Chapitre 5 Les espaces vectoriels

(1)

Chapitre 5

Les espaces vectoriels

Cours de math´ ematiques de BCPST Deuxi` eme ann´ ee

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1 Structure d’espaces vectoriels 2

1.1 Premi`ere id´ee . . . 2

1.2 Notion d’espace vectoriel . . . 3

1.3 Notion de sous-espace vectoriel . . . 5

1.4 Cons´equences directes . . . 7

1.5 Sous-espace engendr´e par une famille . . . 8

2 Base d’un espace vectoriel 10 2.1 Famille g´en´eratrice . . . 10

2.2 Famille libre . . . 12

2.3 Base . . . 15

3 Dimension d’un espace vectoriel 16 3.1 D´efinition . . . 16

3.2 Dimension et Famille libre . . . 18

3.3 Dimension et Famille g´en´eratrice . . . 18

3.4 Dimension et Base . . . 19

3.5 Inclusion de sous-espaces vectoriels . . . 19

4 Interpr´etation matricielle 20 4.1 Notions de coordonn´ees . . . 20

4.2 Notion de Rang . . . 21

4.2.1 Rang d’une famille . . . 21

4.2.2 Rang d’une matrice . . . 22

4.2.3 Matrices échelonnées . . . 23 5 Exercices du td Révision d’algèbre linéaire 25

(3)

Chapitre 5: Les espaces vectoriels Structure d’espaces vectoriels

Le but de ce chapitre est de reprendre les concepts d’algèbre linéaire développés en première année et de les généraliser à d’autres situations que Kⁿ. On se rend compte facilement que de nombreux objets mathématiques présentent des similitudes, c’est donc tout naturellement que l’on a éprouvé le besoin de construire un cadre général qui englobe tous ces objets, afin de pouvoir démontrer en une seule fois des résultats importants qui s’appliquent à chaque fois.

Dans tout ce chapitre, on note :

• K pour d´esigner R ouC.

• n un entier naturel non nul.

• E un K espace vectoriel quelconque,E n’est en particulier pas de dimension finie.

1 Structure d’espaces vectoriels

1.1 Premi` ere id´ ee

Notons (S₁) le syst`eme suivant d’inconnue (x, y, z, t)∈K⁴ : (S₁) :

( x+ 2y+ 3z = 0 y+ 10z = 0

On prouve sans difficult´e que S₁, l’ensemble des solutions de (S₁) est : S1 =

(17z,−10z, z, t) avec (z, t)∈K²

=

z(17,−10,1,0) +t(0,0,0,1) avec (z, t)∈K² . Soit S₂, l’ensemble des suites (u_n)_n∈

N telles que :

∀n∈N, u_n+2 =u_n+1+u_n. On prouve sans probl`eme que :

S₂ = (

a

1 +√ 5 2

!n!

n∈N

+b

1−√ 5 2

!n!

n∈N

avec (a, b)∈K² )

.

Soit S₃, l’ensemble des fonctions deux fois d´erivable ϕtelle que :

∀x∈R, 3ϕ⁰⁰(x)−18ϕ⁰(x) + 24ϕ(x) = 0.

On prouve sans probl`eme que : S3 =

ϕ:x7→aexp (4x) +bexp (2x) avec (a, b)∈K² . Il suffit maintenant de poser :

e1 = (17,−10,1,0), e2 = (0,0,0,1) e₃ =





1 +√ 5 2

!n+1



n∈N

, e₄ =





1−√ 5 2

!n+1



n∈N

e₅ :x7→exp (4x), e₆ :x7→exp (2x) On a alors :

S₁ =

ae₁ +be₂ avec (a, b)∈K² S₂ =

ae₃ +be₄ avec (a, b)∈K² S₃ =

ae₅ +be₆ avec (a, b)∈K²

(4)

