MP 2020-21
Kholles de Mathématiques — programme n ◦ 3
Semaine du lundi 28 septembre au vendredi 2 octobre 2020
Attention désormais tous les énoncés sont démontrés.
Les résultats admis seront explicitement indiqués.
Chapitre 3 : Espaces vectoriels normés
Dans tout ce chapitre, Kdésigne exclusivementRouC.
I. Normes et distances.
1. Définitions : norme, espace vectoriel normé (EVN).
Exemples : normesk · k1,k · k2,k · k∞ surKn.
Exemples : normesk · k1,k · k2,k · k∞ sur l’espace des fonctions continues de[a, b]dansK.
2. Définitions : distance associée à une norme, distance euclidienne (associée à un produit scalaire), distance d’un point à une partie deE.
Propriétés fondamentales des distances.
Définition : espaces métriques (hors-programme).
3. Définitions : norme euclidienne (associée à un produit scalaire), norme hermitienne (associée à un produit scalaire hermitien).
Théorème : inégalité de Cauchy-Schwarz, cas hermitien.
Théorème : norme associée à un produit scalaire.
4. Partie bornée.
Définitions : boules ouvertes, boules fermées, sphères.
Définition : applications bornées. Norme k · k∞ sur l’espace B(X, E)des applictions bornées d’un ensemble X dans un EVNE.
5. Applications lipschitziennes.
Définition.
Exemples très importants :x7→ kxk etx7→d(x, A)sont1-lipschitziennes.
Proposition : composition d’applications lipschitziennes.
6. Proposition/définition : produit d’EVN, norme sur le produit.
Les projections canoniques sont lipschitziennes.
Proposition : convergence d’une suite dans un produit d’EVN.
II. Suites d’éléments d’un EVN.
1. Définition : convergence d’une suite d’éléments d’un EVN.
Propriétés : une suite convergente est bornée ; l’ensemble des suites bornées est un EVN pour la normek · k∞; linéarité de la limite.
Exemple : une suite qui converge pour une norme mais pas pour une autre.
2. Normes équivalentes.
Théorème : comparaison de normes et convergence de suites.
Définition : normes équivalentes.
Proposition : équivalence de normes et convergence de suites.
Théorème : en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes (ADMIS).
Exemples : comparaison des normesk · k1,k · k2et k · k∞ surKn, équivalentes.
Exemples : comparaison des normesk · k1,k · k2et k · k∞ surC([0,1],K), non équivalentes.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/2 29 août 2020
MP 2020-21
3. Définition : suite extraite.
Propriétés des suites extraites.
Définition : valeur d’adhérence d’une suite.
Proposition : caractérisation de l’adhérence.
III. Comparaison des suites.
Rappels de Première Année, SANS DÉMONSTRATION.
1. Domination.
2. Négligeabilité.
3. Équivalence.
Semaine suivante : topologie des espaces vectoriels normés.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/2 29 août 2020
