans le tour-billon diminuent fortement (0.4 à la phase ϕ=180◦) et semblent donc bien tendre vers les résultats des études précitées dans le sillage plus en aval.

Enfin, la composante hS12i du tenseur des taux de d´eformation, qui repr´esente le

cisaillement de l’écoulement en moyenne de phase, est représentée sur la figure6.10. Cette composante présente normalement ses plus fortes valeurs dans la région du décollement du fait du fort cisaillement et ainsi de la prépondérance du gradient ∂ hU i

∂ y . Dans le sillage,

hS₁₂i est quasiment nulle dans les tourbillons et pr´esentent ses plus fortes valeurs entre les tourbillons. Ceci est du aux contributions additives des deux gradient ∂ hU i

∂ y et ∂ hV i

∂ x entre

les tourbillons et qui s’annulent dans les tourbillons où ces deux gradients sont du même ordre de grandeur avec des signes opposés.

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(a) ϕ = 0◦ (b) ϕ = 180◦

(c) ϕ = 45◦ (d) ϕ = 225◦

(e) ϕ = 90◦ (f) ϕ = 270◦

(g) ϕ = 135◦ (h) ϕ = 315◦

Fig. 6.3: moyennes de phase : lignes de courant

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(a) ϕ = 0◦ (b) ϕ = 180◦

(c) ϕ = 45◦ (d) ϕ = 225◦

(e) ϕ = 90◦ (f) ϕ = 270◦

(g) ϕ = 135◦ (h) ϕ = 315◦

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(a) ϕ = 0◦ (b) ϕ = 180◦

(c) ϕ = 45◦ (d) ϕ = 225◦

(e) ϕ = 90◦ (f) ϕ = 270◦

(g) ϕ = 135◦ (h) ϕ = 315◦

Fig. 6.5: moyennes de phase : iso-contours de hU i

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(a) ϕ = 0◦ (b) ϕ = 180◦

(c) ϕ = 45◦ (d) ϕ = 225◦

(e) ϕ = 90◦ (f) ϕ = 270◦

(g) ϕ = 135◦ (h) ϕ = 315◦

(12)

(a) ϕ = 0◦ (b) ϕ = 180◦

(c) ϕ = 45◦ (d) ϕ = 225◦

(e) ϕ = 90◦ (f) ϕ = 270◦

(g) ϕ = 135◦ (h) ϕ = 315◦

Fig. 6.7: moyennes de phase : iso-contours de u2 118

(13)

(a) ϕ = 0◦ (b) ϕ = 180◦

(c) ϕ = 45◦ (d) ϕ = 225◦

(e) ϕ = 90◦ (f) ϕ = 270◦

(g) ϕ = 135◦ (h) ϕ = 315◦

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(a) ϕ = 0◦ (b) ϕ = 180◦

(c) ϕ = 45◦ (d) ϕ = 225◦

(e) ϕ = 90◦ (f) ϕ = 270◦

(g) ϕ = 135◦ (h) ϕ = 315◦

Fig. 6.9: moyennes de phase : iso-contours de huvi

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(a) ϕ = 0◦ (b) ϕ = 180◦

(c) ϕ = 45◦ (d) ϕ = 225◦

(e) ϕ = 90◦ (f) ϕ = 270◦

(g) ϕ = 135◦ (h) ϕ = 315◦

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Les moyennes de phase ont également été évaluées sur le plan 4 (x, z) au niveau de l’axe arrière. La composante hW i reste en dessous de l’erreur de mesure à chaque phase, ce qui indique que l’écoulement est bidimensionnel en moyenne de phase au centre du canal. Ceci n’implique pas que l’écoulement instantané est bidimensionnel. En effet, les larges composantes tridimensionnelles du mouvement ne se produisant certainement pas `

a la même position selon l’envergure d’un cycle à l’autre, ils ne peuvent être captés par la moyenne de phase. La contrainte normale w2 présente par contre une évolution en fonction de l’angle de phase. La figure 6.11 représente cette composante en fonction de l’abscisse x/D à quatre angles de phase. Nous voyons que les profils sont similaires pour des angles de phase opposés, ce qui indique que w2 présente une périodicité à deux fois la fréquence de Strouhal sur l’axe arrière, du fait des symétries de l’écoulement.

Fig. 6.11: contrainte normale w2 sur l’axe arri`ere

L’écoulement en moyenne de phase étant bidimensionnel, le terme de production tur-bulente intervenant dans l’équation pour l’énergie cinétique turbulente peut être calculé sous la forme : hPi = −u2 ∂ hU i ∂ x +v 2 ∂ hV i ∂ y + huvi ∂ hU i ∂ y + ∂ hV i ∂ x

La figure 6.12 représente les iso-contours de hPi aux 8 angles de phase considéré précédemment. La production est la plus forte juste en aval du décollement. Dans le sillage, la production présente ses plus fortes valeurs entre les tourbillons, dans les régions proche des points selle. Ces régions correspondent aux fortes valeurs de huvi, ainsi que de hS12i. Ceci est en accord avec Cantwell and Coles [37] et Hussain and Hakayawa [72]. Nous

constatons également des valeurs importantes de la production à l’arrière des tourbillons lorsque ceux ci commencent à être convectés (phases ϕ=135◦ et 315◦).

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(a) ϕ = 0◦ (b) ϕ = 180◦

(c) ϕ = 45◦ (d) ϕ = 225◦

(e) ϕ = 90◦ (f) ϕ = 270◦

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En suivant Reynolds and Hussain [106], la décomposition du mouvement par la moyenne de phase entraˆıne que la partie dite ’organisée’ et le terme dit ’aléatoire’ sont décorrélés. Nous pouvons écrire :

˜ u_iu0_i= 0

Cette propriété importante amène à écrire le tenseur des contraintes turbulentes dans le sens de la moyenne temporelle comme la somme des contributions de chaque composante du mouvement :

u_iu_j= ˜u_iu˜_j+ u0_iu0_j

Comme l’ont fait Cantwell and Coles [37], il est donc possible d’évaluer la contribution du mouvement quasi-périodique et celle du mouvement organisé au tenseur des contraintes dans le sens stationnaire. Les figures 6.13,6.14 et6.15 représentent ces contributions aux composantes u2_{, v}2 _{et uv respectivement. Les r´}_{esultats obtenus sont qualitativement en}

très bon accord avec ceux présentés par Cantwell and Coles [37]. Rappelons que dans cette ´

etude, la longueur de recirculation lc est de 1.1, et qu’elle vaut 1.28 dans notre cas, et

sur-tout, que le niveau des contraintes turbulentes dans l’étude de Cantwell and Coles [37] est inférieur à celui de notre étude. Cette différence a été attribuée à la différence d’intensité turbulente de l’écoulement incident et au blocage important de notre étude. Cependant les répartitions spatiales, ainsi que les contributions relatives de chaque composante du mouvement sont en bon accord.