1.2 Notion d’espace vectoriel

Soit G un ensemble. On dit que G est un K- espace vectoriel si on peut d´efinir les deux applications + et · suivantes :

1. + :G×G−→G(loi de composition interne)

2. ·:K×G−→G (loi de composition externe)

ce qui signifie que :

∀(a, x, y)∈K×G², x+y∈G et a·x∈G

et que ces deux opérations vérifient les propriétés suivantes pour tout (u, v, w, a, b) ∈ G³×K² :

1. u+ (v +w) = (u+v) +w 2. u+v =v +u

3. Il existe un élément deGnoté 0_G tel que :u+ 0_G=u

4. Il existe un élément de G noté −u tel que : u+ (−u) = 0_G

5. 1·u=u

6. (a+b)·u=a·u+b·u 7. a·(v+w) =a·v+a·w 8. a·(b·u) = (a×b)·u

• 0_G est alors appel´e vecteur nul.

• Les éléments de K sont appelés les scalaires.

• Les éléments de Gsont alors appelés les vecteurs.

D´efinition 1

* Remarque :

Un espace vectoriel n’est jamais vide, il contient nécessairement l’élément neutre de son addition.

+ Mise en garde :

Attention, il n’y a pas, a priori, de produit entre vecteurs. On peut multiplier les scalaires, pas les vecteurs !

(5)

Soit a un ´el´ement deK.

1. Soientx= (x₁,· · ·, x_n) et y= (y₁,· · · , y_n) deux ´el´ements deKⁿ.

• On définit l’égalité de deux éléments de Kⁿ par :

x=y⇐⇒x₁ =y₁, x₂ =y₂,· · · , x_n=y_n

• On définit l’addition de deux éléments deKⁿ par : x+y= (x1+y1,· · · , xn+yn).

• On définit le produit d’un éléments de Kⁿ par un scalaire par : a·x= (a×x₁,· · · , a×x_n).

2. SoientA= (a_i,j)16i6n,16j6p etB = (b_i,j)16i6n,16j6p deux ´el´ement deM_n,p(K).

• On définit l’égalité de deux éléments de M_n,p(K) par :

A=B ⇐⇒Pour tout (i, j) de J1, nK×J1, pK, on a : ai,j =bi,j.

• On définit l’addition de deux éléments deM_n,p(K) par : A+B = (a_i,j +b_i,j)16i6n,16j6p.

• On définit le produit d’un éléments de M_n,p(K) par un scalaire par : aA = (a a_i,j)16i6n,16j6p.

3. Soientf etg deux fonctions d´efinies sur D une partie de R.

• On définit l’égalité de deux éléments de F(D,R) par :

f =g ⇐⇒Pour toutx de D, on a :f(x) =g(x).

• On définit l’addition de deux éléments deF(D,R) par : f+g :x7→f(x) +g(x)

• On définit le produit d’un éléments de F(D,R) par un scalaire par : af :x7→af(x)

D´efinition 2

, Exemple :

Munis des opérations rappelées dans la définition précédente, les ensembles suivants sont des espaces vectoriels :

• {0} est unR-espace vectoriel et un C-espace vectoriel.

• R est un R-espace vectoriel.

• C est un R-espace vectoriel et un C-espace vectoriel.

• Cⁿ est unR-espace vectoriel et un C-espace vectoriel..

• Rⁿ est unR-espace vectoriel. Par contre, ce n’est pas un C-espace vectoriel.

(6)

• C^N est unR-espace vectoriel et un C-espace vectoriel.

• R^N est unR-espace vectoriel. Par contre, ce n’est pas un C-espace vectoriel.

• M_n,p(C) est un R-espace vectoriel et unC-espace vectoriel.

• M_n,p(R) est un R-espace vectoriel. Par contre, ce n’est pas unC-espace vectoriel.

• L’ensemble des polynˆomes `a coefficient dansR est unR-espace vectoriel. Par contre, ce n’est pas un C-espace vectoriel.

