Chapitre 11 Introduction aux espaces vectoriels

Chapitre 11

Introduction aux espaces vectoriels

Dans tout ce chapitreKdésigneRouC.

1 Généralités sur les espace vectoriels

1.1 Espace vectoriel sur K

Définition 1 Espace vectoriel surK

SoitEun ensemble non vide. On dira queEest un espace vectoriel surK, ou unK-espace vectoriel (=K-ev), ou queEa une structure deK-ev lorsque :

(i) Eest muni d’une addition+qui est une application : E² −→ E

�→−x,−→y�

�−→ −→x+−→y vérifiant :

• Commutativité.∀�→−x,→−y)∈E², →−x +−→y =−→y +→−x

• Associativité.∀�−→x,−→y,→−z)∈E³, �−→x +−→y�

+−→z =−→x +�−→y +−→z�

• Élément neutre. Il existe un unique élément deE, noté−→0E, tel que :

∀−→x ∈E, −→0_E+−→x =→−x +−→0_E=−→x.

• Opposé.∀x∈E, il existe un unique élément deE, noté−−→x et appelé opposé de→−x, vérifiant :∀−→x ∈E, −→x +�

− −→x�

=�

− −→x�

+−→x =−→0E.

(i i) Eest muni d’une multiplication par un scalaire . qui est une application : K×E −→ E

�λ,→−x�

�−→ λ.−→x vérifiant :

• ∀�

λ,µ,−→x)∈K²×E, (λ+µ).→−x =λ.→−x +µ.−→x

• ∀�

λ,−→x,−→y)∈K×E², λ.�−→x +→−y�

=λ.−→x+λ.−→y

• ∀�

λ,µ,−→x)∈K²×E, λ.� µ.→−x�

=(λ×µ).→−x =µ.� λ.−→x�

• 1.→−x =→−x

Dans la suite, l’opération→−x +�

− −→y�

sera notée−→x − −→y.

Les éléments deEsont appelésvecteurs, et ceux deKscalaires.

On peut remarquer qu’un espace vectoriel surCdonne aussi un espace vectoriel surR, en considérant la restriction àRde la multiplication par un scalaire.

Proposition 2 Règles de calcul Si (λ,µ)∈K²et�→−x,−→y�

∈E², on a : 1. λ�−→x − −→y�

=λ.−→x−λ.−→y ; 2. λ.−→0E =−→0E;

3. (λ−µ).→−x =λ.→−x −µ.−→x ; 4. 0.−→x =−→0E;

5. (−λ).�

− −→x�

=λ.→−x ;

6. Intégrité externe.λ.→−x =−→0E⇐⇒λ=0 ou−→x =−→0E; λ.−→x =µ.−→x ⇐⇒ −→x =−→0E ouλ=µ;

λ.−→x =λ.−→y ⇐⇒λ=0 ou→−x =−→y.

Exemple:{0} est unR-ev et unC-ev. Par contre�n’en est pas un.

Exemple: Kⁿ Un vecteur→−x ∈Kⁿest unn-uplet (x1,x₂,...,x_n).

Si−→x =(x1,...,x_n) et→−y =(y1,...,y_n) sont deux vecteurs deKⁿ, on définit leur somme :

−

→x +→−y =(x1,... ,x_n)+(y1,... ,y_n)=(x1+y₁,...,x_n+y_n) Siλ∈Ket→−x ∈Kⁿon définit :

λ.−→x =λ.(x1,...,xn)=(λ×x1,...,λ×xn) Alors (Kⁿ,+,.) est unK-ev. Le vecteur nul est−→0Kⁿ=(0,...,0).

En particulier pourn=1 :Kest unK-ev pour ses opérations naturelles.Rest unR-ev, etC est unC-ev donc unR-ev.

�ATTENTION :Rn’est pas unC-ev !

