Chapitre 6 : ´ Equations diff´ erentielles

PCSI5 Lyc´ee Saint Louis

Programme de colle du 2 au 6 novembre

Semaine 5

Cours.

Chapitre 4 : Nombres complexes et trigonom´ etrie

I. Ensemble des nombres complexes.

(1) D´efinitions.

(2) Conjugu´e d’un nombre complexe.

(3) Module d’un nombre complexe.

III. Nombres complexes de module un et trigonom´etrie.

(1) Nombres complexes de module un (Formule d’Euler et de Moivre).

(2) Applications `a la trigonom´etrie (lin´earisation, calcul de sommes, factorisation, polynˆomes de Tchebichev).

IV. Forme trigonom´etrique, argument.

V. ´Equations alg´ebriques dansC.

(1) Racines carr´ees d’un nombre complexe.

(2) ´Equation du second degr´e `a coefficients complexes.

V. Racinesn-i`emes d’un nombre complexe.

(1) Racinesn-i`emes de l’unit´e.

(2) Racinesn-i`emes d’un nombre complexe.

VI. Exponentielle complexe.

VII. Nombres complexes et g´eom´etrie plane.

(1) Alignement et orthogonalit´e.

(2) Transformations remarquables du plan.

VIII. Fonctions `a valeurs complexes.

Chapitre 5 : Primitives

I. Calculs de primitives.

(1) D´efinition des primitives d’une fonction continue.

(2) Existence des primitives d’une fonction continue.

(3) Primitives usuelles.

II. Int´egration par parties et changement de variables.

(1) Int´egration par parties.

(2) Changement de variables.

III. Primitives de fractions rationnelles.

(1) D´ecomposition en ´el´ements simples.

(2) Primitives dex7→ λx+µ ax²+bx+c.

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PCSI5 Lyc´ee Saint Louis

Chapitre 6 : ´ Equations diff´ erentielles

I. ´Equations diff´erentielles du premier ordre.

(1) G´en´eralit´es (d´efinitions, exemples d’´equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre en physique).

(2) R´esolution de l’´equation homog`ene.

(3) R´esolution de l’´equation avec second membre.

(4) R´esolution avec condition initiale.

Questions de cours.

ˆ Racinesn-i`emes de l’unit´e ;

ˆ Formules d’int´egration par parties et de changement de variables ;

ˆ M´ethode pour le calcul de primitives de fonctions de la formex7→ λx+µ ax²+bx+c ;

ˆ Forme g´en´erale des solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire (somme d’une solution parti- culi`ere et d’une solution de l’´equation homog`ene associ´ee) ;

ˆ Principe de superposition.

Pr´ evisions.

Fin des ´equations diff´erentielles : probl`emes de raccordements de solutions, ´equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 2 `a coefficients constants.

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