18 : Espaces vectoriels

Lycée Louis-Le-Grand,Paris MPSI 4– Mathématiques A. Troesch

Problème n

18 : Espaces vectoriels

Correction du problème 1– (Extrait de X-ENS 2013) – Opérateurs quantiques modulaires

Partie I – Opérateurs sur les fonctions à support fini

1. (a) • V est défini comme un sous-ensembe de C^Z;

• La suite nulle est à support fini (vide)

• Siuetvsont deux suites à supports finis, etλ∈C,(u+λv)(k)est nul dès lors queu(k) = 0etv(k) = 0.

Ainsi,Supp(u+λv)⊂Supp(u)∪Supp(v). Une union d’ensembles finis étant finie, on peut conclure que u+λv est aussi à support fini.

Ainsi, par caractérisation des sous-espaces vectoriels, V est un sous-espace vectoriel deC^Z .

(b) • E(f)est par définition une application deC^Z dans lui-même. Montrons sa linéarité : sif etgsont deux suites deC^Z, etλ∈CE(f +λg)est défini par :

∀k∈Z, E(f +λg)(k) = (f+λg)(k+ 1) =f(k+ 1) +λg(k+ 1) =E(f)(k) +λE(g)(k).

Ainsi,E(f+λg) =E(f) +λE(g). On en déduit la linéarité deE, puis E∈ L(C^Z).

• Si f ∈ V, alors E(f)(k) est nul dès lors que k+ 1 6∈ Supp(f). Ainsi, Supp(E(f)) ⊂ Supp(f)−1 = {k−1, k∈Supp(f)}.

On a même l’égalité, mais l’inclusion est suffisante pour conclure queE(f)est aussi à support fini, donc élément de V.

Ainsi, V est stable par E .

(c) On définitE˜ ∈ L(C^Z)de façon symétrique par :

∀f ∈C^Z, ∀k∈Z, E(f˜ )(k) =f(k−1).

L’argument précédent s’adapte bien pour justifier queE˜ peut se restreindre en un endomorphisme deV, et E˜ est clairement une réciproque deE. Ainsi,Eest un endomorphisme bijectif deV, donc un automorphisme deV : E∈GL(V).

2. Pour touti∈Z, on posevi∈C^Z définie pour toutk∈Zparvi(k) =δi,k, oùδi,k est le symbole de Kronecker, égal à1sii=k, et nul sinon.

(a) • Soitf ∈V, on a directement :

f = X

i∈Supp(f)

f(i)vi,

cette somme étant finie, donc étant bien définie, et définissant un objet de Vect(vi, i ∈ Z). Ainsi, la famille(vi)_i∈Z est une famille génératrice deV.

• Soit(λi)_i∈Zune famille de complexes presque tous nuls tels que X

i∈Z

λivi= 0,

le0 désignant la suite nulle. En évaluant cette égalité au pointk, il vient :

0 =X

i∈Z

λiδi,k=λk.

Ainsi,∀k∈Z,λk= 0, d’où la liberté de la famille(vi)i∈Z.

• Des deux points précédents, on déduit que (vi)_i∈Z est une base deV . (b) Soiti∈Z. Pour toutk∈Z, on a :

E(vi)(k) =vi(k+ 1) =δi,k+1=δi−1,k.

Ainsi, E(vi) =vi−1 .

Remarquez que c’est cohérent avec le fait que le support de E(f) est obtenu par translation de −1 du support def.

Partie II – Opérateurs quantiques

1. Une application linéaire étant entièrement déterminée par l’image d’une base, on a H ◦E = q²E◦H si et seulement si pour touti∈Z,H◦E(vi) =q²E◦H(vi), donc si et seulement siH(vi−1) =q²E(λ(i)vi), ou encore λ(i−1)vi−1=q²λ(i)vi−1. Ceci équivaut à dire que pour touti∈Z,λ(i) =q⁻²λ(i−1), doncλest géométrique (des deux côtés vers−∞et +∞)

Ainsi, par deux récurrences immédiates (l’une sur N l’autre sur Z₋), on obtient la condition nécessaire (et clairement suffisante) : ∀i∈Z,λ(i) =λ(0)q⁻²ⁱ .