• L’ensemble des polynˆomes `a coefficient dans C est un R-espace vectoriel et un C-espace vectoriel.

• L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène.

• L’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène.

• L’ensemble des variables aléatoires réelles sur un espace probabilisé (Ω,P(Ω), P) est un R- espace vectoriel.

* Remarque :

Si on dit G est un espace vectoriel, le corps des scalaires est sous-entendu. Le contexte indique s’il s’agit deRou deC. Notez aussi que toutC-espace vectoriel est unR-espace vectoriel en restreignant la multiplication par les scalaires `a R.

1.3 Notion de sous-espace vectoriel

Soit G une partie de E. On dit que G est un K sous-espace vectoriel de E si les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :

1. 0_E ∈G.

2. ∀x∈G, ∀λ∈K,λx ∈G.

3. ∀(x, y)∈G²,x+y∈G.

D´efinition 3

* Remarque :

Un sous-espace vectoriel deE n’est jamais vide, il contient n´ecessairement 0_E.

SoitGune partie deE.Gest unKsous-espace vectoriel deE si et seulement si les deux conditions suivantes sont v´erifi´ees :

1. 0_E ∈G.

2. ∀(x, y, λ)∈G²×K, λx+y ∈G.

Proposition 4

(7)

Soit Gune partie de E. On a l’´equivalence suivante :

Gest un K espace vectoriel ⇐⇒ Gest un K sous-espace vectoriel.

Proposition 5

M´ethode:

1. Pour prouver qu’un ensemble Gest un espace vectoriel, on proc`ede ainsi :

• Etape 1 :´

On cherche un ensembleE tel que Gsoit une partie de E etE est, d’après le cours, unK espace vectoriel (cf les exemples déjà donnés d’espace vectoriel).

• Etape 2 :´

On montre que 0E est un ´el´ement deG.

• Etape 3 :´

On prend deux élémentsxetydeG, un scalaireλ(un réel si on parle deRsous-espace vectoriel, un complexe si on parle de C sous-espace vectoriel) et on démontre queλx+y∈ G.

On ne vous demandera jamais de vérifier les axiomes, on ne prouvera donc jamais qu’un ensemble est un espace vectoriel mais uniquement qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel d’un ensemble dont on sait déjà que c’est un espace vectoriel.

2. Pour prouver qu’une partie G deE n’est pas un sous-espace vectoriel de E, il suffit de :

• Ou bien démontrer que 0_E n’est pas un élément de G.

• Ou bien on trouve un élément x deG et un scalaire λ tels que λx n’appartienne pas àG.

• Ou bien on trouve deux éléments x et y deG tels que x+y n’appartienne pas à G.

, Exemple :

Les ensembles suivants sont des espaces vectoriels :

• {(a+b,2b, b−a),(a, b)∈R²}. C’est un sous-espace vectoriel deR³.

• {(x, y, z, t)∈C⁴ tel que x= 2z}. C’est un sous-espace vectoriel de C⁴.

• Une droite de Rⁿ passant par l’origine est un sous-espace vectoriel de Rⁿ.

• Une plan deRⁿ (en supposantn>2) passant par l’origine est un sous-espace vectoriel de Rⁿ.

• Rn[X]. C’est un sous-espace vectoriel deR[X]

• Cⁿ(D) avec Dun ensemble de r´eels. C’est un sous-espace vectoriel de F(D,R).

• C^∞(D) avec Dun ensemble de r´eels. C’est un sous-espace vectoriel de F(D,R).

• L’ensemble des fonctions de R dans Rpaires, l’ensemble des fonctions de R dans R impaires.

C’est un sous-espace vectoriel de F(R,R).

• L’ensemble des fonctions de R dansR T-p´eriodiques avec T un r´eel strictement positif. C’est un sous-espace vectoriel de F(R,R).