Chacune des composantes de la contrainte normale u2_pr´_{esente deux lobes importants}

de chaque coté du cylindre. Les lobes de la contribution du mouvement aléatoire sont légèrement plus en amont (x/D ' 0.9) que ceux de la contribution du mouvement quasi-périodique (x/D ' 1) et le niveau au centre des lobes est légèrement supérieur (0.2 pour u02 et 0.16 pour ˜u2). Sur l’axe arrière y/D = 0, la contribution du mouvement quasi périodique est quasiment nulle et ainsi, quand on s’éloigne du cylindre, cette contribution conserve une topologie à deux lobes. A l’inverse la contribution du mouvement aléatoire ne présente plus qu’un lobe centré sur l’axe arrière à partir de x/D ' 1.5.

(a) ˜u2 _{(b) u}02

Fig. 6.13: moyennes de phase : décomposition de la contrainte normale u2 en une contri-bution organisée et une contribution aléatoire

Comme le notent Cantwell and Coles [37], de grandes similitudes sont observ´ees entre les contributions ˜v2 _{et v}02_{, alors que les deux composantes du mouvement n’ont a priori}

(19)

rien de commun. Les deux composantes présentent un lobe centré sur l’axe arrière. Le maximum de v02 est situé légèrement en amont du maximum de ˜v2_{(x/D ' 1.2 et x/D ' 1.5,}

respectivement) et sa valeur est légèrement inférieure (0.33 et 0.35, respectivement).

(a) ˜v2 _{(b) v}02

Fig. 6.14: moyennes de phase : décomposition de la contrainte normale v2 en une contri-bution organisée et une contribution aléatoire

De grandes similitudes sont également observées entre les composantes ˜uv˜ et u0v0. Toutes deux présentent deux lobes antisymétriques par rapport à l’axe arrière. Les maxima des valeurs absolues de u0v0 sont situés plus en amont que ceux de ˜uv˜ (x/D ' 1.1 et x/D ' 1.4, respectivement) et également semblent être légèrement plus éloignés de l’axe arrière (y/D ' ±0.4 et y/D ' ±0.3, respectivement). Le niveau des maxima en valeur absolue de u0v0 (±0.1) est légèrement supérieur à celui de ˜uv˜(±0.08).

Toutes ces tendances concernant les contributions relatives de chaque composante au tenseur des contraintes turbulentes sont en bon accord avec les r´esultats de Cantwell and Coles [37].

(a) ˜uv˜ (b) u0_v0

Fig. 6.15: moyennes de phase : décomposition de la contrainte normale uv en une contri-bution organisée et une contribution aléatoire

(20)

6.2.2 Estimations stochastiques

Dans cette partie, nous appliquons la technique d’estimation stochastique que nous avons présenté au paragraphe3.3.3. Dans un premier temps, nous validons cette technique en l’appliquant aux acquisitions non conditionnelles effectuées dans le plan 1 (x, y). Ensuite cette technique est appliquée aux acquisitions de PIV stéréoscopique afin notamment d’évaluer la contrainte normalew2.

Validation

Dans un premier temps, il convient de valider cette technique. Nous avons donc com-pararé les différentes quantités en moyenne de phase obtenues par échantillonnage condi-tionnel à celles obtenues par estimation stochastique. Nous rappelons que ces estimations consistent à chercher la meilleure estimation des champs instantanés en fonction de la phase qui leur est attribuée sous la forme d’un développement en série de Fourier et ainsi d’accéder à une estimation de la moyenne de phase (du fait de la troncature de la série de Fourier) à partir de mesures non conditionnelles. La phase est déterminée, comme dans le cas de l’échantillonnage conditionnel, à partir du signal de pression pariétale sur le cy-lindre. Le premier point à vérifier est l’uniformité de la répartition des phases auxquelles sont acquis les champs PIV de manière non conditionnelles. La figure 6.16 montre bien une répartition uniforme des phase sur l’intervalle [0, 2π].

Fig. 6.16: histogramme des phases auxquelles sont acquis les champs PIV

La figure6.17 montre des profils de hU i et de hV i obtenus par estimation stochastique en tronquant la série à H=1, 2, 3, et 4 termes, ainsi que les profils correspondant des moyennes de phase obtenus par échantillonnage conditionnel. Les profil a, b et c sont des profils selon y aux abscisses x/D=0.82, 1.26 et 1.93 respectivement et à la phase ϕ = 180◦. Nous voyons que les résulats obtenus par les estimations sont très proches des moyennes conditionnelles. Sur le profil le plus proche du cylindre (figure6.17a) à x/D=0.82, l’estima-tion réalisée en ne tenant compte que du fondamental (H=1) sort des barres d’erreur de la moyenne conditionnelle autour de y/D ' 0.6. Les figures d, e et f présentent des profils se-lon ϕ en différents points du sillage. Les évolutions de hUi et de hV i en fonction de la phase montrent également un bon accord avec les mesures conditionnelles. Nous constatons que pour H ≥ 3, la différence entre les résultats obtenus par estimation stochastique et par

(21)

´

echantillonnage conditionnel reste inférieure aux incertitudes de mesure estimées. De plus, la prise en compte d’harmoniques supplémentaires ne semble pas changer énormément les résultats. Pour déterminer plus précisément le nombre d’harmoniques significatifs, il fau-drait bien sûr que les moyennes de phase soient calculées avec plus d’échantillons, afin de réduire les incertitudes de mesure. Nous pouvons conclure à ce stade, que les estimations stochastiques approchent correctement la moyenne de phase à partir de H=3 ’dans la li-mite des erreurs de mesure’. Il est certain qu’en réalité, d’autres harmoniques constituent la moyenne de phase. Néanmoins leurs amplitudes restent faibles.

Comme nous pouvions nous y attendre, au moins un harmonique est nécessaire pour reconstruire la moyenne de phase de hU i proche de l’axe arrière y/D = 0 (figure6.17e) car cette composante présente une fréquence double de la fréquence de Strouhal, du fait des symétries de l’écoulement par rapport à cet axe. Le second harmonique est plus important quand on s’éloigne du cylindre et aussi dans les régions de cisaillement. Ces observations sont en bon accord avec l’analyse spectrale réalisée par Persillon and Braza [101] à partir de simulations numériques directes à faible nombre de Reynolds, qui montre une aug-mentation des harmoniques dans ces régions due aux interactions entre les tourbillons primaires et les plus petites échelles.