2. H est dansL(V)par définition.

La condition de la question précédente étant imposée,λ(i) n’est nul pour aucune valeur de i. On peut alors définit l’endomorphismeH˜ deV de la même manière queH, par l’image des vecteurs de la base(vi):

H˜(vi) =λ(i)⁻¹vi.

AlorsH˜ est clairement réciproque deH doncH est un automorphisme : H ∈GL(V).

3. À nouveau, E◦F = F◦E+H −H⁻¹ si et seulement si ces deux applications linéaires coïncident sur les vecteurs de la base(vi), donc si et seulement si pour tout i∈Z,

E◦F(vi) =F◦E(vi) +H(vi)−H⁻¹(vi).

En explicitant ces expressions, on obtient la condition nécessaire et suffisante :

µ(i)vi=µ(i−1)vi+λ(i)vi−λ(i)⁻¹vi,

ce qui équivaut à

µ(i) =µ(i−1) +λ(0)q⁻²ⁱ−λ(0)⁻¹q²ⁱ , du fait de l’expression imposée desλ(i).

4. Puisque qest une racineℓ-ième de1, il en est de même de q⁻². Ainsi,(q⁻²)^ℓ= 1, donc λestℓ-périodique . La relation de récurrence trouvée pourµimplique que pour touti∈Z,

µ(i+ℓ) =µ(i) +λ(0)

ℓ

X

j=1

q^−2j+λ(0)⁻¹

ℓ

X

j=1

q^2j=µ(i) +λ(0)q^−2j1−(q⁻²)^ℓ

1−q⁻² +λ(0)⁻¹1−(q²)^ℓ

1−q² =µ(i),

puisqueq² etq⁻² sont des racinesℓ-ièmes de l’unité. Ainsi, µestℓ-périodique . 5. SoitC= (q−q⁻¹)E◦F+q⁻¹H+qH⁻¹.

(a) Les conditions de la question 3 étant réunies, on a

C= (q−q⁻¹)(F◦E+H−H⁻¹) +q⁻¹H+qH⁻¹.

Une simplification facile amène :

C= (q−q⁻¹)F◦E+qH+q⁻¹H⁻¹

(b) On justifie queC coïncide sur les éléments de la base(vi)avec une certain homothétie. Soiti∈Z. On a :

C(vi) = (q−q⁻¹)F(vi−1) +qλ(i)vi+q⁻¹λ(i)⁻¹vi= (µ(i−1)(q−q⁻¹) +qλ(i) +q⁻¹λ(i)⁻¹)vi.

Montrons que l’expressionki= (µ(i−1)(q−q⁻¹) +qλ(i) +q⁻¹λ(i)⁻¹)est indépendante dei. Cela provient du fait que la condition de la question 3 se réécrit :

µ(i) =µ(i−1) +λ(i)−λ(i)⁻¹.

On a alors, pour touti∈Z

ki+1 =µ(i)(q−q⁻¹) +qλ(i+ 1)−q⁻¹λ(i+ 1)⁻¹

= (µ(i−1) +λ(i)−λ(i)⁻¹)(q−q⁻¹) +q⁻¹λ(i)−qλ(i)⁻¹

=µ(i)(q−q⁻¹) +qλ(i)−q⁻¹λ(i)⁻¹)

=ki.

Ainsi, pour touti∈Z, ki+1 =ki, donc (ki) est une suite constante, égale à un certain réelk. On a alors, pour touti∈Z,C(vi) =kvi. Ainsi,C coïncide sur la base(vi)aveckId. On en déduit queC=kId, donc queC est une homothétie de rapportk .

Partie III – Opérateurs quantiques modulaires

1. Pour touti∈[[0, ℓ−1]], la division euclidienne deiparℓs’écriti=pℓ+ravecp= 0etr=i. Ainsi,Pa(vi) =vi. Par linéarité, cette égalité reste vraie surWℓ: Wℓest inclus dans l’ensemble des points fixes.

Soit maintenant i ∈ Z, et p et r le quotient et le retse de la division euclidienne de i par ℓ. D’après ce qui précède, puisquer∈[[0, ℓ−1]],

Pa◦Pa(vi) =Pa(a^pvr) =a^pPa(vr) =a^pvr=Pa(vi).

Ainsi,Pa◦Pa et Pa coïncident sur une base, donc sont égales. On en déduit que Pa est un projecteur . Par définition,Pa(Wℓ)⊂Wℓ, et on a vu que les points deWℓsont tous des points fixes (donc sont dans l’image dePa). Ainsi, Im(Pa) =Wℓ.

