Programme de colles de mathématiques PC 1 2021-22
--- semaine de colles 18 : du 14 janvier
09 - variables aléatoires discrètes
polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante : http://math.pc1sl.fr/cours/C09.pdf 1. Définitions
- variables aléatoires discrètes, loi, fonction de répartition FX: définition, croissance, limites.
- existence d'une loi associée à une série de somme 1 (admis) - couple de variables, loi conjointe, lois marginales.
- loi conditionnelle deX sachantY.
- variables indépendantes, famille de variables mutuellement ou deux à deux indépendantes 2. espérance et variance (les résultats nécessitant des interversions de sommes ou des som- mations par paquets sont admis)
- espérance : définition, E(X) = P
k=1
+1P(X >k) pour une variable à valeurs entières positives (résultat admis).
- théorème du transfert
- propriétés de l'espérance : linéarité, positivité, croissance; produit de variables indépendantes - variance et écart-type : définition, variance et opérations affines.
- inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev
- variance d'une somme de variables discrètes, cas de variables indépendantes.
- covariance, coefficient de corrélation. Inégalité de Cauchy-Schwarz.
3. Variables à valeurs dans N
- série génératriceGX, la sérieGXdétermine la loi de X
- lien entre dérivée de GX et espérance, dérivée seconde deGX et variance - série génératrice d'une somme de variables indépendantes.
4. Lois usuelles
- loi géométrique G(p) : série génératrice, espérance et variance. Caractérisation comme loi sans mémoire
- loi de PoissonP(): série génératrice, espérance et variance. Additivité.
5. Résultats asymptotiques
- loi binomiale et loi de Poisson !interprétation de la loi de Poisson comme loi des événements rares
En ligne à l'adresse :http://math.pc1sl.fr/programme-de-colles.pdf
- loi faible des grands nombres.
--- semaine de colles 17 : du 7 janvier
[semaine de colles suivante : variables aléatoires discrètes, espérance et variance; variables à valeurs dans N]
08 - probabilités polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante :
http://math.pc1sl.fr/cours/C08.pdf
[On évitera les questions théoriques sur les ensembles dénombrables et les tribus]
0. Rappels sur les dénombrements
dénombrements sur les ensembles finis, nombre d'arrangements ou de combinaisons à p élé- ments.
1. Ensembles dénombrables
- définition. Toute partie d'un ensemble dénombrable est finie ou dénombrable. Écriture E = fun; n2Ng. Réunion, produit cartésien de deux ensembles dénombrables. Q est dénombrable, C etRne le sont pas.
2. Espace probabilisé
- univers, tribu, probabilité. Cas où est dénombrable
- propriétés : continuités croissante et décroissante, sous--additivité.
3. Conditionnement et indépendance
- probabilité conditionnelle, formule des probabilités composées
- système complet dénombrable d'événements, formule des probabilités totales, formule de Bayes - événements indépendants, famille d'événements mutuellement indépendants.
09 - variables aléatoires discrètes polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante :
http://math.pc1sl.fr/cours/C09.pdf 1. Définitions
- variables aléatoires discrètes, loi, fonction de répartition FX: définition, croissance, limites.
- existence d'une loi associée à une série de somme 1 (admis) - couple de variables, loi conjointe, lois marginales.
- loi conditionnelle deX sachantY.
- variables indépendantes, famille de variables mutuellement ou deux à deux indépendantes.
--- semaine de colles 16 : du 31 janvier
[semaines de colles suivantes : probas]
même programme que la semaine dernière
--- semaine de colles 15 : du 24 janvier
11 - intégration sur un intervalle quelconque 2. Intégrales impropres convergentes
- intégrale impropre convergente sur [a; b[, sur]a; b], sur ]a; b[.
- cas des fonctions positives.
- convergence absolue. Fonction intégrable. Convergence absolue entraîne convergence.
- théorèmes de comparaison. Critères de Riemann.
- intégrale semi-convergente.
- fonction continue positive d'intégrale (impropre) nulle.
- changement de variable (admis) - intégration par parties
- comparaison série-intégrale
- espaces de fonctions intégrables : norme de la convergence en moyenne; norme de la conver- gence en moyenne quadratique, cas réel : produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz.