Exemple: F^A SoientAun ensemble quelconque etFunK-ev. On rappelle queF^Adésigne l’ensemble des fonctions f :A−→Fdéfinies surAà valeurs dansF.

Pour f etg éléments deF^A, on définit la fonctionf +g:A−→Fpar :

∀x∈A, (f +g)(x)=f(x)+g(x)

et pourλ∈Ket f élément deF^A, on définit la fonctionλ.f :A−→Fpar :

∀x∈A, (λ.f)(x)=λ.f(x) Alors�

F^A,+,.�

est unK-ev. Le vecteur nul−→0_F^A est la fonction constante égale à−→0F. En particulier :

- pourF=RetA=N,�

R^N,+,.�

est unR-ev ; (suites réelles) - pourF=RetI intervalle deR,�

R^I,+,.) est unR-ev. (fonctions définies sur un intervalleI) Exemple : K[X] On rappelle queK[X] est l’ensemble des fonctions polynômes à coeffi- cients dansK.

Alors (K[X],+,.) est unK-ev. Le vecteur nul−→0_K[X]est la fonction constante égale à 0 surK.

Exemple: M_np(K) On rappelle queM_np(K) est l’ensemble des matrices de taillen×p à coefficients dansK.

Alors (M_np(K),+,.) est unK-ev. Le vecteur nul→−0M_np(K)est la matrice nulle de taillen×p.

1 Généralités sur les espace vectoriels

1.2 Sous-espaces vectoriels

Définition 3 Sous-espace vectoriel SoitEunK-ev etFune partie deE.

On dit queFest un sous-espace vectoriel deE(noté sev deE) lorsque : (i)F�=�;

(i i)Fstable pour «+» :∀�→−x₁,→−x₂�

∈F²,→−x₁+−→x₂∈F; (i i i)Fstable pour « . » :∀�

λ,−→x�

∈K×F,λ.−→x ∈F Exemple:UnK-evEa toujours deux sev triviaux :�−→0E

�etE.

Proposition 4 Propriété du vecteur nul SiFest un sev d’unK-evE, alors−→0_E∈F.

Pour montrer queF�=�, on vérifie donc la plupart du temps que−→0E ∈F.

Exemple:�n’est jamais un sev d’unK-evE.

Théorème 5 Caractérisation des sous-espaces vectoriels deE SoitFune partie d’unK-evE. AlorsFest un sev deEsi et seulement si : (i)F�=�;

(i i)Fstable par combinaison linéaire :∀�

λ,−→x₁,→−x₂�

∈K×F²,λ.−→x₁+→−x₂∈F

Exemple:DansR²:F₁=�

(x,y)∈R²�

x²+y²=1�

,F₂=�

(x,y)∈R²�

x+y=1�

etZ²ne sont pas des sev deR². Par contreF₃=�

(x,y)∈R²�

x+y=0�

en est un.

Exemple:K_n[X] est un sev deK[X].

Exemple:T_n⁺(K),T_n⁻(K),S_n(K) etA_n(K) sont des sev deM_n(K).

�Gl_n(K) n’est pas un sev deM_n(K) : il ne contient pas le vecteur nul et n’est pas non plus stable par multiplication !

Théorème 6 Un sev est unK-ev

Si Eest unK-ev etFun sev deE, alors les restrictions àFdes opérations «+ » et « . » deE, munissentFd’une structure deK-ev.

En pratique, pour montrer qu’un ensembleFest un espace vectoriel surK(8 conditions), on cherche unK-evEcontenantF(ieF⊆E), et on montre queFest un sev deE(seulement 2 conditions).

Exemple:K_n[X] est unK-ev puisque c’est un sev deK[X].

Théorème 7 Intersection de sev

SiFetGsont des sev d’unK-evE, alorsF∩Gest aussi un sev deE.

�ATTENTION : en généralF∪Gn’est pas un sev deE.

Exemple:On poseF=�

(x,y)∈R²� y=x�

etG=�

(x,y)∈R²�

y=−x�

.FetGsont des sev de R², maisF∪Gn’en est pas un.

