Chapitre 18 Espaces vectoriels (II)

(1)

Mathématiques – cours : Chap 18 : Espaces vectoriels (II)

1

Chap 18 : Espaces vectoriels (II)

sera un espace vectoriel

E −

I. Quelques compléments

   

\

1, 1,

0

( ) ker Im

( ) ( )

( ) *, ( ) , ( )

0 1,

supp de isomorphisme de sur

est génératrice de si (Idem avec parties) est libre dans si

k

G

J

j j J j j J

J n n

j j J k k n k k n

n

k j E

k

f E G f f G f

x E E Vect x E

x E E n j J

x k

λ λ

∈ ∈

∈ ∈ ∈

=

∈ ⇒

∈ =

∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

= ⇒ ∀ ∈

∑

L

 

 

ⁿ ^,^λ^k ⁼⁰

Une famille non libre est liée

génératrice dans un génératrice dans le libre dans un libre dans le

famille libre toute sous-famille de est libre famille génératrice toute sur-famille de est gé

K A K ev A ev

K A ev A K ev

F F

⊂ − ⇒ −

⇒

 

nératrice

0 0 0

( , ) 0

{ } ( )

libre et ne sont pas colinéaires

Si ou s'il y a un doublon dans une famille , est liée partie libre de . libre

E

u v ssi u v

F F F

A E x E A x ssi x Vect A

∈

∈ ∪ ∉

Une famille est une base de si elle est libre et génératrice dans E Tout vecteur de E s'écrit de manière unique comme CL de vecteurs de F

F E

⇔

II. Dimensions

( ) ( )

est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie Lemme de la dimension : partie génératrice de

Toute partie libre de est finie, de cardinal E

A E

L E card L card A

⇒ ≤

Preuve du lemme : Récurrence sur card(A)  3 cas : - L dans A (OK),

 

1

0 0 1 1 1, 0

1

, ( ) { } , ( \ { })

( ) ( \ { }) ( \ { })

, ( ) , 0 (( ) { })

libre

libre dans hypothèse de récurrence...

Supp

v v L

n

j j n n j j n

j

a A a Vect L L a v L v v a v Vect A a

v vect A a card A a n

a A a Vect L v L v a a Vect a v

v L

α

λ λ

∈

+

+ + ∈

=

−∃ ∈ ∉ ⇒ ∪ ∀ ∈ = + ∈

⇒ = ⇒

−∀ ∈ ∈ ∈ = ≠ ⇒ ∈ ∪

∀ ∈

∑

 



   

0 0 1, 1,

0

\ { } ( ) ( ) ( )

: ( \ { })

libre dans

v j j n v L j j n

v v v v v Vect a v Vect a

Hypothèse de récurrence Card L v n

α _∈ _∈ _∈

= + ∈ ⇒

⇒ ≤

  

0 0

0

Théorème de la base incomplète : de dimension finie partie libre de , partie génératrice de

tq est une base de E

E ev

L E S E

S L

S S

S L

−

∩ = ∅

∃ ⊂  ∪



(2)

2

Preuve : S={S₀ ⊂S S₀∩ = ∅L S₀∩L libre}

0 0 1

1 1 1 1 1

{ ( ) }

( ) ( ) : '

partie de non vide et maj d'après le lemme plus grand élément

Si Si Si base

Card S S S

v S v S v Vect S L v S v Vect S L par l absurde S L

= ∈ ⇒

∈ ∈ ⇒ ∈ ∪ ∉ ⇒ ∉ ∪ ⇒ ∪

N S 

0

Tout espace vectoriel de dimension finie admet une base de dimension finie Toute famille libre de E peut être complétée en une base

On peut extraire de S famille génératrice quelconque une base Toutes

S

les bases de E espace vectoriel de dimension finie sont finies et ont même cardinal Preuve : 2 bases B (finie) et C. C libre, B gén finie => card C ≤ card B. idem dans l’autre sens La dimension de E est le cardinal commun à toutes les bases de E

S base S génératrice minimale S famille libre maximalessi ssi Preuves : contraposées

 

1,

1 1,

1,

( ) ( , )