3. Interversions limites-intégrales
- théorème de convergence dominée : version suites, version séries - théorème d'intégration terme à terme
4. Intégrales dépendant d'un paramètre - continuité
- dérivabilité, classeCk.
--- semaine de colles 14 : du 17 janvier
[semaine de colles suivante : convergence dominée et autres interversions]
11 - intégration sur un intervalle quelconque polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante :
http://math.pc1sl.fr/cours/C11.pdf 1. Fonctions continues par morceaux sur un segment
!aucune démonstration de ce paragraphe ne sera demandée
- fonctions continues par morceaux sur un segment, structure deCM([a; b];K); fonction continue par morceaux sur un intervalle quelconque.
- extension des résultats de première année : définition de l'intégrale sur un segment, croissance, inégalitéRabf6R
a
bjfj, relation de Chasles.
- fonction continue positive d'intégrale nulle (sur un segment) : le résultat ne s'étend pas aux fonctions continues par morceaux.
- continuité de l'intégrale fonction de sa borne.
- changement de variable sur un segment.
2. Intégrales impropres convergentes
- intégrale impropre convergente sur [a; b[, sur]a; b], sur ]a; b[.
- cas des fonctions positives.
- convergence absolue. Fonction intégrable. Convergence absolue entraîne convergence.
- théorèmes de comparaison. Critères de Riemann.
- intégrale semi-convergente.
--- semaines de colles 12 et 13 : du 3 et du 10 janvier
[programme de la semaine du 17/1 : intégrales impropres]
07 - séries entières polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante :
http://math.pc1sl.fr/cours/C07.pdf 1. Convergence des séries entières
- définition d'une série entière
- lemme d'Abel, rayon de convergence R, définition du disque (ou intervalle) ouvert de conver- gence, cercle d'incertitude.
- convergence absolue dans D(0; R), convergence normale dans tout D (0; r)oùr < R.
- théorèmes de comparaison : an=On!+1(bn))Ra>Rb, utilisation de la règle de d'Alembert sur les séries numériques.
- P
anzn etP
n anznont même rayon de convergence.
- opérations : combinaisons linéaires, produit de Cauchy 2. Propriétés de la somme
- continuité
- intégration terme à terme.
- classeC1de la sommeS, dérivation terme à terme. Expression des coefficients à l'aide deS.
3. Développement en série entière
- fonction développable en série entière, série de Taylor, unicité du DSE.
- méthodes usuelles de développement.
4. Fonctions usuelles
- développements surC: fonction exponentielle, fonction inverse - DSE de variable réelle :t7!(1 +t)
- exemples classiques de développement en séries entières.
--- pas de colle la semaine du 13 décembre (sauf colles à rattraper)
--- semaines de colles 10 et 11 : du 29 novembre et 6 décembre
[pas de colle la semaine du 13/12 - semaine de la rentrée : séries entières]
06 - suites et séries de fonctions polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante :
http://math.pc1sl.fr/cours/C06.pdf 1. Convergence des suites et séries de fonctions
- convergences simple et uniforme des suites de fonctions. CVU)CVS.
- convergences simple, uniforme et normale des séries de fonctions. CVN)CVU )CVS 2. Propriétés des limites
- convergence uniforme et continuité. (Pas de théorème de double limite) - interversion entre intégrale et limite uniforme sur un segment.
- intégration terme à terme de la somme d'une série uniformément convergente.
- dérivation d'une limite uniforme uniforme, classeCk.
--- semaine de colles 9 : du 22 novembre
05 - séries numériques polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante :
http://math.pc1sl.fr/cours/C05.pdf 0. Rappels de première année
- Définition, convergence, divergence, divergence grossière - Séries géométriques, de Riemann
- Séries à termes positifs : convergence monotone, théorèmes de comparaison (critère de Riemann).
- Convergence absolue, convergence absolue entraîne convergence 1. Compléments sur les séries réelles
- Règle de d'Alembert
- Théorème spécial des séries alternées - Formule de Stirling
2. Séries réelles et complexes
- Produit de Cauchy : définition, condition suffisante de convergence et somme (démonstration admise)
--- semaine de colles 8 : du 15 novembre
05 - séries numériques polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante :
http://math.pc1sl.fr/cours/C05.pdf 0. Rappels de première année
- Définition, convergence, divergence, divergence grossière - Séries géométriques, de Riemann
- Séries à termes positifs : convergence monotone, théorèmes de comparaison (critère de Riemann).