Exemple:SiFetGsont des sev d’unK-evE, alorsF∪Gest aussi un sev deEsi et seulement siF⊆GouG⊆F.

Exemple:Dn(K) est un sev deM_n(K).

2 Familles de vecteurs

Dans tout ce paragraphe,Edésigne unK-ev.

2.1 Combinaisons linéaires

Définition 8 Combinaison linéaireSoitF=�−→u₁,...,−→up

�une famillefinie depvecteurs de E(c’est-à-dire unp-uplet de vecteurs deE).

On dit que−→x ∈Eest combinaison linéaire (= CL) des vecteurs deF lorsqu’il existe des sca- laires (λ₁,...,λp)∈K^p tels que :

−

→x =

�p k=1

λ_k.−→u_k

Exemple:DansR²avec une famillefinie.

(2,3) est CL de (1,0) et (1,1) : (2,3)=3.(1,1)+(−1).(1,0).

Exemple: Un exemple général à connaître dansKⁿ. Pour touti∈ �1,n�, on pose−→e_i =(0,...,0,1,0,...,0)

i−ième position↓

.

Alors tout→−x =(x1,...,x_n)∈Kⁿest CL de la famille�−→e₁,...,−e→_n� :

−

→x = (x1,...,x_n)

= (x₁,0,...,0)+(0,x₂,0,...,0)+ ··· +(0,...,0,xn)

= x₁.(1,0,...,0)+x₂.(0,1,0,...,0)+ ··· +x_n.(0,... ,0,1)

= x₁.→−e₁+x₂.e−→₂+ ··· +x_n.−e→_n

=

�n k=1

x_k.−→e_k

Exemple: Un exemple général à connaître dansK_n[X].

SiP=a₀+a₁X+a₂X²+···+anXⁿest un élément deK_n[X], alorsP est CL des polynômes 1, X, ...,Xⁿ. Ceci prouve que tout élément deK_n[X] est CL de la famille (1,X,X²,...,Xⁿ).

Exemple: Un exemple général à connaître dansM_np(K).

Pour tout (i,j)∈ �1,n�×�1,p�, on rappelle qu’on noteE_{i j} la matrice deM_np(K) dont tous les coefficients sont nuls, exceptés celui situé à l’intersection de la ligneiet de la colonne j, qui

2 Familles de vecteurs est égal à 1.

Les matricesE_{i j}, pour (i,j)∈ �1,n�×�1,p�, sont appeléesmatrices élémentairesdeM_np(K).

Si A∈M_np(K), alorsAest CL des matrices élémentaires deM_np(K).

Théorème 9 CL et sev

SiFest un sev deEet (ui)i∈I une famille de vecteurs deF, alors toute CL de ces vecteurs est encore un vecteur deF.

En particulier, si �−u→₁,...,−→u_p�

est une famille de vecteurs deF, alors∀(λ1,...,λ_p)∈K^p, on a

�p k=1

λ_k.−→u_k∈F.

2.2 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs

Définition 10 NotationVect(F) SoitF =�−u→₁,...,−→u_p�

une famille de vecteurs deE. On note Vect(F) l’ensemble des vec- teurs deEqui sont combinaison linéaire des vecteurs deF :

Vect(F)=

� _p

�

i=1

λ_i.−→u_i

�∀i ∈ �1,p�,λ_i∈K

�

et donc pour−→x ∈E:

−

→x ∈Vect(F)⇐⇒ ∃(λ1,... ,λ_p)∈K^p

�→−x =

�p i=1

λ_i.−→u_i Noter que siF famille de vecteurs deE, on a Vect(F)⊆E.

On adopte aussi la convention : Vect(�)=�−→0E

�.

Exemple:On a vu au paragraphe 2.1. queKⁿ=Vect�e−→1,...,−e→n

�, avec→−ei =(0,...,0,1,0,...,0)

i−ième position↓

, pouri∈ �1,n�.