(a) x/D = 0.82, ϕ = 180◦ (b) x/D = 1.26, ϕ = 180◦ (c) x/D = 1.93, ϕ = 180◦

(d) x/D = 0.82, y/D = −0.61 (e) x/D = 0.82, y/D = −0.01 (f) x/D = 1.81, y/D = −0.01

Fig. 6.17: comparaison des composantes < U > et de < V > obtenues par estimation et par ´echantillonnage conditionnel l´egende : moyennes de phase, estimations :

(22)

Les corrélationsu2, v2 et huvi du tenseur des contraintes turbulentes sont ensuite estimées à partir de ces estimations des moyennes de phase, comme cela est décrit dans le paragraphe 3.3.3. La fluctuation de chaque composante est calculée en soustrayant la moyenne de phase estimée avec H=3 aux composantes instantanées. Ensuite les produits de ces fluctuations sont soumis à la même estimation. Les figures6.18a, b et c représentent l’évolution de ces trois composantes en fonction de la phase ϕ au point x/D = 1.71 et y/D = −0.43. Les incertitudes de mesure sont bien sûr plus importantes, mais nous voyons que, comme pour les vitesses moyennes, H ≥ 3 semble suffisant pour estimer la majeure partie de ces quantités. Afin d’appliquer, par la suite, cette technique aux acquisitions de PIV stéréoscopique, nous avons également appliqué ces estimations sur le plan 4 (x, z) et la figure6.18d montre l’évolution en fonction de ϕ de la contrainte normalew2 en moyenne de phase obtenue par échantillonnage conditionnel et par estimation au point x/D = 129, y/D = 0 et z/D = 0. Cette figure montre un bon accord entre les deux techniques en prenant au moins le premier harmonique en compte, ce qui est normal car le plan mesuré se situe sur l’axe arrière et une fréquence double de celle de Strouhal est observée pour cette composante. (a) u2 ` a x/D = 1.71, y/D = −0.43 (b) v2 ` a x/D = 1.71, y/D = −0.43 (c) huvi à x/D = 1.71, y/D = −0.43 (d)w2_{à x/D = 1.29, y/D = 0,} z/D = 0

Fig. 6.18: comparaison des composantesu2, v2, huvi et w2 obtenues par estimation et par ´echantillonnage conditionnel l´egende : moyennes de phase, estimations :

H= 1, H= 2, H= 3, H= 4

(23)

Application aux acquisitions 3C

Ayant montré que ces estimations donnent des résultats très proches de ceux obtenus par échantillonnage conditionnel, nous avons appliqué cette technique aux acquisitions de PIV stéréoscopique dans le but de quantifier toutes les composantes du tenseur des contraintes turbulentes en moyenne de phase et ainsi se faire une idée de la tridimen-sionnalité de l’écoulement instantané. Les estimations des vitesses moyennes ont donné des résultats proches de ceux présentés dans le paragraphe précédent 6.2.1. Comme nous l’avions déja constaté, la composante hW i selon l’envergure du cylindre reste quasiment nulle au cours de la période. Les contraintes de cisaillement huwi et hvwi sont également trouvées très faibles, ce qui est normal car l’écoulement moyen est bidimensionnel dans cette région centrale du cylindre. La figure6.19représente les estimations de la contrainte normale w2.

La topologie générale de cette composante est similaire à celle de la composantev2. Comme pour les autres composantes normales, les iso-contours de w2 à deux instants de phases opposées sont symétriques par rapport à l’axe arrière. Nous voyons que cette composante présente des valeurs importantes aux centres des tourbillons. Ceci est concor-dant avec l’agitation u2 et v2 que nous avions observé dans ces régions. Les valeurs de w2_{aux centres des tourbillons sont du mêmes ordre de grandeur que u}2_{et donc}

nettement inf´erieures `av2, ce qui confirme l’anisotropie.

w2_{présente également de fortes valeurs entre les tourbillons dans les régions des}

points selle. En suivant le mouvement sur une demi-période, nous voyons qu’à la phase ϕ = 270◦,w2 présente un maximum local de 0.2 au centre du tourbillon qui se détache dans la partie supérieure à x/D ' 1. Quand le tourbillon avance, une région de fortes valeurs de w2 se forme entre ce tourbillon et le suivant qui se forme de l’autre côté du cylindre. A la phase ϕ = 0◦, le maximum dew2 qui vaut 0.2 est situé entre les deux tour-billons dans la partie supérieure, à l’abscisse x/D ' 1.4. La région dew2_{≥ 0.15 connecte}

ainsi les deux tourbillons. Quand le premier tourbillon est convecté, cette région se sépare en deux et les maxima dew2 sont à nouveau situés aux centres des tourbillons (ϕ = 90◦). Cette répartition de l’agitation turbulente selon l’envergure du cylindre confirme les forts effets tridimensionnels que nous avions supposé dans ces régions et sont en accord avec l’organisation tridimensionnelle en fins tourbillons longitudinaux connectant les rouleaux primaires suggéré par Hussain and Hakayawa [72] et confirmé à bas nombre de Reynolds par les simulations numériques directes de Persillon and Braza [101], Persillon [100] et Allain [7].

Toutes les composantes normales du tenseur des contraintes turbulentes étant acces-sibles, il est possible de quantifier l’énergie cinétique turbulente hki = 1₂ u2 + v2 + w2_{sans faire d’hypothèse sur la troisième composante. La figure} _6.20 _repr´_{esente les}

iso-contours de hki. En accord avec les topologies des 3 composantes u2, v2 et w2 observées séparemment, hki présente ses valeurs maximales aux centres des tourbillons. Ces valeurs maximales sont de l’ordre de ∼ 0.35 − 0.4. Une forte agitation est également observée dans les régions des points selles et ces régions connectent les tourbillons succes-sifs. Les régions où le fluide extérieur est entraˆıné par les tourbillons vers l’intérieur du sillage sont marquées par de faibles valeurs de hki.