2. (a) Supposons queϕ∈ L(V)commute avecPa. On a alors :

Pa◦ϕ◦Pa =Pa◦Pa◦ϕ=Pa◦ϕ.

Ainsi, ϕest compatible avecPa .

(b) Soiti∈Z, etpet rle quotient et le reste de la division euclidienne deiparℓ. On a

Pa◦H◦Pa(vi) =Pa◦H(a^pvr) =Pa(a^pλ(r)vr) =a^pλ(r)vr. D’un autre côté,

Pa◦H(vi) =Pa(λ(i)vi) =λ(i)a^pvr.

Or,λest ℓ-périodique, doncλ(i) =λ(r). Ainsi, Pa◦H◦Pa et Pa◦H coïncident sur une base, donc sont égales. On en déduit que H est compatible avecPa.

PuisqueH⁻¹est défini commeH en remplaçantλparλ⁻¹qui est aussiℓ-périodique, on peut aussi affirmer que H⁻¹ est aussi compatible avecPa .

3. • L’application nulle est évidemment compatible avecPa.

• La bilinéarité de la composition des applications linéaires montre queUqest stable par combinaisons linéaires.

• L’application identité est dansUq carPa◦Pa=Pa

• Si uetv sont dansUq,u◦v également, car :

Pa◦u◦v◦Pa = (Pa◦u◦Pa)◦v◦Pa=Pa◦u◦(Pa◦v◦Pa) =Pa◦u◦(Pa◦v) = (Pa◦u◦Pa)◦v= (Pa◦u)◦v.

Ainsi, Uq est une sous-algèbre de L(V).

4. On a, pour tout i∈ZZ, avec les notations précédentes

Pa◦E◦Pa(vi) =Pa◦E(a^pvr) =Pa(a^pvr−1) =







a^pvr−1 sir6= 0 a⁻¹a^pvℓ−1 sir= 0.

D’un autre côté, siℓne divise pasi(doncr6= 0), le reste de la division euclidienne dei−1parℓestr−1, et le quotientp, alors que siℓdivisei, alors le reste de la division euclidienne dei−1parℓest ℓ−1 et le quotient p−1. On a donc :

Pa◦E(vi) =Pa(vi−1) =







a^pvr−1 sia6= 0 a^p−1vℓ−1 sir= 0.

On conclut comme précédemment queE est compatible avecPa, donc E∈ Uq . Un raisonnement similaire convient pourF :

Pa◦F◦Pa(vi) =Pa◦F(a^pvr) =Pa(µ(r)a^pvr+1) =







µ(r)a^pvr+1 sir6=ℓ−1 µ(r)a^p+1v0 sir=ℓ−1, alors que d’un autre côté :

Pa◦F(vi) =Pa(µ(i)vi+1) =







µ(i)a^pvr+1 sir6=ℓ−1 µ(r)a^p+1v0 sir=ℓ−1.

On conclut en utilisant laℓ-périodicité deµ: F ∈ Uq . 5. (a) On procède par analyse-synthèse :

• Analyse. Soitϕ∈ Uq, et supposons qu’il existeΨa(ϕ) =ψ∈ L(Wℓ)tel queψ◦Pa=Pa◦ϕ. Pour tout i∈[[0, ℓ−1]], on a alors

ψ(vi) =ψ(Pa(vi)) =Pa◦ϕ(vi).

Ainsi, ψ(vi)est défini de façon unique. Ceci prouve l’unicité de Ψa(ϕ) (les vi, 0 6i < ℓ formant une base de Wℓ), sous reserve d’existence, donc aussi l’ unicité de Ψa .

• Synthèse. Pour tout ϕ∈ Uq, on définitΨa(ϕ)∈ L(Wℓ)par l’image de la base(v0, . . . , vℓ−1):

Ψa(ϕ)(vi) =Pa◦ϕ(vi).

Cela définit bien une application linéaire Ψa(ϕ). Par conséquent, Ψa est définie de Uq dans Wℓ. Par ailleurs, la linéarité de Pa montre queΨa est linéaire. Enfin, pour toutϕetψdansUq,

Ψa(ϕ◦ψ) =Pa◦ϕ◦ψ= (Pa◦ϕ◦Pa)◦ψ= Ψa(ϕ)◦Ψa(ψ).

