Lycée Louis-Le-Grand,Paris MPSI 4– Mathématiques A. Troesch
Problème n
o18 : Espaces vectoriels
Problème 1– (Extrait de X-ENS 2013) – Opérateurs quantiques modulaires
Dans tout le problème, tous les espaces vectoriels ont pour corps de baseC. On noteCZl’espace vectoriel des fonctions de Zdans C. Si f est une fonction de Z dansC, on appelle support de f, et on noteSupp(f), l’ensemble desk∈Z tels que f(k) 6= 0. Dans tout le problème, V désigne l’ensemble des fonctions de Z dans C dont le support est un ensemble fini.
Partie I – Opérateurs sur les fonctions à support fini
1. (a) Montrer queV est un sous-espace vectoriel deCZ.
(b) Étant donnéf ∈CZ, on définitE(f)∈CZparE(f)(k) =f(k+ 1).
Montrer queE∈ L(CZ), et queV est stable parE.
On note encoreE l’endomorphisme induit parEsurV. (c) Montrer queE∈GL(V).
2. Pour touti∈Z, on posevi∈CZdéfinie pour tout k∈Zparvi(k) =δi,k, oùδi,k est le symbole de Kronecker, égal à1sii=k, et nul sinon.
(a) Montrer que la famille(vi)i∈Z est une base deV. (b) CalculerE(vi).
Partie II – Opérateurs quantiques
Soit ℓun entier impair supérieur ou égal à 3. Soit qune racine primitive ℓ-ième de1 dansC, c’est-à-dire une racine de 1engendrant multiplicativement le groupe des racines ℓ-ièmes de l’unité.
Soientλetµ dansCZ. On définit F etH dansL(V)par :
H(vi) =λ(i)vi et F(vi) =µ(i)vi+1.
1. Montrer que H◦E=q2E◦H si et seulement si pour touti∈Z,λ(i) =λ(0)q−2i.
Dans la suite du problème, on suppose cette condition satisfaite. On suppose de plus queλ(0)6= 0.
2. Montrer que H∈GL(V).
3. Montrer que E◦F =F◦E+H−H−1 si et seulement si pour touti∈Z, µ(i) =µ(i−1) +λ(0)q−2i−λ(0)−1q2i.
Dans la suite du problème, on suppose cette condition satisfaite.
4. Montrer que λet µsontℓ-périodiques (on ne demande pas de justifier queℓest la période minimale) 5. SoitC= (q−q−1)E◦F+q−1H+qH−1.
(a) Montrer queC= (q−q−1)F◦E+qH+q−1H−1.
(b) Montrer queC est une homothétie deV. On notek son rapport.
Partie III – Opérateurs quantiques modulaires On poseWℓ=
Mℓ−1
k=0
Cvi= Vect(v0, . . . , vℓ−1).
1
Soit a∈C∗. On définitPa de V dansV par :
Pa(vi) =apvr,
où pour i ∈ Z, on définit r et p respectivement comme le reste et le quotient de la division euclidienne de i par ℓ.
Autrement dit,i=pℓ+r, où06r < ℓ etp∈Z. 1. Montrer que Pa est un projecteur, d’imageWℓ.
On dit qu’un élémentϕdeL(V)est compatible avecPa siPa◦ϕ◦Pa =Pa◦ϕ.
2. (a) Montrer que siϕ∈ L(V)commute avecPa, alorsϕest compatible avecPa. (b) Montrer queH etH−1 sont compatibles avecPa.
SoitUq l’ensemble des endomorphismesϕ∈ L(E)compatibles avecPa. 3. Montrer que Uq est une sous-algèbre deL(V).
4. Montrer que E∈ Uq etF ∈ Uq.
5. (a) Montrer qu’il existe un unique morphisme d’algèbreΨa:Uq → L(Wℓ), tel que
∀ϕ∈ Uq, Ψa(ϕ)◦Pa =Pa◦ϕ.
(b) Montrer que ϕ∈ Uq est contenu dans le noyau deΨasi et seulement si l’image deϕest dans le sous-espace deV engendré par les vecteursvi−apvr,i∈Z, oùi=pℓ+rest la division euclidienne de iparℓ.
6. Donner une condition nécessaire et suffisante surk(défini dans la partie II) pour que Ψa(F)soit nilpotent.
2