Cette évolution de la topologie de hki est à comparer avec celle de la production hPi représentée sur la figure6.12. Dans le sillage, celle ci est importante entre les tourbillons au

(24)

niveau des points selles, ce qui est en accord avec les valeurs importantes de hki situées dans ces régions. A l’inverse, la production est quasimment nulle aux centres des tourbillons alors que hki y présente ses valeurs maximales. De plus la production est très importante juste en aval du décollement. A cet endroit, seule la contrainte u2 est importante. Ces observations confirme le schéma selon lequel l’énergie cinétique turbulente est produite dans les régions fortement cisaillées et transportée par les grandes structures vers leur centre.

(25)

(a) ϕ = 0◦ (b) ϕ = 180◦

(c) ϕ = 45◦ (d) ϕ = 225◦

(e) ϕ = 90◦ (f) ϕ = 270◦

(g) ϕ = 135◦ (h) ϕ = 315◦

(26)

(a) ϕ = 0◦ (b) ϕ = 180◦ (c) ϕ = 45◦ (d) ϕ = 225◦ (e) ϕ = 90◦ (f) ϕ = 270◦ (g) ϕ = 135◦ (h) ϕ = 315◦ Fig. 6.20: iso-contours de < k > 132

(27)

De la même manière que pour les composantes du tenseur des contraintes turbu-lentes, la non corrélation entre les composantes organisées et les composantes aléatoires du mouvement permet de décomposer l’énergie cinétique fluctuante en une contribution du mouvement organisé et une contribution du mouvement aléatoire :

k= k(c)+ k(r)

où k(c)=1₂u˜_iu˜_i et k(r)=1₂u0_iu0_i. Ces deux contributions sont représentées sur la figure6.21. Les deux contributions présentent un lobe centré sur l’axe arrière. L’énergie k(c) a son maximum situé à x/D ' 1.3 au niveau du point de rattachement et ce maximum est de ∼ 0.2. L’énergie k(r) a une valeur maximale plus élevée ∼ 0.32 située à x/D ' 1.1, donc plus en amont que le maximum de k(c) et situé dans la région de recirculation.

En suivant Reynolds and Hussain [106], la décomposition en moyenne de phase permet l’écriture d’équations de transport pour chacune des composantes du mouvement et pour leur énergie cinétique (cf. annexe B). On distingue en particulier dans ces équations le terme de production du mouvement moyen vers le mouvement organisé que nous notons Pmc, le terme de production du mouvement moyen vers le mouvement aléatoire que nous notons Pmr, et le terme de production du mouvement organisé vers le mouvement aléatoire que nous notons Pcr. Ces termes s’écrivent :

Pmc = −u˜_iu˜_j ∂Ui ∂ xj Pmr = −u0_iu0_j ∂Ui ∂ xj Pcr = − Du0_iu0_jE ∂ ˜ui ∂ xj

La figure 6.22 représente chacun de ces termes. La production Pmc du mouvement moyen vers le mouvement organisé présente des valeurs importantes juste en aval du décollement et présente dans le sillage un lobe centré sur l’axe arrière à l’abscisse x/D ' 1.35. Cette valeur maximale est de ∼ 0.3. La topologie de ce terme de production est similaire à celle présentée par l’énergie k(c). La production Pmr du mouvement moyen vers le mouvement aléatoire présente également des valeurs importantes juste en aval du décollement et dans le sillage présente, à l’inverse de Pmo, deux lobes symétriques de chaque côté de l’axe arrière. Ces deux lobes où le niveau de production est de ∼ 0.2 forment un point selle sur l’axe arrière x/D = 1.2 où le niveau de production est ∼ 0.1. La topologie de ce terme est donc différente de celle de l’énergie k(r) à laquelle il contribue. Cette différence suggère qu’en moyenne, l’energie des fluctuations aléatoires produite par le mouvement moyen dans les régions cisaillées est transportée vers le centre du sillage, en accord avec les observations faites au paragraphe précédent sur l’evolution de ces quantités avec la phase de l’écoulement. La production Pcr du mouvement organisé vers le mouvement aléatoire est plus faible que les autres termes. Elle présente deux lobes symétriques par rapport à l’axe arrière dans lesquels le niveau est de ∼ 0.08 et qui sont situés plus en aval que les deux lobes de Pmr, environ à x/D ' 1.4.

(28)

(a) k(c) (b) k(r)

Fig. 6.21: décomposition de l’énergie cinétique fluctuante en une contribution du mouve-ment organisé et une contribution du mouvement aléatoire

(a) Pmc (b) Pmr

(c) Pcr

Fig. 6.22: termes de production entre les diff´erentes composantes du mouvement

(29)

Allure spatiale des ’modes de Fourier’

Le champ de vitesse en moyenne de phase ainsi décomposé peut donc s’écrire : hUii (~x, ϕ) = Ui(~x) +

k=+H

∑

k=1

ρ_i(k)(~x)ejkϕ+ ρ_i(−k)(~x)e− jkϕ

Comme le champ est réel, ρ_i(k) et ρ_i(−k) sont conjugués. Ces modes étant décorrélés, (car la base des fonctions trigonométriques est orthogonale), nous pouvons regarder quelle est la répartition spatiale d’énergie de chacun des modes en écrivant

hU_ii (~x, ϕ) −Ui(~x) 2 = k=+H

∑

k=1 ρ_i(k)(~x)ρ_i(−k)(~x) = k=+H

∑

k=1 ρ_i(k)(~x)ρ_i(k)∗(~x)

ρk(~x)ρ_k∗(~x) représente ainsi la contribution énergétique du mode de Fourier k de la moyenne

de phase à la contrainte turbulente normale u2_i. De même, on peut écrire la contribution de chaque mode de Fourier de la moyenne de phase aux contraintes de cisaillement u_iu_j :

hUii (~x, ϕ) −Ui(~x) Uj (~x, ϕ) −Uj(~x) = k=+H

∑

k=1 ρ_i(k)(~x)ρ(−k)_j (~x) = k=+H

∑

k=1 ρ_i(k)(~x)ρ(k)∗_j (~x) En sommant les contributions des trois modes retenus (H = 1 . . . 3) aux contraintes u2_{, v}2_{, et huvi, on retrouve bien la mˆeme allure que les contributions obtenues en}

moyennant les fluctuations p´eriodiques obtenues par ´echantillonnage conditionnel, les ´

energies des deux harmoniques ´etant tr`es faibles.

On peut également mettre le développement en série de Fourier de la moyenne de phase sous forme réelle :

hU_ii (~x, ϕ) = Ui(~x) + k=+H

∑

k=1 1 2 ρ (k) i (~x) + ρ (−k) i (~x) cos(kϕ) + 1 2i ρ (k) i (~x) − ρ (−k) i (~x) sin(kϕ) = U (~x) + k=+H

∑

k=1 A(k)_i (~x) cos(kϕ) + B(k)_i (~x) sin(kϕ)

et ainsi d´efinir des paires de modes spatiaux dont on peut regarder l’allure, surtout dans le but de les comparer avec les modes obtenus avec la POD dans le paragraphe 6.4.