Exemple:On a vu au paragraphe 2.1. queK_n[X]=Vect�

1,X,X²,...,Xⁿ� . Exemple:On a vu au paragraphe 2.1. queM_np(K)=Vect

�

(Ei j)¹≤i≤n 1≤j≤p

� .

Théorème 11 Propriétés deVect(F) SoitF=�−→u₁,... ,−→u_p�

une famille de vecteurs deE.

1. Vect(F) est un sev deEqui contientF:F⊆Vect(F) ; 2. C’est le plus petit sev deEcontenantF:

siFest un sev deEtel queF⊆F, alors Vect(F)⊆F.

Important :ce résultat peut servir à montrer très rapidement qu’une partieFdeEest un sev.

Exemple:F=�

(x,y,z)∈R³�

x+2y=z�

=Vect�

(1,0,1);(0,1,2)� .

Corollaire 12 Inclusions deVect

SiFetGsont deux famillesfinies de vecteurs deE: F⊆G donne Vect(F)⊆Vect(G).

Corollaire 13 Règles de calcul sur lesVect Soit�−u→₁,...,u−→_p,−−−→u_p+1�

une famille de vecteurs deE.

1. Si u−−−→_p+1 est CL de la famille �u−→₁,...,−→u_p�

, alors on peut « l’enlever du Vect » : Vect�−u→₁,...,u−→_p,−−−→u_p+1�

=Vect�−→u₁,... ,−→u_p�

2. On peut additionner à un vecteur toute CL des autres : si (λ1,...,λp−1)∈K^p−1, alors Vect�−→u₁,...,−−−→u_p−1,−→u_p�

=Vect

�

−→u₁,...,−−−→u_p−1,−→u_p+

p�−1 i=1

λ_i.−→u_i

�

3. On peut multiplier un vecteur par un scalaire non nul : siα�=0, alors Vect�−→u₁,...,−−−→u_p−1,−→u_p�

=Vect�−u→₁,...,u−−−→_p−1,α.−→u_p� 4. Vect�−u→₁,...,−→u_p�

ne dépend pas de l’ordre des vecteurs : siσ:�1,p� −→ �1,p�est bijective, alors Vect�−→u₁,...,−→u_p�

=Vect�−−−→u_σ(1),... ,−−−→u_σ(p)� 5. On peut « enlever le vecteur nul d’un Vect » :

Vect�−u→₁,...,−→u_p,−→0E

�=Vect�−→u₁,...,−→u_p�

2.3 Familles génératrices

Définition 14 Famille génératrice d’un sev SoitFfamille de vecteurs deE.

On dit queFest une famille génératrice deE, ou queEest engendré parF, lorsque E=Vect(F).

Comme on aF⊆E, on peut dire que Vect(F)⊆E. DoncF est génératrice deEsi et seule- ment siE⊆Vect(F), ie tout vecteur−→x ∈Eest CL des vecteurs deF.

Rédaction :SoitF=�−→u₁,...,−→u_p�

une famillefinie depvecteurs deE.

Pour montrer qu’elle est génératrice de E, on se fixe un vecteur−→x ∈E, et on cherche des scalairesλ₁, ...,λ_p, tels que :

−

→x =

�p k=1

λ_k.−→u_k

En considérant cette égalité comme une équation d’inconnue (λ₁,...,λ_p)∈K^p, on doit mon- trer qu’il existe au moins une solution.

Exemple:F=�

(x,y,z)∈R³�

x+2y=z�

est engendré par�

(1,0,1);(0,1,2)� .

2 Familles de vecteurs

Exemple: Famille génératrice deKⁿ On a vu au paragraphe 2.2. que la famille�e→−₁,... ,−e→_n� est génératrice deKⁿ, avec−→e_i =(0,...,0,1,0,...,0)

i−ième position↓

, pouri∈ �1,n�.