• L’ensemble des suites (un)_n∈

N telles que :

∀n ∈N, u_n+2 =u_n+1+u_n. C’est un sous-espace vectoriel de R^N.

• L’ensemble des matrices diagonales d’ordre n, c’est un sous-espace vectoriel deM_n(C).

(8)

• L’ensemble des matrices triangulaires d’ordre n, c’est un sous-espace vectoriel de M_n(C).

• L’ensemble des matrices sym´etriques d’ordren, c’est un sous-espace vectoriel de M_n(C).

, Exemple :

Les ensembles suivants ne sont pas des sous-espaces vectoriels :

• L’ensemble des polynˆomes de degr´e n.

• L’ensemble des matrices inversibles d’ordre n.

• L’ensemble des fonctions positives.

• L’ensemble des suites g´eom´etriques.

• L’ensemble des fonctions de Rdans R discontinue en 0.

+ Mise en garde :

1. {(a+b,2b, b−a),(a, b)∈R²} est bien un sous-espaces vectoriels de R³ et pas de R². Il ne faut pas confondre le nombre de coordonnées des vecteurs (3 ici) et le nombre de données nécessaires (ici 2, connaˆıtre a et b suffit).

2. {(x, y, z, t)∈C⁴ tel que x= 2z} a bien du sens, ce n’est pas grave si, dans les ´equations, des coordonn´ees n’interviennent pas. Cela signifie juste qu’elles sont quelconques. Par contre, {(x, y, z)∈R³ tel que x= 2t} n’aurait pas de sens !

- Exercice 1 :

On appelle A l’ensemble des fonctions numérique positive et B l’ensemble des éléments de R5[X]

s’annulant en 10. Ces ensembles sont-ils des espaces vectoriels ?

1.4 Cons´ equences directes

Pour tout (u, a)∈E×K, on a :

• a·0E = 0E et 0·u= 0E

• a·u= 0_E ⇐⇒u= 0_E ou a= 0

• (−a)·u=a·(−u) =−(a·u)

On en d´eduit que pour tout ((u, a),(v, b))∈(E×K)², on a :

• a·u=a·v ⇐⇒u=v oua= 0

• a·u=b·u⇐⇒u= 0_E ou a=b Proposition 6

L’intersection de deux sous-espace vectoriel deE est un sous-espace vectoriel deE. Proposition 7

+ Mise en garde :

(9)

1. Une réunion de sous-espaces vectoriels n’est pas en général un sous-espace vectoriel (cf exemple de deux droites vectorielles distinctes !). SiAetB sont deux sous-espace vectoriel deE,A∪B est un sous-espace vectoriel de E uniquement si A⊂B ou B ⊂A.

2. Attention, on n’a pas dit que l’intersection d’espaces vectoriels ´etaient un espace vectoriel. On peut prendre le contre-exemple suivant : R² etR³ sont deux espaces vectoriels mais R²∩R³, qui est ∅, n’est pas un espace vectoriel.

, Exemple :

Les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de R³ :

1. A ={(x, t, z)∈R³ tel que x= 2t}. 2. B ={(x, t, z)∈R³ tel que z =t}.

Ce sont des plans.A∩B est aussi un sous-espace vectoriel deR³, c’est une droite, c’est l’ensemble suivant :

A∩B =

(x, t, z)∈R³ tel que x−2t=z−t= 0 .

1.5 Sous-espace engendr´ e par une famille

Une famille denvecteurs deEest un ´el´ement de (E)ⁿ. Ainsi, sie₁,· · ·, e_nsontnvecteurs de E, (e₁,· · · , e_n) est une famille de vecteurs deE.

D´efinition 8

, Exemple :

1. ((1,2),(3,4),(−2,1)) est une famille à 3 éléments de R².

2. (2 +X³,5X⁴+X², X³, X²−X) est une famille de 4 ´el´ements de R5[X].