Les modes de la fréquence fondamentale de Strouhal sont représentés sur la figure

6.23. Le premier, noté A(1), présente deux ’tourbillons’ contrarotatifs dont les centres sont situés sur l’axe y/D = 0 aux abscisses x/D = 0.8 et x/D = 1.85 (Nous mettons le terme ’tourbillons’ entre guillements car ces modes ne correspondent pas à un écoulement. De même les lignes de courant représentées ne sont pas les lignes de courant de l’écoulement). Le second mode, noté B(1), présente un ’tourbillon’ dont le centre est situé à x/D = 1.2. Ces deux modes dont les évolutions sont déphasées d’un quart de période, sont logiquement quasiment décalés d’un quart de longueur d’onde du point de vue spatial. La combinaison linéaire de ces deux modes pondérés par les fonctions cosinus et sinus de la phase régit la convection des tourbillons. En effet, si l’on considère les phases ϕ = 90◦ et ϕ = 270◦, le cosinus s’annule et le mode B est affecté du poids 1. A ces phases, nous voyons sur la figure

(30)

(a) fondamental - lignes de courant de ~A(1) (b) fondamental - lignes de courant de ~B(1)

(c) fondamental - iso-contours de A(1)₁ (d) fondamental - iso-contours de B(1)₁

(e) fondamental - iso-contours de A(1)₂ (f) fondamental - iso-contours de B(1)₂

Fig. 6.23: ”modes de Fourier” : fondamental

6.4 que les tourbillons se situent bien proche de l’abscisse 1.2. De même, nous vérifions bien qu’aux phases ϕ = 0◦ et ϕ = 180◦, les tourbillons sont situés proche des abscisses x/D = 0.8 et x/D = 1.85. L’ajout du mouvement moyen décale les tourbillons de part et

(31)

(a) premier harmonique - lignes de courant de ~A(2)

(b) premier harmonique - lignes de courant de ~B(2)

(c) premier harmonique - iso-contours de A(2)₁

(d) premier harmonique - iso-contours de B(2)₁

(e) premier harmonique - iso-contours de A(2)₂

(f) premier harmonique - iso-contours de B(2)₂

(32)

d’autre de l’axe y/D = 0 selon le signe des fonctions cosinus et sinus. Les abscisses des tourbillons ne sont en fait pas rigoureusement celles indiquées uniquement par les modes fluctants du fait de la présence de la région de recirculation. Egalement, la position du ’tourbillon’ du second mode n’est pas au centre des deux tourbillons du premier mode du fait de l’accélération des tourbillons pendant leur phase de formation. Nous verrons au paragraphe6.4, que ces deux ’modes de Fourier’ s’indentifient bien aux deux premiers modes POD.

L’allure des modes de fréquence double est bien plus bruitée du fait des faibles valeurs de leurs composantes par rapport aux erreurs de mesure. Nous constatons cependant la présence de ’tourbillons’ plus petits de chaque coté de l’axe arrière. Egalement les deux modes sont décalés d’un quart de longueur d’onde selon la direction de l’écoulement.

6.3 Dispersion des tourbillons d’un cycle `

a l’autre

La PIV permettant de visualiser l’écoulement instantané, nous avons ainsi la possibilité de comparer les champs de vitesse instantanée aux champs moyennés en phase. La figure

6.25a montre deux champs de vecteurs instantanés appartenant à la classe ϕ = 180◦. Même si il n’est pas facile de discerner de fa¸con précise les tourbillons sur chaque image à cause des plus petites échelles, nous voyons que le tourbillon qui se détache du cylindre ne semble pas exactement à la même position sur les deux champs. Cette dispersion apparente a été observée sur une bonne partie des champs instantanée. Cette irrégularité du lâcher tourbillonnaire est mentionnée dans la plupart des études utilisant la moyenne de phase. Cantwell and Coles [37] parle d’une dispersion des tourbillons. Hussain and Hakayawa [72] montre l’allure de l’évolution de la vorticité lissée, mesurée plus en aval dans le sillage (x/D = 10 et x/D = 40) et met en évidence un important ’flottement’ des tourbillons et des irrégularités dans la périodicité de passage de ces tourbillons à une abscisse fixée. Ce phénomène connu sous le nom de ’phase jitter’ réduit ainsi la capacité de la moyenne de phase à isoler complètement les tourbillons des autres échelles de l’écoulement. Nous avons représenté sur la figure 6.25b les fluctuations de vitesse correspondant aux champs instantanés de la figure 6.25a en leur retranchant la moyenne de phase. Nous voyons que les fluctuations présentent des régions de taille du même ordre de grandeur que celle des tourbillons et dans lesquelles la norme des vecteurs est assez conséquente par rapport aux plus petites échelles. Ces régions correspondent au fait que le tourbillon instantané n’est pas exactement à la même position que le tourbillon moyen à cette phase. De ce fait, les contraintes turbulentes présentées dans le paragraphe précédent sont issues à la fois des agitations de petites échelles, mais également de cette dispersion des tourbillons d’un cycle à l’autre.

Afin de préciser ces écarts au cas idéal où le mouvement organisé serait rigoureusement périodique, nous avons calculé les moyennes de phase à partir des acquisitions de PIV haute cadence. La figure 6.26 compare la composante hV i à la phase ϕ = 180◦. Nous notons que les iso-contours sur le petit champ sont beaucoup plus lisses car les moyennes de phases dans ce cas sont calculées avec environ 830 périodes alors que les moyennes sur les grands champs sont effectuées avec environ 170 champs instantanés. Malgré quelques différences dues à ce nombre de réalisations, un relativement bon accord entre les deux résultats est observé. Sur la figure 6.27, nous avons représenté la vorticité à l’abscisse x/D = 1 en fonction du temps et de l’ordonnée y/D. La figure du haut représente la

(33)