Exemple: Famille génératrice deK_n[X] On a vu au paragraphe 2.2. que la famille (1,X,X²,...,Xⁿ) est génératrice deK_n[X].

Exemple: Famille génératrice deM_np(K) On a vu au paragraphe 2.2. que la famille (Ei j)1≤i≤n 1≤j≤p

est génératrice deM_np(K).

Théorème 15 Ajout de vecteurs dans une famille génératrice SoientF etGdeux famillesfinies de vecteurs deE. On suppose que : (i)F⊆G;

(ii)F est génératrice deE.

AlorsG est aussi une famille génératrice deE.

Exemple:F=�

(x,y,z)∈R³�

x+2y=z�

est aussi engendré par�

(1,0,1);(0,1,2);(1,1,3)� . Ainsi, toute sur-famille d’une famille génératrice deEest encore génératrice deE.

En pratique ce résultat n’a que très peu d’intérêt. En effet, on préférera avoir des familles génératrices de taille minimale (nous verrons pourquoi dans un autre chapitre). Pour cela on utilisera le théorème suivant.

Théorème 16 Enlever des vecteurs dans une famille génératrice SiF =�−→u₁,... ,−−−→u_p−1,−→u_p�

est génératrice deE, et si−→u_p est CL de la familleF�=�u−→₁,...,−−−→u_p−1� , alorsF�est encore génératrice deE.

Ce résultat est énoncé dans le cas d’une famillefinie, mais il est encore valable dans le cas d’une famille infinie.

On peut donc retenir que dans une famille génératrice deE, si un vecteur est CL des autres, alors on peut l’ôter de la famille tout en gardant une famille génératrice deE.

Exemple:SiE=Vect�

(1,0);(1,−1);(0,1)�

alorsE=Vect�

(1,0);(0,1)� .

2.4 Familles libres

Définition 17 Famille libre SoitF=�−u→₁,...,−→u_p�

une famillefinie depvecteurs deE(c’est-à-dire unp-uplet de vec- teurs deE).

On dit queF est une famille libre, ou que les vecteurs−→u₁, ... ,−→u_psont linéairement indé- pendants, lorsque, pour tout (λ1,...,λ_p)∈K^p :

�p k=1

λ_k.−→u_k=−→0E=⇒λ₁= ··· =λp =0

Dans le cas contraire, on dit queF est liée, ou que les vecteurs deF sont linéairement dépendants.

On adoptera la convention que�est une famille libre de toutK-evE.

On peut remarquer que le caractère libre d’une famille de vecteursF, ne dépend du choix duK-evE. Par conséquent siF⊆FoùFsev deE, alorsF est libre dansFsi et seulement si elle est libre dansE.

�Ceci est faux pour la notion de famille génératrice qui est intrinsèquement liée au sous- espace vectoriel dans lequel on travaille.

Rédaction :SoitF=�−→u₁,...,−→u_p�

une famillefinie depvecteurs deE.

Pour montrer qu’elle est libre, on sefixe des scalairesλ₁, ...,λp, tels que :

�p k=1

λ_k.−→u_k−→0E

En considérant cette égalité comme une équation d’inconnue (λ₁,...,λ_p)∈K^p, on doit mon- trer qu’elle a pour unique solutionλ₁= ··· =λ_p=0.

Exemple:DansR²,�

(1,2);(1,3)�

est libre et�

(1,0);(1,1);(0,2)�

est liée.

Exemple: DansKⁿ La famille�→−e₁,...,−e→_n�

est libre, avec−→e_i =(0,...,0,1,0,...,0)

i−ième position↓

, pour i ∈ �1,n�.

Exemple: DansK_n[X] La famille (1,X,X²,...,Xⁿ) est libre.

Exemple: DansM_np(K) La famille (Ei j)1≤i≤n

1≤j≤p est libre.