+ Mise en garde :

Attention, quand on parle d’une famille (e₁,· · · , e_n) de E, les e_i sont des éléments de E, i.e. des vecteurs. Quand on parle d’un élément (e₁,· · · , e_n) de Kⁿ, les e_i sont des éléments de K (i.e. des scalaires).

Soit x un ´el´ement d’un E. Soit (e₁,· · · , e_n) une famille de vecteurs de E.

• On dit que x est une combinaison lin´eaire de (e₁,· · · , e_n) s’il existe n scalaires a₁,· · · , a_n tels que :

x=a₁e₁+· · ·+a_ne_n.

• L’ensemble des combinaisons de (e₁,· · · , e_n) est appel´e Vect (e₁,· · · , e_n). On a donc :

Vect (e1,· · ·, en) ={a1e1+· · ·+anen,(a1, . . . , an)∈Kⁿ} D´efinition 9

(10)

+ Mise en garde :

Vect (e₁,· · ·, e_n) n’est pas un vecteur. C’est un ensemble de vecteurs qui comporte (`a moins que les e₁,· · · , e_n soient n vecteurs nuls) une infinit´es de vecteurs.

, Exemple :

1. (15,21,27,31) est une combinaison lin´eaire de (2,3,4,0), (5,6,7,0) et (0,0,0,1) car : (15,21,27,31) = 5·(2,3,4,0) + (5,6,7,0) + 31·(0,0,0,1).

On peut donc dire que (15,21,27,31) est un ´el´ement de Vect ((2,3,4,0),(5,6,7,0),(0,0,0,1)).

2. Posons P = 2X+X⁴. P est une combinaison lin´eaire de X et X⁴.

3. Sif :x7→cos(2x+ 5),g :x7→cos(2x) eth:x7→sin(2x) alorsf est une combinaison lin´eaire de g eth car, pour tout r´eel x, on a :

f(x) = cos(2x+ 5)

= cos(2x) cos(5)−sin(2x) sin(5).

On peut donc dire que f appartient `a Vect (g, h).

4. On a d´ej`a vu que si (u_n)_n∈

N est une suite telle que :

∀n ∈N, u_n+2 =u_n+1+u_n. alors il existe a etb deux r´eels tels que :

∀n ∈N, u_n =a 1 +√ 5 2

!n+1

+b 1−√ 5 2

!n+1

.

(un)_n∈

Nest donc une combinaison lin´eaire de





1 +√ 5 2

!n+1



n∈N

et





1−√ 5 2

!n+1



n∈N

.

+ Mise en garde :

On reprend l’exemple avec f : x 7→ cos(2x+ 5), g : x 7→ cos(2x) et h : x 7→ sin(2x). Comme pour tout r´eel x, on a :

f(x) = cos(2x) cos(5)−sin(2x) sin(5)

on peut dire que f est une combinaison linéaire de g et h. Attention, ne pas dire que f est une combinaison linéaire de x 7→ cos(5) et x 7→ sin(5) à cause de l’égalité précédente. Reprenons les notations de la proposition : Quand on écrit x = a₁e₁ +· · ·+a_ne_n, les a_i sont des scalaires et les e_i des vecteurs. Dans l’espace des fonctions de R dans R, g et h sont bien des vecteurs et cos(5) et

−sin(5) des scalaires. L’inverse n’est pas vrai !

(11)

Chapitre 5: Les espaces vectoriels Base d’un espace vectoriel

Soit (e₁,· · · , e_n) une famille de E.

• Vect (e₁,· · · , e_n) est unK-espace vectoriel, il est appel´e sous-espace vectoriel engendr´e par e1,· · · , en.

• Vect (e₁,· · · , e_n) est le plus petit espace vectoriel contenant les vecteurs e₁,· · ·, e_n. Cela signifie que si G est un espace vectoriel contenant les vecteurs e1,· · ·, en alors on a Vect (e1,· · · , en)⊂G.