(a) champs instantann´es

(b) fluctuations

Fig. 6.25: allure spatiale de la fluctuation instantanée par rapport à la moyenne de phase. (Les deux champs sont à la phase ϕ = 180◦)

vorticité calculée à partir de U et V filtré avec un filtre passe bas (en temps). La figure du milieu représente la vorticité calculée à partir de U et V filtré avec un filtre passe bande dont la bande passante est centrée autour du pic de Strouhal. Les filtres utilisés sont non causaux de manière à ne pas introduire de déphasage. La figure du bas représente la vorticité du champ moyenné en phase et les traits verticaux en pointillés marquent les instants des angles de phases ϕ = 180◦ du signal pilote. Comme le souligne Davies [49], les filtres tels qu’ils ont été utilisé ne suffisent pas à isoler les structures. En effet, du point de vue spectral, une telle opération isole les fréquences désirées mais ne sépare pas le pic correspondant au mouvement organisé de la partie continue du spectre contenue dans la bande passante du filtre qui correspond à une partie du mouvement aléatoire. Ceci justifie d’ailleurs l’emploi de la moyenne de phase. Egalement, les filtres utilisés étant calés sur la fréquence dominante, les harmoniques sont négligés. Néanmoins, la partie continue, ainsi que les harmoniques étant de faibles amplitudes par rapport au pic, nous pensons que les vorticités ainsi calculées donnent une bonne idée de l’évolution des tourbillons. Le passage d’un tourbillon à l’abscisse x/D = 1 est donc marqué sur la figure6.27par les iso-contours

(34)

Fig. 6.26: comparaison des moyennes de phase obtenues `a partir des mesures basse ca-dence et des mesures haute caca-dence. Iso-contours de la composante hV i `a la phase ϕ = 180◦

de vorticité représentés.

Nous voyons que les tourbillons ne sont pas à la même ordonnée à chaque cycle. Egalement, leur taille diffère d’un cycle à l’autre. Enfin nous voyons qu’à certains instants, les tourbillons passent à l’abscisse x/D = 1 avec du retard par rapport à la moyenne de phase (entre t ' 1.06 et t ' 1.2 sur la figure. On observe donc bien cette irrégularité dont parlent les différents auteurs précités. Il est à noter que ces différentes études parlent d’une dispersion qui s’accroˆıt vers l’aval. Dans notre étude, les champs de vitesse considérés sont très proche du cylindre et nous aurions pu nous attendre à moins de dispersion. Cette dispersion très proche du cylindre est certainement à mettre sur le compte de l’entrée de l’écoulement dans le régime critique et également des interactions avec les parois qui doivent entraˆıner une forte modulation du lâcher tourbillonnaire.

La figure 6.28 représente du point de vue temporel la décomposition effectuée par la moyenne de phase. Les signaux temporels de la vitesse V sont représentés sur le même intervalle de temps que la figure6.27et à la même abscisse x/D = 1, aux points y/D = 0.5, y/D = 0.3 et y/D = 0.01 (figure a, b et c respectivement). Sur chacune de ces figures, les signaux brut V sont superposés à la moyenne de phase hV i et en dessous, la fluctuation v0 obtenue par soustraction est représentée. A la droite de chaque figure, les spectres de puissance des ces trois quantités, calculés à partir de l’ensemble des acquisitions tem-porelles ainsi décomposées, sont représentés. La figure 6.28d représente le signal pilote correspondant, ainsi que la phase ϕ. Nous voyons, en accord avec la figure précédente que la composante quasi-périodique du signal brut est fortement modulée en amplitude et ´

egalement, que le signal est déphasé par rapport à la moyenne de phase entre t ' 1.06 et t' 1.2. En conséquence, les fluctuations présentent également à certains instants une com-posante quasi-périodique. Ceci est confirmé sur les spectres de puissance. En effet, nous voyons que les spectres des fluctuations v0présentent un pic assez large et dont l’amplitude est d’environ 10% du pic du spectre du signal brut. (Ce défaut est néanmoins amplifié par le fait que, pour pouvoir calculer les spectres de la fluctuation v0, nous avons retranché la moyenne de phase à tout le signal sans considérer les passages irréguliers du signal pilote qui ont été rejetés pour le calcul de la moyenne de phase. Ainsi, à ces instants, la

(35)

Fig. 6.27: comparaison de la moyennes de phase et du signal filtr´e

tuation calculée présente également une composante périodique qui n’a pas lieu d’être.) L’opérateur de moyenne de phase isole donc une bonne partie des fluctuations quasi p´ e-riodiques mais laisse dans la fluctuation considérée aléatoire une partie correspondant au mouvement organisé. Il apparaˆıt donc que la prise en compte de la modulation du signal pilote en utilisant la transformation de Hilbert ne suffit pas pour isoler complètement le mouvement organisé.

La figure 6.29 qui représente le champs de vitesse instantanée aux instants t = 0.724, t= 0.851 et t = 1.072 correspondant aux signaux temporels de la figure 6.28 et qui cor-respond à la phase ϕ = 180◦ du signal pilote, confirme cette dispersion. En conséquence, les tourbillons obtenus par le moyennage en phase sont lissés du fait de cette dispersion. Egalement la position de ces tourbillons à chaque phase peut être interprétée comme la position moyenne des tourbillons.

Les effets de cette dispersion et ainsi la présence du petit pic dans le spectre des fluctuations dites aléatoires peuvent également être observées sur le plan physique en comparant les contributions à la contrainte normale v2 _{obtenues `}_{a celles estim´}_{ees `}_{a partir}

des spectres au chapitre précédent. La figure 6.30 représente reprend ces contributions estimées à partir des spectres et superpose les contributions déduites de la moyenne de phase. Nous voyons que la contrainte ˜v2 est plus faible que la contribution v(c)_v(c) _estim´_ee

`

(36)

(a) x/D = 1, y/D = 0.5

(b) x/D = 1, y/D = 0.3

(c) x/D = 1, y/D = 0.01

(d) signal pilote et phase

Fig. 6.28: signal brut, moyenne de phase et fluctuations de v en diff´erents points et signal

(37)

(a) t = 0.724 (b) t = 0.851 (c) t = 1.072

Fig. 6.29: champs de vecteurs instantan´es et critere Q (iso-contour 0.5) `a la phase ϕ = π `

a diff´erents instants

Fig. 6.30: comparaison des contributions à v2 estimées à partir des moyennes de phase et de celles estimées à partir des spectres

(38)

6.4 D´

ecomposition en modes propres orthogonaux

-POD

Comme nous l’avons vu au chapitre 2.2.3, et au paragraphe3.3.4, la décomposition en modes propres othogonaux (POD) permet d’extraire les composantes les plus énergétiques de l’écoulement à partir d’une base de données. Lumley [86] suggère son emploi pour ex-traire les structures cohérentes d’un écoulement turbulent de manière non conditionnelle. Afin de pallier ces défauts de la moyenne de phase et dans le but d’isoler les tourbillons de von Kármán du reste de l’écoulement, nous avons utilisé cette approche, telle que nous l’avons présentée au paragraphe 3.3.4. Des modes déterministes sont extraits de la base de données et la projection des réalisations sur cette base constituée par les modes per-met une décomposition de l’écoulement. Rappelons qu’un des grand intérêts de la POD réside dans le fait que les différentes composantes de l’écoulement ainsi décomposé sont décorrélées. Ainsi, le tenseur des corrélations doubles peut être écrit comme la somme des contributions de chaque mode, sans introduire de corrélations croisées.