- Convergence absolue, convergence absolue entraîne convergence
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semaine de colles 7 : du 8 novembre [programme de la semaine suivante : séries numériques ]
04 - espaces vectoriels normés polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante :
http://math.pc1sl.fr/cours/C04.pdf 1. Normes et e.v.n.
- norme, exemples classiques : k:k1, k:k2 et k:k1 sur Kn (ou sur E de dimension n muni d'une base) et sur C([a; b];K), k:k1sur l'espace B(X ; E)des fonctions bornées sur un ensemble X à valeurs dans un e.v.n. E, norme euclidienne associée à un produit scalaire
- distance associée à une norme. Boules d'un e.v.n. Une boule est convexe symétrique. ! la notion de fonctionconvexe n'est pas au programme.
- fonctions lipschitziennes. La norme et les opérations d'un e.v.n. sont lipschitziennes.
2. Convergence des suites dans les espaces vectoriels normés de dimension finie - convergence des suites dans un e.v.n., unicité de la limite; toute suite convergente est bornée, suites extraites d'une suite convergente, opérations sur les suites convergentes : combinaisons linéaires, lim(kunk)...
- la convergence ne dépend pas du choix de la norme (admis), convergence des suites et coordon-
nées. !la comparaison des normesest hors-programme
3. Quelques notions de topologie dans un e.v.n.
- intérieur, adhérence, frontière d'une partie d'un e.v.n. Ouverts et fermés. Une boule ouverte (fermée) est un ouvert (un fermé).
- réunions et intersections d'ouverts ou de fermés. Ouverts et fermés de la forme f¡1(I)oùI est un intervalle ouvert ou fermé de Ret f:E!Rest une fonction continue.
- caractérisations séquentielles des fermés, des points adhérents, dans un e.v.n.
4. Limites dans un e.v.n.
- limite d'une fonction f:E!F. Limite et coordonnées lorsque F est de dimension finie.
- caractérisation séquentielle. Opérations sur les limites.
5. Continuité en dimension finie
- Continuité. Caractérisation séquentielle. Exemple des fonctions lipschitziennes.
- Opérations sur les fonctions continues. Continuité et composantes.
- une fonction réelle continue sur un fermé borné est bornée et atteint ses bornes.
- limite et continuité des fonctions f:E!F sont indépendantes des normes surE etF. - continuité des applications linéaires et multilinéaires.
--- semaine de colles 6 : du 18 octobre
[programme de la semaine suivante : e.v.n. : limites et continuité ] 04 - espaces vectoriels normés polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante :
http://math.pc1sl.fr/cours/C04.pdf 1. Normes et e.v.n.
- norme, exemples classiques : k:k1, k:k2 et k:k1 sur Kn (ou sur E de dimension n muni d'une base) et sur C([a; b];K), k:k1sur l'espace B(X ; E)des fonctions bornées sur un ensemble X à valeurs dans un e.v.n. E, norme euclidienne associée à un produit scalaire
- distance associée à une norme. Boules d'un e.v.n. Une boule est convexe symétrique. ! la notion de fonctionconvexe n'est pas au programme.
- fonctions lipschitziennes. La norme et les opérations d'un e.v.n. sont lipschitziennes.
2. Convergence des suites dans les espaces vectoriels normés de dimension finie - convergence des suites dans un e.v.n., unicité de la limite; toute suite convergente est bornée, suites extraites d'une suite convergente, opérations sur les suites convergentes : combinaisons linéaires, lim(kunk)...
- la convergence ne dépend pas du choix de la norme (admis), convergence des suites et coordon- nées.
!la comparaison des normes est hors-programme.
--- semaines de colles 4 et 5 : du 4 et du 11 octobre
03 - réduction des endomorphismes polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante :
http://math.pc1sl.fr/cours/C03.pdf 1. Éléments propres d'un endomorphisme
- Éléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice, valeur propre et injectivité, sous-espaces propres.
- Des s.e.v. propres sont en somme directe.
