Configurations du plan

GÉOMÉTRIE

Configurations du plan

Maîtriser les définitions

c. G est

d. AG =  AA'

2. Figure 2 a. (BH) est b. H est

c. OA =   =  4. Figure 4

a. [BW) est

b. W est

c. ΩU =   = 

Droites et points remarquables dans un triangle

• la médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

Les trois médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.

• la hauteur issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.

• la médiatrice relative à un côté est la droite qui est perpendiculaire à ce côté en son milieu.

Les trois médiatrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.

• la bissectrice d’un angle est la demi-droite qui passe par le sommet de cet angle et qui partage l’angle en deux angles de même mesure.

Les trois bissectrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit au triangle.

Définitions

A

C

B O

(∆)

Ω A

C B

V T

U A

C B

H I A

C B

G B' A' C'

Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 4

(BB')estla médiane issue deBdans le triangleABC. b.Oest

.b.

A'estle milieu de[BC].

a.

Figure 1 a.(D)est

1.

Compléter les affi rmations suivantes : 3.Figure 3 té un triangle avec des droites remarquables.

1 Dans chacune des fi gures ci-dessous, on a représen- c. Iest

Raisonner

2 Logique ABC est un triangle. I est le point d’in- tersection de la médiane issue de A et de la droite (BC).

A

C B

1. Compléter : I est de [BC].

2. Soit D le symétrique de A par rapport à I.

Construire le point D, puis démontrer l’équivalence sui- vante : « D est le symétrique de A par rapport à I si et seulement si ABDC est un parallélogramme. »

3 Logique Dans la fi gure ci-dessous, (O ; I, J) est un repère orthonormé du plan. Soit trois points de ce plan : A(-6 ; 2), B(6 ; -2) et C(2 ; 1).

O A

B C

I J

1. On veut démontrer à l’aide d’un raisonnement par contraposée que le point C n’appartient pas à [AB].

a. Énoncer la contraposée de l’implication suivante :

« Si le point C appartient à [AB], alors AB = AC + CB. »

b. Calculer AB, BC, AC et AC + CB.

• AB² =  AB = 

• BC ² =  BC = 

• AC ² =  AC = 

• AC + CB

c. Comparer AB² et (AC + CB)².

d. Conclure.

2. a. Calculer AO et OB.

AO² =  OB² =

b. Montrer que AO + OB = 4 10  = AB.

c. Que représente la droite (OC) pour le triangle ABC ?

4 Logique Dans la fi gure ci-dessous, ABC est un triangle tel que AB = 4 et AC = 5. Les points P et R sont situés respectivement sur les segments [AB] et [AC] et sont tels que AP = 2,4 et AR = 3,2.

A

P

B R C

Vincent veut montrer que les droites (RP) et (CB) ne sont pas parallèles. Pour cela, il raisonne correctement de la façon suivante :

« Avec les données du texte, si les droites (RP) et (CB) sont parallèles, alors AP AR

AB= AC, soit 2,4 3,2 4 = 5 , soit 0,6 = 0,64.

Donc les droites ne sont pas parallèles. »

1. Quel est le raisonnement employé par Vincent ?

2. Faire à nouveau la rédaction de cette démonstration en utilisant un raisonnement par contraposée et la pro- priété suivante : « si les droites (RP) et (CB) sont paral- lèles, alors AP AR

AB= AC. 

D I