La décomposition peut être appliquée soit au champ de vitesse instantanée, soit au champ de vitesse fluctuante. Dans le but d’obtenir une décomposition du tenseur des contraintes turbulentes, nous avons appliqué la décomposition au champ fluctuant. N´ ean-moins, afin de comparer les deux approches, nous avons comparé la décomposition du champ instantané à la décomposition du champ fluctuant.

Dans un premier temps nous avons donc appliqué la décompostion séparable aux champs de vitesse sur le plan 1 (x, y) en considérant les composantes de la vitesse ins-tantanée (sans retrancher la moyenne). La méthode des ’snapshots’ a été utilisée pour le calcul et l’opérateur de moyenne considéré est la moyenne statistique assimilée à la moyenne temporelle. La figure 6.31 montre le premier mode issu de cette décomposition. Comme l’on montré beaucoup d’études (Faghani [53], entre autre) pour des écoulements différents, ce premier mode est très proche de la moyenne de l’écoulement.

(a) lignes de courant du champ moyen (b) 1er mode POD

Fig. 6.31: premier mode de la POD appliquée aux champs de vitesse instantanée L’énergie associée à ce mode représente 45% de l’énergie totale sur le domaine. La

(39)

majorité des études utilisant la POD portent sur des écoulement à plus bas nombre de Reynolds. Dans ce cas le pourcentage d’énergie contenu par le premier mode est gén´ e-ralement bien plus élevé. Faghani [53] reporte une fraction d’énergie de 94% de l’énergie totale contenu dans le premier mode pour une décomposition appliquée à un jet plan `

a Re = 5600. Egalement, Barthet [11] reporte une fraction d’énergie de 90% contenue dans le premier mode pour l’écoulement autour d’un profil d’aile à Re=800. Dans notre cas, il n’est pas vraiment surprenant que le premier mode contienne moins d’énergie en pourcentage du fait du caractère très turbulent de l’écoulement.

Afin de préciser la contribution énergétique de ce mode, nous avons décomposé l’énergie totale du mouvement sur le domaine en la contribution du mouvement moyen et celle du mouvement fluctuant en écrivant :

E_totale= Emoy+ Ef luc= Z Ω U2+V2dxdy + Z Ω u2_{+ v}2_dxdy

L’énergie du mouvement moyen représente 43% de l’énergie totale (et donc Ef luc/Etotale=57%).

Le pourcentage d’énergie contenu dans le premier mode (45%) est donc légerement plus élevé que celui du champ moyen. Ce mode participe donc également à l’énergie du champ fluctuant.

Fig. 6.32: comparaison des décompositions du champ instantané et du champ fluctuant Nous avons ensuite appliqué la décomposition au champ fluctuant. La figure 6.32

représente les fractions d’énergie totale associées aux modes de chaque décomposition qui sont calculées à partir des valeurs propres associées à chaque mode. (Sur cette figure, nous avons décalé de 1 le numéro des modes obtenus dans la décomposition du champ fluctuant afin de comparer les deux décompositions). Les deux premiers modes de la décomposition du champ flcutuant sont identiques aux modes 2 et 3 de la décomposition du champ instantané. Les pourcentages de l’énergie totale qui leur correspond sont également identiques et de plus, les coefficients affectés à chaque champ instantané par projection du champ sur ces modes sont identiques. Par contre, le mode 3 de la décomposition du champ fluctuant, bien que très ressemblant au mode 4 de la décomposition du champ instantané, contient une fraction de l’énergie totale légerement supérieure (3.1% et 2.6% respectivement). Le mode 4, qui contient 1.5% de l’énergie totale, n’apparaˆıt pas dans la décomposition du champ instantané. Ensuite, le mode 5 de la décomposition du champ

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fluctuant est identique au mode 5 de la décomposition du champ instantané et les modes suivant sont comparables. Ainsi, il apparaˆıt que l’énergie fluctuante du premier mode de la décomposition du champ instantané est reportée dans les modes 3 et 4 de la décomposition du champ fluctuant. Après quelques tests effectués sur des résultats de DNS à bas nombre de Reynolds, il apparaˆıt a priori que cet effet est lié à la troncature du domaine spatial. Cette différence ne compte cependant que pour 2% de l’énergie totale.

Dans la suite, nous avons effectué la décomposition au champ fluctuant par rapport à cette moyenne, notamment afin de permettre une décomposition du tenseur des corr´ ela-tions centrées.

Dans un premier temps, nous regardons l’allure des modes, c’est à dire la base sur laquelle nous allons projeter les réalisations de l’écoulement. La figure6.33 montre les six premiers modes obtenus. Les lignes de courant représentées permettent d’observer la to-pologie des modes mais ne sont pas à assimiler avec les lignes de courant d’un écoulement. Les deux premiers modes présentent de grosses similitudes avec les ’modes de Fourier’ que nous avons construits au paragraphe 6.2.2. En effet, ces deux modes présentent des ’tourbillons’ centrés sur l’axe arrière y/D = 0 dont les positions sont décalées d’un quart de longueur d’onde selon x. Il est à noter que ces modes sont issus du tenseur des corr´ ela-tions spatiales alors que les ’modes de Fourier’ provenaient de l’information temporelle en chaque point. Cette forte ressemblance illustre la cohérence spatio-temporelle de l’´ ecoule-ment. Ces deux modes peuvent donc être interprétés comme régissant la convection des tourbillons et sont donc à associer. L’interprétation des autres modes est beaucoup moins aisée. Nous pouvons cependant noter que les modes 3 et 4, symétriques par rapport à l’axe arrière, présentent de larges ’tourbillons’. Ces deux modes peuvent donc , en première ob-servation, être associés à des grandes échelles de l’écoulement, ce qui est en accord avec la comparaison de la décomposition du champ fluctuant à la décomposition du champ instantanée . A partir du mode 6, les modes ont des allures beaucoup moins régulières et les structures sont de plus petite échelle.

