Formulations faibles et distributions

Analyse, s´eance 5 : cours ANALYSE FONCTIONNELLE

Objectifs

Nous avons introduit la notion de formulation faible d’un probl`eme qui est un cas particulier d’une id´ee tr`es g´en´erale qui consiste `a n´egliger les valeurs ponctuelles d’une fonction pour ne consid´erer que ses valeurs moyennes ou des grandeurs globales (travail, masse, ´energie, entropie...) qu’elle d´efinit. Nous allons ´etudier la notion de distribution qui en est un autre cas particulier largement utilis´e en analyse math´ematique.

Formulations faibles et distributions

Notion de distributions

Soit Ω un ouvert de Rⁿ. Dans les formulations faibles des ´equations diff´erentielles les fonc- tions n’interviennent que par les int´egrales R

Ω f(x)φ(x)dΩ o`u φ(x) est dans un ensemble de fonctions “tests”. Ces int´egrales ont souvent un sens physique, par exemple si f(x) est une densit´e de forces, et si φ(x) est un champ de d´eplacements, l’int´egrale repr´esente un travail, plus pr´ecis´ement on peut consid´erer qu’une densit´e de force f(x) d´efinit une forme lin´eaireR

Ω f(x)φ(x)dΩ sur l’espace des d´eplacements, forme lin´eaire qui est un travail. Ces int´egrales repr´esentent des grandeurs physiques globales (des ´energies par exemple), mieux d´efinies que les valeurs ponctuelles des fonctions. La th´eorie des distributions red´efinit les notions de densit´e de forces ou de charges par les formes lin´eaires qui leur sont associ´ees, ce qui permet de d´efinir, non seulement les densit´es associ´ees `a des fonctions, mais encore des densit´es associ´ees `a des charges ponctuelles ou lin´e¨ıques comme il est d’usage de le faire en physique.

On associe donc `a une fonction int´egrablef(x)∈ L¹(Ω) la forme lin´eaire

< T_f, φ >=

Z

Ω

f(x)φ(x)dΩ

Il reste `a pr´eciser l’espace des fonctions tests qui peut varier selon les applications. Pour d´efinir les formulations faibles de probl`emes dff´erentiels du second ordre nous avons utilis´e les fonctions C¹ ou C² nulles sur le bord. Pour ´etudier des probl`emes diff´erentiels quelconques on consid`ere des fonctions C^∞, pour traiter des d´eriv´ees d’ordre quelconque, et `a support compactpour que toutes les int´egrales soient d´efinies. Pour ´etudier des fonctions p´eriodiques on consid`ere des fonctions tests C^∞ et p´eriodiques.

Distributions sur R

D´efinitions ´el´ementaires

On d´efinit de fa¸con analogue les distributions sur un ouvert deRⁿ.

D´efinition 1 SoitΩun intervalle ouvert deR. Nous utiliserons lesespaces des fonctions tests suivants

D(Ω) ={φ∈C^∞(Ω)/∃a, b∈Ω supp(φ)⊂[a, b]}

D(T) ={φ∈C^∞(R)/ φ(x)est p´eriodique de p´eriode 2π}

On munit l’espaceD(Ω) de la notion de convergence suivante

limn φn=φ⇔ ∃a, b∈Ω/ supp(φn)⊂[a, b] et∀k φ^(k)_n →φ^(k)

o`u la convergence est prise au sens de la convergence uniforme et φ^(k)n est la d´eriv´ee d’ordre k deφn.

On d´efinit de mˆeme la convergence dansD(T)

φ_n→φ⇔ ∀k φ^(k)_n →φ^(k)

D´efinition 2 L’espace des distributions D⁰(Ω) (resp. l’espace des distributions p´eriodiques D⁰(T)) est l’ensemble des formes lin´eaires continues sur D(Ω)(resp. D(T)) .

Dans ce qui suit, pour simplifier les notations, nous nous limitons aux distributions sur R, mais l’extension `a un intervalle quelconque est imm´ediate..

• Exemples

Une fonction continue f(x)∈C(R) d´efinit de mani`ere unique¹ une distribution

< Tf, φ >=

Z _+∞

−∞

f(x)φ(x)dx

Une fonction localement int´egrable (au sens de Lebesgue) d´efinit de mˆeme une distri- bution mais deux fonctions qui sont ´egales presque partout d´efinissent la mˆeme distri- bution.