Ainsi, Ψa est un morphisme d’algèbre .

(b) On remarque que par définition,ϕ∈Ker(Ψa)si et seulement siIm(ϕ)⊂Ker(Pa). On décrit doncKer(Pa):

• Soitu=X

i∈I

λivi∈Ker(Pa), lesλi étant presque tous nuls. On a alors

u=

ℓ−1

X

r=0

X

p∈Z

λpℓ+rvpℓ+r,

d’où

0 =Pa(u) =

ℓ−1

X

r=0

X

p∈Z

λpℓ+ra^pvr.

Ainsi, par liberté de la famille(vi), pour toutr∈[[0, ℓ−1]],

X

p∈Z

λpℓ+ra^p= 0 donc: λr=−X

p∈Z^∗

λpℓ+ra^p.

On peut alors réécrire :

u=

ℓ−1

X

r=0



 X

p∈Z^∗

λpℓ+rvpℓ+r− X

p∈Z^∗

λpℓ+ra^pvr



=

ℓ−1

X

r=0



 X

p∈Z^∗

λpℓ+r(vPℓ+r−a^pvr



.

Toutes les sommes considérées sont finies, ce qui justifie toutes les manipulations qu’on effectue dessus, et qui assure qu’à l’issue de ce calcul, on peut conclure que

Ker(Pa)⊂Vect(vPℓ+r−a^pvr, p∈Z^∗, r∈[[0, ℓ−1]]).

• Réciproquement, la définition de Pa amène directement, pour toutp∈Z^∗ et toutr∈[[0, ℓ−1]],

vPℓ+r−a^pvr∈Ker(Pa),

d’où l’inclusion réciproque :Vect(vPℓ+r−a^pvr, p∈Z^∗, r∈[[0, ℓ−1]])⊂Ker(Pa).

• On en déduit que

Ker(Pa) = Vect(vPℓ+r−a^pvr, p∈Z^∗, r∈[[0, ℓ−1]]) , puis que

Ker(Ψa) ={ϕ∈ Uq|Im(ϕ)⊂Vect(vPℓ+r−a^pvr, p∈Z^∗, r∈[[0, ℓ−1]]).

6. Ψa(F)est nipotent s’il existen∈N^∗tel queΨa(F)ⁿ= 0, donc,Φaétant un morphisme d’algèbre, siΨa(Fⁿ) = 0.

Or,Fⁿ envoievj surµ(i)· · ·µ(j+n−1)vi+n. Supposons queFⁿ(vi)∈Vect(vj−a^pvr). ces derniers vecteurs étant nuls pouri∈[[0, ℓ−1]], on peut donc écrire

Fⁿ(vi) X

j6∈[[0,ℓ−1]]

λj(vj−a^p(j)vr(j)).

• Si i+n6∈[[0, ℓ−1]], L’identification des composantes survj,j∈∈[[0, ℓ−1]], amène alors

λi+n=µ(i)· · ·µ(j+n−1) et λj = 0sij6=i+n.

Ainsi, siFⁿ(vi)∈Vect(vj−a^pvr), alors

Fⁿ(vi) =µ(i)· · ·µ(j+n−1)(vi+n−a^p(i+n)v_r(i+n)).

En comparant à l’expression initiale, on a nécessairementµ(i)· · ·µ(j+n−1) = 0, et au final,F lui-même est nilpotent, et au moins un des coefficients de la suiteµest nul.

• Si i+n∈[[0, ℓ−1]], on obtient la même chose, lesli étant ici directement tous nuls

La question précédente nous permet alors d’affirmer queΦa(F)est nilpotent si et seulement si l’un des termes de la suiteµest nul (la réciproque étant évidente, en considérantF^ℓ, en se sovenant queµest ℓ-périodique).

En utilisant l’expression du facteur d’homothétiektrouvé dans la partie II, on trouver la CNS sur k: Φa(F) est nilpotent si et seulement si il existeitel que

k=qλ(i) +q⁻¹λ(i)⁻¹=λ(0)(q^−(2i−1)+q²ⁱ⁻¹).

Ainsi, Ψa(F)est nilpotent ssik∈ {λ(0)(q^−(2i−1)+q²ⁱ⁻¹), i∈[[0, ℓ−1]]}.