- Stabilité des s.e.v. propres deupar un endomorphisme qui commute avecu.
- Valeurs propres d'un endomorphisme induit sur un s.e. stable.
- Polynôme caractéristique d'une matrice, d'un endomorphisme. Lien avec les valeurs propres.
Coefficients à connaître, propriétés : cas de matrices semblables.
- multiplicitémd'une valeur propre.
- expression de truet de detuà l'aide du spectre lorsque uest scindé.
- lien entre met la dimension du sous-espace propreE:16dimE6m. 2. Réduction des endomorphismes
- endomorphisme diagonalisable, comparaison entre m et dim E. Cas où u est scindé à racines simples, matrice diagonalisable
- endomorphisme, matrice trigonalisable. Equivalence avec uscindé.
- cas simples de trigonalisation (en dimensions 2 et 3).
3. Applications de la réduction - calcul des puissances d'une matrice
- récurrence linéaire à coefficients constants (sans second membre)
! à connaître : ordre 2 et ordre n>3 dans le cas où le polynôme caractéristique est scindé à racines simples.
--- semaine de colles 3 du 27 septembre
[programme de la semaine suivante : réduction et applications]
03 - réduction des endomorphismes polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante :
http://math.pc1sl.fr/cours/C03.pdf 1. Éléments propres d'un endomorphisme
- Éléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice, valeur propre et injectivité, sous-espaces propres.
- Des s.e.v. propres sont en somme directe.
- Stabilité des s.e.v. propres deupar un endomorphisme qui commute avecu.
- Valeurs propres d'un endomorphisme induit sur un s.e. stable.
- Polynôme caractéristique d'une matrice, d'un endomorphisme. Lien avec les valeurs propres.
Application à la recherche des éléments propres d'une matrice, application du théorème du rang à la dimension de E(A).
[propriétés de A, multiplicité des valeurs propres,.. pour la semaine suivante seulement.]
+ le programme de la semaine de colles précédente ###
--- semaine de colles 2 : du 20 au 26 septembre
[programme de la quinzaine suivante : éléments propres d'un endomorphisme]
02 - matrices et déterminants polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante :
http://math.pc1sl.fr/cours/C02.pdf 1. Matrices par blocs et sous-espace stables
- Matrices par blocs, opérations, par blocs
- Sous-espace stable, endomorphisme induit, intersection et somme - Décomposition en s.e. stables et matrice
- Stabilité de l'image et du noyau d'endomorphismes qui commutent 2. Compléments sur les déterminants
- Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs - Déterminant de Vandermonde
3. Trace
Trace d'une matrice carrée, linéarité, tr(A B) = tr(B A), invariance par similitude, trace d'un endomorphisme. Trace d'un projecteur.
+ le programme de la semaine de colles précédente ###
--- semaine de colles 1 : du 13 au 19 septembre
[programme de la semaine suivante : compléments de Spé sur le calcul matriciel ] Espaces vectoriels
polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante : http://math.pc1sl.fr/cours/C01.pdf 0. Rappels de première année
- Espaces vectoriels, combinaison linéaire
- Sous-espaces vectoriels : intersection, s.e.v. engendré par une partie - Somme de deux s.e.v., somme directe, supplémentaires. Projecteur.
- Familles libres et génératrices
- Dimension finie, formule du rang, formule de Grassmann - Systèmes linéaires : ensemble des solutions
1. Produit et somme d'espaces vectoriels - Espace produit, dimension
- Somme dens.e.v., somme directe : définition et C.N.S.
- Partition d'une base, réunion de bases, base adaptée à une décomposition.
- Dimension d'une somme, cas des sommes directes.
02 - matrices et déterminants polycopié du cours disponible en ligne à l'adresse suivante :
http://math.pc1sl.fr/cours/C02.pdf 0. Rappels : matrices et déteminants
- Matrice d'une application linéaire. Isomorphisme entre Mn; p(K) et L(E ; F). Changement de bases :X=P X0,M0=P¡1M P
- Déterminant d'une matrice carrée, déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, pro- priétés. Caractérisation des bases.
- Déterminant d'un produit de matrices, matrices semblables, déterminant d'un endomorphisme.
- Développement suivant une ligne ou une colonne.