Les valeurs propres associées à chaque modes représentent l’énergie dans le domaine contenue par chaque mode. La figure 6.34 représente le pourcentage d’énergie contenue par chaque mode, c’est-à-dire le rapport de chaque valeur propre sur la trace du tenseur R des corrélations en deux points qui est l’énergie du champ fluctuant sur le domaine considéré. Nous voyons que les deux premiers modes ont des énergies du même ordre de grandeur, ce qui est normal car ils sont à associer afin de régir la convection. Ces deux modes contiennent 60% de l’énergie fluctuante. Les modes 3 et 4 contiennent 4.5% et 3% de l’énergie fluctuante respectivement. A partir du mode 10, l’énergie de chaque mode est inférieure à 1%. La majorité des études POD sont effectuées à des nombres de Reynolds bien inférieurs et montrent qu’une grande partie de l’énergie totale est contenue dans seulement quelques modes. Dans notre cas, la convergence énergétique est plus lente du fait du caractère très turbulent de l’écoulement. Sur la figure 6.34b, qui représente également le pourcentage d’énergie de chaque mode avec une échelle log-log, nous observons qu’à partir du mode 10, le pourcentage d’énergie décroˆıt significativement quand n augmente.

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(a) mode 1 (b) mode 2

(c) mode 3 (d) mode 4

(e) mode 5 (f) mode 6

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Fig. 6.34: pourcentage d’´energie sur le domaine de chaque mode

Chaque réalisation peut s’écrire comme une combinaison linéaire de ces modes qui est obtenue en projetant cette réalisation sur les modes.

U(X ) = U(X ) +

_∑

k a_kφ(k)(X ) avec : a_k= Z Ω ui(X )φ_i(k) ∗ (X )dX

La figure 6.35 montre un exemple de reconstruction d’un champ instantané avec 2, 6, 10 et 14 modes. Dans l’optique d’une décomposition en une partie cohérente et une partie incohérente, nous aimerions pouvoir dire combien de modes sont nécessaires pour reconstruire l’allée tourbillonnaire. Il est en fait difficile de fixer un critère pour savoir `

a quel niveau tronquer la série. Nous voyons sur la figure 6.35 que 10 modes semblent suffisants pour reconstruire l’essentiel de l’allée. De plus, la décroissance importante des valeurs propres à partir de n=10 nous conforte dans ce choix. Cependant, ces consid´ era-tions sont principalement visuelles et il est difficile de trancher sur le nombre de modes approprié. Dans la suite, nous considérons qu’environ 10 modes sont nécessaires pour res-tituer une bonne observation de l’allée tourbillonnaire. Ce choix, encore trop arbitraire, peut cependant se justifier par le fait que les reconstructions observées montrent que la position des tourbillon ne bouge quasiment plus en prenant plus de dix modes et que les modes avoisinants contiennent un faible pourcentage d’énergie.

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(a) champ instantan´e

(b) champ reconstruit avec 2 modes

(c) champ reconstruit avec 6 modes

(d) champ reconstruit avec 10 modes

(e) champ reconstruit avec 14 modes

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Comme nous l’avons vu, la décomposition POD, qui est une décomposition diagonale du tenseur des corrélations, permet d’écrire le tenseur des contraintes turbulentes comme la somme des contributions de chaque mode :

R_{i j}(X , X0) =

_∑

k λkφ (k) i (X )φ (k) j ∗ (X0) (6.1)

s’´ecrit, pour les corr´elations en un point : u_iu_j(x) =

_∑

k λkφ (k) i (x)φ (k) j ∗ (x) (6.2)

Comme le soulignent Adrian et al. [6], cette décomposition permet ainsi de voir la contribution des différentes échelles de l’écoulement aux contraintes turbulentes moyennes. De cette fa¸con, en considérant un nombre N de modes, il est possible de séparer le tenseur des contraintes turbulentes en deux contributions additives, l’une correspondant aux N premiers modes et l’autre correspondant aux modes restants. De cette manière, Kostas et al. [78] identifient la topologie des contributions des différentes échelles aux contraintes turbulentes dans le cas d’un écoulement sur une marche descendante. Dans notre cas, même si cette interprétation reste subjective, du fait du choix de N, nous pouvons attribuer la première contribution à l’allée tourbillonnaire, en raison des observations précédentes. En reprenant les notations indiquées au début de ce chapitre, nous pouvons ainsi statuer que la composante dite organisée u(c)_i est la projection du champ fluctuant sur les N premiers modes et que la composante u(r)_i est la projection du champ fluctuant sur les modes restant. La décomposition s’écrit alors :

uiuj(x) = u(c)_i u(c)_j + u(r)_i u(r)_j = k=N

∑

k=1 λ_kφ_i(k)(x)φ(k)_j ∗ (x) + k=∞

∑

k=N+1 λ_kφ_i(k)(x)φ(k)_j ∗ (x)

Ainsi cette séparation des contraintes turbulentes peut être comparée à la d´ ecompo-sition fournie par la moyenne de phase u_iu_j= ˜u_iu˜_j+ u0_iu0_j, telle que nous l’avons présenté au paragraphe 6.2.

Les figures 6.36, 6.37 et 6.38 repr´esentent les d´ecompositions des composantes u2_{, v}2

et uv respectivement pour N=2, 6, 10 et 14 modes.

Pour N = 2, il apparaˆıt que les contributions correspondant aux 2 premiers modes pr´ e-sentent des topologies similaires `a celles des tourbillons issus de la moyenne de phase. La composante u(c)2 _pr´_{esente deux lobes sym´}_{etriques par rapport `}_{a l’axe arri`}_{ere, la}

compo-sante v(c)2_pr´_{esente un lobe centr´}_{e sur l’axe arri`}_{ere et la composante u}(c)_v(c) _pr´_{esente deux}

lobes anti-symétriques. Une différence notable réside cependant dans les valeurs de ces composantes. En effet, en considérant la composante u2_{, les maxima de u}(c)2 _{sont de 0.22,}

alors que les maxima de ˜u_iu˜_j sont de 0.16 (figure 6.13). Cette augmentation s’explique par le fait que dans cette décompostion par la POD, la dispersion des tourbillons d’un cycle à l’autre contribue à u(c)_i u(c)_j . Quand on augmente N, la contribution des N premiers modes est bien sûr plus de plus en plus importante. Les contributions dites incohérentes des contraintes, contrairement au cas de la décomposition par la moyenne de phase, ne présentent pas des allures similaires aux contributions dites cohérentes. Les contributions