On appelledistribution de Diracau point ala distribution

< δa, φ >=φ(a)

Si φ repr´esente un d´eplacement,< δa, φ >= φ(a) est le travail d’une force ponctuelle d’intensit´e 1 plac´ee au point a ; nous verrons ci-dessous qu’une distribution de Dirac donne une r´epr´esentation math´ematique coh´erente de la notion de force ponctuelle, charge ponctuelle....

Nous ne d´ecrirons pas les distributions g´en´erales, celles que nous consid´ererons par la suite seront ou bien des fonctions ou bien des distributions de Dirac. Les distributions sont des objets plus g´en´eraux que les fonctions auxquels nous allons ´etendre quelques notions usuelles pour les fonctions.

1Car∀φ∈ D(R), R+∞

−∞ f(x)φ(x)dx= 0⇒f= 0

• Valeur en un point

Soitψ_nune suite²de fonctionsC^∞, positives, d’int´egrale 1, nulles en dehors de l’intervalle [a−_n¹, a+_n¹].

Pour les lecteurs que la perte des valeurs (des fonctions) angoissent, notons que si f(x)∈C(R) on a

f(a) = lim

n

Z +∞

−∞

f(x)ψn(x)dx

On peut donc d´efinir par extension la valeur en ad’une distribution par la formule T(a) = lim

n < T, ψn>

S’il existe une fonction associ´ee `a la distribution, on retrouve ses valeurs par cette formule. On peut v´erifier que cette expression donne la valeur 0 `a la distribution de Dirac en tous points diff´erents dea.

Le probl`eme est que :

1) cette limite n’existe pas toujours.

2) ces valeurs ne caract´erisent pas toujours la distribution comme on le voit pour la distribution de Dirac, car une fonction nulle sauf en un point d´efinit des int´egrales nulles.

• D´eriv´ee d’une distribution

On v´erifie par int´egration par partie que sif ∈C¹(R)

< Tf⁰, φ >=−< Tf, φ⁰ >

On d´efinit donc par extension la d´eriv´ee d’une distributionT par la formule

< T⁰, φ >=−< T, φ⁰(x)>

Que sont les distributions d´eriv´ees de fonctions non d´erivables ? Il y a des cas com- pliqu´es, mais

− Sif(x) est continue etC¹ par morceaux on aura (T_f)⁰ =T_f⁰ o`u nous notonsf<sup>0</sup> une fonction ´egale `a la d´eriv´ee quand elle est d´efinie et quelconque ailleur, l’ind´etermination n’ayant pas d’effet sur la distribution associ´ee (le v´erifier par int´egration par parties).

− SiH est la fonction d’Heaviside (H(x) = 0 six <0 etH(x) = 1 six≥0) on v´erifie imm´ediatement

(TH)⁰ =δ₀

− On v´erifie plus g´en´eralement que si f(x) est une fonctionC¹ sauf aux points xi o`u la fonction admet une limite `a gauche et `a droite, on a

(T_f)⁰=T_f⁰+X

i

(f(x⁺_i )−f(x⁻_i ))δxi

(le v´erifier par int´egration par parties).

2Pour construire une telle suite, on d´efinit d’abord Ψ(x) par Ψ(x) = exp 1/(1−x²)² sur [−1,1] et 0 ailleurs (on montre que Ψ(x) ∈ C^+∞([R])), puis φ(x) = Ψ(x)/R

R Ψ(x)dx qui est d’int´egrale ´egale `a 1 et φⁿ(x) =nφ(n(x−a)).

• Convergence des distributions

D´efinition 3 Soit Tn, T ∈ D⁰(R), on dit que

T_n→T ⇔ ∀φ∈ D(R) < T_n, φ >→< T, φ >

Une cons´equence imm´ediate de cette d´efinition est que la d´eriv´ee est une op´eration continue :

Proposition 1 La d´erivation des distributions est continue par rapport `a la conver- gence au sens des distributions

SiTn→T alors (Tn)⁰→T⁰

La distribution de Dirac est la limite (au sens des distributions) d’une densit´e de charge de r´esultante 1 qui se concentre au point a.