Théorème 18 Famille libre à un vecteur Soit→−u un vecteur deE. Alors :

�−→u�

est libre ⇐⇒ −→u �=−→0E

Définition 19 Vecteurs colinéaires Soient→−u et−→v deux vecteurs deE.

On dit que−→u et−→v sont colinéaires lorsqu’il existeλ∈Ktel que−→u =λ.→−v ou−→v =λ.→−u, ou de manière équivalente lorsque→−v �=−→0E ou il existeλ∈Ktel que−→u =λ.−→v.

2 Familles de vecteurs

Théorème 20 Famille libre à deux vecteurs Soient→−u et−→v deux vecteurs deE. Alors :

�→−u,−→v�

est libre ⇐⇒ −→u et−→v non colinéaires

�ATTENTION : Ce critère est faux dès qu’on a plus de deux vecteurs. Par exemple pour trois vecteurs, le critère devient non coplanaires.

Exemple:Il devient évident que�

(1,2);(1,3)�

est libre !

Théorème 21 Caractérisation des familles liées SoitF=�−→u₁,... ,−→u_p�

une famille de vecteurs deE. Alors :

F est liée ⇐⇒ un des vecteurs deF est CL des autres

Exemple:Il devient évident que�

(1,0);(1,1);(0,2)�

est liée !

Corollaire 22 Cas simples de familles liées

Toute famille de vecteurs deEcontenant le vecteur nul, ou deux vecteurs identiques, est liée.

Théorème 23 Enlever des vecteurs dans une famille libre

SoientF etGdeux famillesfinies de vecteurs deE. On suppose que : (i)F⊆G;

(ii)G est libre.

AlorsF est libre.

Exemple:�

(1,0,0,0);(0,1,0,0);(0,0,0,1)�

est libre.

On peut donc retenir que toute sous-famille d’une famille libre est libre, et donc par contra- posée, toute sur-famille d’une famille liée est liée.

En pratique ce résultat n’a que très peu d’intérêt. En effet, on préférera avoir des familles libres de taille maximale (nous verrons pourquoi dans un autre chapitre). Pour cela on utili- sera le théorème suivant.

Théorème 24 Ajout d’un vecteur dans une famille libre SiF=�−→u₁,...,−→u_p�

est libre, alors :

�−u→₁,...,−→u_p,−−−→u_p+1�

est libre ⇐⇒ −−−→u_p+1∉Vect�u−→₁,...,−→u_p� et donc par contraposée :

�−→u₁,... ,−→up,−−−→up+1

�est liée ⇐⇒ −−−→up+1∈Vect�−→u₁,...,−→up

�⇐⇒ −−−→up+1est CL de�−→u₁,...,−→up

�

On peut donc retenir que si on a une famille libre deE, alors on peut lui ajouter un vecteur qui n’est pas CL des vecteurs de la famille, tout en gardant une famille libre.

Exemple:Former une famille libre à trois vecteurs à partir de�

(1,2,0);(2,1,0)� .

2.5 Bases

Définition 25 Base d’unK-ev SoitBfamillefinie de vecteurs deE.

On dit queBest une base deElorsqueBest libre et génératrice deE.

Proposition 26 Base deVect(F)

SoitFfamillefinies de vecteurs deE. Alors :

F base de Vect(F)⇐⇒F est libre

Exemple:B=�

(1,0,1);(0,1,2)�

est une base deF=�

(x,y,z)∈R³�

x+2y=z� .

Exemple: Base canonique deKⁿ On poseB=�e−→₁,...,−e→_n�

, avec−→e_i =(0,...,0,1,0,...,0)

i−ième position↓

, pour i ∈ �1,n�. On a vu au paragraphe 2.3. queB est génératrice de Kⁿ, et au paragraphe 2.4.

qu’elle est libre. DoncBest une base deKⁿ, appeléebase canoniquedeKⁿ.