( ) ( )

( )

( , ) ( ) ( : (

injective libre

surjective génératrice

injective de dans famille libre de , libre dans

n

n n n

k k n

j j j j

j

k k n

E

v E E

a v

ssi v ssi v

E F E F ssi L E L F idée v

ψ α

ψ ψ

ϕ ϕ ϕ

∈

=

∈

 →

∈  ∈



∈ ∀

∑

^L

L

 



) )

( ) ( )

fam libre surjective de dans famille génératrice de , génératrice de

famille génératrice de , génératrice de

E F ssi S E S F

ssi S E S F

ϕ ϕ

ϕ

∀

∃

III. Calculs de dimensions

dim dim

Tout de (de dimension finie) est de dimension finie et avec égalité sev de admet au moins un supplémentaire dans

sev F E F E ssi E F

F E E

≤ =

 

1 1 1 1

,( ... ) ( ... ) ( ... , ... )

dim dim dim

Si F G E e en base de , F w wq base de G e e wn wq base de E

F G E E F G

⊕ = ⇒

⊕ = ⇒ _ = _ + _ dim (_ F+G)=dim_F+dim_G−dim (_ F∩G)

{0 }

dim dim dim

F G E F G E

F G E

E F G

∩ = + =

 

⊕ = ⇔  =  +  ⇔  =  + 

dim ( ) dim dim dim( ) dim( )

dim ( ( , )) dim dim

E F E F En n E

E F E F

× = + =

= ×

L

  

Preuve : ₁

1

( , ) ( ... )

( ( )... ( ))

base de isomorphisme...

n n

n

E F F

e e E

f f e f e

ψ ^_ ^→

 L



 

1 1

,( ... ) ,( ... )

! ( , ) 1, , ( )

(fini) et base de famille quelconque de tq

n n

j j

E F ev e e E v v F

f E F j n f e v

−

∃ ∈L ∀ ∈ =



(3)

3

   

1 1

, , ,

( , ) : ( ... ) ,( ... )

( , ) 1, 1, , ( ) ( , )

( ) 0

Base de base de base de

base de

n q

i j i j i j i j

k F

E F e e E v v F

E F

i j n q f e w f E F

e k i

 →

∀ ∈ × = 

 ≠

 L

 L



. dim dim

(fini) et S'il existe un isomorphisme de dans , alors

E F −ev E F F = E

et finis. Ils sont isomorphes ils ont la même dimension

E F −ev ssi

Preuve :  ok,  passer par la bij avec ⁿ

IV. Rang

( )v_j _{j J}_∈ ∈E^J rg v(( )_j _{j J}_∈ )=dim(Vect v(( )_j _{j J}_∈ ))

1 1 1

( )

(( ) )

( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., )

dim( ) (

famille d'éléments de de dim finie :

est le cardinal de la plus grande famille libre que l'on peut en extraire est libre

j j J

j j J n

n n n

v E ev

rg v

v v E rg v v n ssi v v

E n

∈

−

∈ =

=



1

) (( ) )

( ,..., ) min(dim , )

génératrice de

j j J j j J

n

v E ssi rg v n

rg v v E n

∈ ∈ =

≤

1 1

( , ) ( ) dim(Im( )) dim( ( ))

( ,..., ) ( , ) ( ) ( ( ),..., ( ))

de dim finie,

base de

n n

E E F rg E

e e E E F rg rg e e

ϕ ϕ ϕ ϕ

∈ = =

= ∈ =

L

B L

( ) ( ) dim

( , ) ( ) dim ( ) dim

sev de

injective de dans

F F rg F

E F rg E rg E ssi E F

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

⇒ ≤

∈L ≤ =

dim( ) dim(ker ) ( )

dim dim

Théorème du rang :

Si injective surjective isomorphisme

E rg

E F

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

= +

= ⇔ ⇔

 

( ) min( ( ), ( ))

( ) ( ) ( ) ( )

surjective injective

rg g f rg f rg g

h rg f h rg f h rg h f rg f

≤

⇒ = ⇒ =



 