Proposition 2 Si ψn est une suite de fonctions positives, d’int´egrale 1, nulles en de- hors de l’intervalle [a− ¹_n, a+_n¹] on a

∀φ∈ D(R) lim

n

Z _+∞

−∞

ψn(x)φ(x)dx=φ(a) c’est `a dire que Tψn →δa

La convergence, prise au sens des distributions, d’une suite de fonctions est une con- vergence “en moyenne” .

• Il est possible de d´efinir sur les distributions, par extension, diverses notions usuelles pour une fonction comme “ˆetre positive” ( ∀φ ≥0 ∈ D(R) < T, φ >≥0), ou bien la translat´ee θ_h(T) d’une distribution (∀φ≥ 0 ∈ D(R) < θ_h(T), φ >=< T, θ_−h(φ) >)...

Le principe g´en´eral est de traduire une notion usuelle pour les fonctions en termes de propri´et´es de la forme lin´eaire R_+∞

−∞ f(x)φ(x)dxpuis d’´etendre la d´efinition.

Noter que nous n’avons pas d´efini le produit de deux distributions : on montre qu’il n’y a pas de d´efinition coh´erente d’une multiplication continue qui prolongerait la notion de produit de deux fonctions.

Applications ´el´ementaires

• Equations diff´´ erentielles avec des charges concentr´ees

La position d’´equilibreu(x) d’une corde tendue de longueurLsous l’effet d’une densit´e de forcef(x) est solution du probl`eme aux limites

½ −u⁰⁰(x) =f(x)

u(0) =u(L) = 0 (1)

Si on applique une force concentr´ee F au point d’abscisse a, la position d’´equilibre u_a(x) a la forme d’une corde pinc´ee. Par passage `a la limite en consid´erant une densit´e f(x) de r´esultante F qui tend vers une charge concentr´eeF on voit queuadoit v´erifier u(a) =u(L) = 0 et

−(Tua)⁰⁰ =F δa

On v´erifie facilement qu’une solution de l’´equation (en fait la seule) est la distribution T_ua associ´ee `a la fonction







ua(x) = F

L(L−a)x x≤a u_a(x) = F

La(L−x) x≥a

(2)

L’usage est de dire que ua est solution au sens des distributionsde l’´equation

−u_a⁰⁰=F δ_a

• Convergence des s´eries de Fourier

Rappelons que si u(x) est une fonction C¹ de p´eriode 2π sa s´erie de Fourier converge uniform´ement vers u(x), en particulier si φ ∈ D(T) la s´erie de Fourier de φ converge uniform´ement versφ, et que cela est faux en g´en´eral pour une fonction moins r´eguli`ere.

Mais dans le cadre des distributions on a le r´esultat g´en´eral :

Proposition 3 Soit f(x) une fonction localement int´egrable 2π-p´eriodique. La s´erie de Fourier de f converge versf au sens des distributions

Preuve

On noteSn(f) la somme desnpremiers termes de la s´erie de Fourir def. V´erifier que Z _2π

0

Sn(f)(x)φ(x)dx= Z _2π

0

f(x)Sn(φ)(x)dx On en d´eduit, puisqueS_n(φ)(x) converge uniform´ement vers φ, que

limn

Z _2π

0

Sn(f)(x)φ(x)dx= lim

n

Z _2π

0

f(x)Sn(φ)(x)dx= Z _2π

0

f(x)φ(x)dx c’est `a dire T_Sn(f)→Tf au sens des distributions. ♦

• S´erie de Fourier d’une distribution p´eriodique Remarquer que

an(f) = 1 π

Z _2π

0

f(x) cosnx dx= 1

π < Tf,cos(nx)>

Ce qui permet d’´etendre la d´efinition des coefficients de Fourier aux distributions de D⁰(T)

an(T) = 1

π < T,cos(nx)>

On montre, comme nous l’avons fait ci-dessus pour les fonctions,

Proposition 4 La s´erie de Fourier d’une distribution p´eriodique T ∈ D⁰(T) converge vers T au sens des distributions.

V´erifier directement la formule δ₀= 1

π(1 2 +

∞

X

k=1

cos(kx))

o`u la convergence est prise au sens des distributions (noter que la s´erie ci-dessus ne converge en aucun point au sens ordinaire).

S.L

CENTRALE