Exemple: Base canonique deK_n[X] On poseB=(1,X,X²,...,Xⁿ). On a vu au paragraphe 2.3. queBest génératrice deK_n[X], et au paragraphe 2.4. qu’elle est libre. DoncBest une base deK_n[X], appeléebase canoniquedeK_n[X].

Exemple: Base canonique deM_np(K) On poseB=(E_{i j})1≤i≤n

1≤j≤p. On a vu au paragraphe 2.3.

que B est génératrice deM_np(K), et au paragraphe 2.4. qu’elle est libre. DoncB est une base deM_np(K), appeléebase canoniquedeM_np(K).

2 Familles de vecteurs

Théorème 27 Caractérisation des bases SoitB=�→−ε₁,...,−ε→n

�une famille de vecteurs deE. Alors on a équivalence de : (i)Best une base deE;

(ii) pour tout−→x ∈E,∃!(λ₁,...,λ_p)∈K^p tel que−→x =

�p k=1

λ_k.ε_k.

Définition 28 Coordonnées dans une base Soit B=�−→ε₁,...,−ε→_n�

une base de E. Le théorème précédent donne que tout→−x ∈Eest caractérisé par l’uniquep-liste (λ1,...,λ_p)∈K^ptel que→−x =

�p k=1

λ_k.εk.

Les scalaires (λ1,... ,λ_p) sont appelés coordonnées de−→x dans la baseB. On le note :

−

→x =(λ₁,...,λ_p)^B

Exemple: Coordonnées dans la base canonique deKⁿ Elles sont égales aux composantes du vecteur. Par exemple, si→−x =(2,1,3), alors ses coordonnées dans la base canonique deR³ sont (2,1,3).

Exemple: Coordonnées dans la base canonique deK_n[X] Elles sont égales aux coefficients de la fonction polynômes. Par exemple,P=X²+2X+1 a pour coordonnées (1,2,1) dans la base canonique deK₂[X].

Exemple: Coordonnées dans la base canonique deM_np(K) Elles sont égales aux coefficients de la matrice. Par exemple,

�1 −1 1

2 0 1

�

a pour coordonnées (1,−1,1,2,0,1) dans la base ca- nonique deM₂₃(R).

Exemple:DansF=�

(x,y,z)∈R³�

x+2y=z�

. Une base deFestB=�

(1,0,1);(0,1,2)� . Par exemple :−→x =(1,1,3)=(1,1)^B.

Exemple:DansR₂[X] muni de la base�

1,X −1,(X −1)²�

, quelles sont les coordonnées de P=X²+2X+1.

Exemple:DansEmuni d’une base�−→ε₁,...,−ε→_n�

, quelles sont les coordonnées de−ε→_k, pour tout k∈ �1,n�?

3 Exercices

Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

Exercice 1 Dans chacun des cas suivants, justifier si la partie considérée est un sous-espace vectoriel.

1. A=�

(x,y)∈R²; x²−y²=0�

2. B=�

(x,y)∈R²; x²+y²=0�

3. C=�

(x,y)∈R²; x−y=0� 4. D=�

(a+b,a−b,a); (a,b)∈R²�

5. E={(1+x,x); x∈R} 6. F=Z²=Z×Z Exercice 2 On noteR^Rl’ensemble des fonctions numériques. Déterminer si les parties sui- vantes sont des sous-espaces vectoriels deR^R:

1. A=�

f ∈R^R/f continue� 2. B=�

f ∈R^R/f paire� 3. C=�

f ∈R^R/f impaire� 4. D=�

f ∈R^R/f s’annule�

Exercice 3 On noteR^Nl’espace vectoriel des suites réelles. Les parties suivantes sont-elles de sous-espaces vectoriels deR^N?