V. Hyperplans et formes linéaires

( , ) Une forme linéaire sur est une app. lin. E ϕ∈L E 

* ( , ) L'espace dual E =L E 

 

1

1 1

( ,..., ) 1, , ( )

Im {0 } Si de dim finie, base de ,

ou

n j j

n n

j j j j

j j

E e e E j n a e

E

v x e a x

ϕ

ϕ ϕ

= =

= ∀ ∈ =

 →

= = =



∑ ∑

B

 ^



un hyperplan est un sev de qui admet comme supplémentaire un sev de dimension 1

E−ev H E

dim ( 1)

Si E=n, alors les hyperplans sont de dimension n−

(4)

4 ( , )

( , ), 0 ker

hyperplan E tq

E−ev H ssi∃ ∈ϕ L E  ϕ≠ _L _ H = ϕ

Preuve :  on définit une app. Sur H et sur Vect(x0), tq φ\H=0L(E) et φ\Vect(x0)(ax0)=a, on vérifie H=ker φ

 on prend x0 tq φ(x0)=1, on montre H⊕Vect(x0)=E (v=φ(v)x0 + (v – φ(v)x0))

* est un espace vectoriel de même dimension que (de dim finie)

E E

 

²

1 1 ,

1

1 1

( ,..., ) !( ,..., ) ( *) ( , ) 1, , ( ) 1

0

( ,..., ) *

, ( ) *, ( )

base de tq si

si est une base de , la base duale de

n

n n k j k j

n

n n

j j j j

j j

k j

e e E E k j n e

k j E

v E v v e E e

ϕ ϕ ϕ δ

ϕ ϕ

ϕ ψ ψ ψ ϕ

= =

 =

= ⇒ ∃ ∈ ∀ ∈ = =  ≠

∀ ∈ =

∑

∀ ∈ =

∑

B

1 1

( ,...,ϕ ϕn) base de E* !( ,...,e en) de dont soit la base duale associéeE

= ⇒ ∃

C B

Preuve : θ:v( ( )...ϕ1 v ϕn( ))v isomorphisme : mm dim, surj (si pas surj⇒Imθ ⊂H0 ⇒B pas libre)

VI. Compléments et applications

   

 

0 1 1 0

1 1 1,

( ,..., ) 0, , ( ,...., ) {0 }

( ,..., ) 1, \ ( )

base de

tq est échelonnée : elle est libre

n k k E

p

p k k k k k p

e e E k n F Vect e e F

p n v v E k p v F F₋ v _∈

= ∀ ∈ = =

≤ ∈ ∀ ∈ ∈

B

( ,...,1 ) (dim ( ) )

Une telle famille v vn est une base E=rg vn n =n

 

   

 

1, 1

1, 1, 1 1,

1 1

( ) {0 } ...

( ) ( ) 1, \ ( )

( ,..., ) ( *) 1, , ker

( ,..., )

famille de tels que

est échelonnée p/r aux si pour tout est libre

de dim

j j n E n

k k n k k n k k k k k n

s

s j j

s

F sev F F

v F k n v F F v

E ev n E j s H

rg

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

∈

∈ ∈ ∈ ∈ − ⇒ ∈

− ∈ ∀ ∈ =

=

  



1 1 1

dimE−dim(H ∩ ∩... Hs) ψ∈Vect( ,...,ϕ ϕs) ssi H( ∩ ∩... Hs)⊂kerψ

0 1 2

2 1

, ( , )

,

{( ) , , }

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 : fixés

sev de

n n n

n n n n n

u u

n u au bu a b

u n u au bu

+ +

∈ + +

∈ ∈

 ∈

∀ ∈ = +



= ∀ ∈ = +

S _ ^



 



2

0 1

dim 2

( , ) est un isomorphisme u u u

θ →

⇒ =



S S

 ^



{ }

2 2

1 2 1 2

2

0 0 0

( ) : 0 2 ( ) ,( , )

1 (( ) ) ,( , )

2 racines :

racine double :

n n

r n

n n

E r ar b r r r r

r n r r a

α β α β

∈

− − = ≠ + ∈

 

+ ∈  = 

S = S =