1. A=�

(u_n)_n∈N∈R^N/ (u_n)_n∈Nbornée� 2. B=�

(u_n)_n∈N∈R^N/ (u_n)_n∈Nmonotone� 3. C=�

(u_n)_n∈N∈R^N/ (u_n)_n∈N convergente� 4. D=�

(u_n)_n∈N∈R^N/ (u_n)_n∈Narithmétique� 5. E=

�

(un)n∈N∈R^N/∀n∈N,u_n+2=−u_n+1+ 1 n+1u_n

�

Exercice 4 On noteK[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dansK. Les par- ties suivantes sont-elles de sous-espaces vectoriels deK[X] ?

1. A=�

P∈K[X]/ 0 est racine deP� 2. B=�

P∈K[X]/ 0 est racine double deP� 3. C=�

P∈K[X]/ 0 est racine au moins d’ordre 2 deP� 4. Pourn∈Nfixé :D=�

P∈K[X]/ deg(P)=n� Exercice 5 1. Montrer que la partie A =

��a+b b

−b −a−b

��

(a,b)∈K²

�

est un sev de M₂(K).

2. Soitp∈N^∗. La partieB_p=�

A∈M_n(K)�

A^p=0n

�est-elle un sev deM_n(K) ?

On pourra considérer





0 1 1 0 0 1 0 0 0



et





0 0 0 0 0 0 1 0 0



.

Exercice 6 SoientFetGdeux sev deE K-ev. Montrer queF∪Gest un sev deEsi et seulement siF⊂GouG⊂F.

Familles libres, génératrices

3 Exercices

Exercice 7 Les familles suivantes sont-elles libres (si non, on donnera une combinaison li- néaire nulle, dont les coefficients sont non tous nuls) ? génératrices deR³(si non, on donnera un vecteur deR³qui ne s’exprime pas en fonctions des vecteurs de la famille) ? Sont-elles des bases deR³?

F₁ = �

(2,4,3),(1,5,7)� F₂ = �

(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6)� F₃ = �

(1,1,0),(2,1,0),(0,1,1)�

Exercice 8 Les sev deKⁿpeuvent être définie de 3 façons différentes :

•Par des équations cartésiennes :A=�

(x,y,z,t)∈R⁴; x−y+z=0 ety−2t=0� .

•Par un paramétrage :B=�

(2a−3b+c,a+2b−c,−b+c,a); (a,b,c)∈R³� .

•Par la donnée d’une base (ou d’une famille génératrice) :C=V ect

�(1,2,−1,0),(0,1,3,−1)� . Ecrire chacun de ces ensembles sous les trois formes possibles.

Exercice 9 Les famille suivantes sont-elles des familles libres de l’espace vectoriel indiqué ? 1. �

(X−1)²,(X−2)²,(X −3)²�

dansR[X] 2. �

X²+1,2X,2X²+X

�dansR[X] 3. �

x�→cos(x),x�→xcos(x),x�→sin(x),x�→xsin(x)�

dansR^R 4. �

(1)n∈N,(cos²n)n∈N,(cos(2n))n∈N

�dansR^N 5. �

(2ⁿ)n∈N,(3ⁿ)n∈N,(n)n∈N

�dansR^N 6.

��0 1 1 1

� ,

�1 −1

1 1

� ,

�−1 −1

1 0

��

dansM₂(R)

Exercice 10 Donner une famille génératrice des espaces vectoriels suivants : 1. E=�

(u_n)_n∈N

�∀n∈N,u_n+1=2u_n� 2. F=�

P∈K[X]/ 0 est racine deP� 3. G=S₃(R)

Exercice 11 On dit qu’une famille de polynômes (P₀,P₁,... ,P_n) (oùn∈N) est échelonnée lorsque, pour toutk∈ �0,n�: deg(Pk)=k.

Montrer que toute famille échelonnée de polynômes (P0,... ,P_n) forme une famille libre de K[X].

Exercice 12 SoitEunK-ev et�→−e ₁,...,→−e _n�

une famille libre de vecteurs deE.

Pour toutk∈ �1,n�, on note→−ε_k=−→e_k+−→e_k+1. Montrer que la famille�−→ε₁,...,−→εn−1�

est libre.