Proposition 10

, Exemple :

• Soit xun vecteur non nul de E. Vect (x) est alors appel´ee droite vectorielle engendr´ee parx.

• Soient v₁, v₂ deux vecteurs non colinéaires de E. Vect (v₁, v₂) est alors appelée plan vectoriel engendré par v₁ et v₂.

2 Base d’un espace vectoriel

2.1 Famille g´ en´ eratrice

Une famille (e₁,· · · , e_n) de E est dite g´en´eratrice deE si : E = Vect (e₁,· · · , e_n).

D´efinition 11

Une famille (e₁,· · · , e_n) de E est g´en´eratrice de E si et seulement si on a :

∀ x∈E,∃ (a₁,· · · , a_n)∈Kⁿ tels que x=a₁e₁+· · ·+a_ne_n. Proposition 12

* Remarque :

1. Une famille génératrice de E est donc une famille contenant suffisamment d’information pour engendrer E en entier. C’est un résumé de l’information de E.

2. Le caractère générateur d’une famille ne dépend pas de l’ordre des éléments.

(12)

3. Le caractère générateur est une propriété extrinsèque, on parle de famille génératrice de E.

Cela n’a donc a priori aucun sens de dire qu’une famille est génératrice sans préciser de quel sous-espace elle l’est. Toute famille est génératrice de l’espace qu’elle engendre ! Toute famille (e₁, ..., e_n) est génératrice de Vect (e₁,· · ·, e_n).

4. Par convention, lorsqu’on dit qu’une famille est génératrice (sans préciser de quel sous-espace), on sous-entend qu’elle est génératrice de l’espace ambiant tout entier.

, Exemple :

1. ((1,0),(1,1)) est une famille génératrice de R². ((1,0),(2,3),(1,1)) est aussi une famille génératrice de R².

2. ((1,0),(2,3),(1,1)) n’est pas une famille génératrice de R³. 3. ((1,0,0),(1,1,1)) n’est pas une famille génératrice de R³. 4. ((1,0,0),(1,0,1),(1,1,1)) est une famille génératrice de R³.

5. ((1,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(5,4,1),(3,2,1)) est aussi une famille génératrice de R³. 6. (1, X, X², X³) est une famille génératrice de R3[X].

7. (Xⁱ)i∈N est une famille g´en´eratrice de R[X].

8. Pour tout (i, j)∈J1, nK

2, on consid`ere les matrices E_i,j d’ordren d´efinies par : Pour tout (i, j)∈J1, nK

2, Ei,j = (ak,l)16k6n,16l6n avec ak,l =

(0 si k 6=i oul 6=j 1 si k =i et l=j . (E_i,j)16i6n,16j6n est une famille g´en´eratrice de M_n(K).

+ Mise en garde :

(1, X, X², X³) n’est pas une famille génératrice de R2[X]. Reprenons les notations de la définition : On ne veut pasE ⊂ Vect (e₁,· · ·, e_n) maisE = Vect (e₁,· · ·, e_n). La première qualité d’une famille génératrice de E est d’être une famille de E.

Soient (e₁,· · · , e_r) une famille de E et (f₁,· · · , f_q) la famille obtenue `a partir de (e₁,· · · , e_r) en effectuant l’une des op´erations suivantes :

1. Permuter les vecteurs de (e₁,· · · , e_r).

2. Ajouter `a l’un des vecteurs de (e₁,· · · , e_r) une combinaison lin´eaire des autres.

3. Multiplier un des vecteurs de (e₁,· · · , e_r) par un scalaire non nul.

4. Enlever un vecteur de (e1,· · · , er) qui serait combinaison lin´eaire des autres (en particulier le vecteur nul ou les vecteurs redondants).

On a alors :

Vect (e₁,· · · , e_r) = Vect (f₁,· · ·, f_q) Proposition 13

(13)

• Toute famille de E contenant une famille génératrice deE est génératrice de E.

• Toute famille de E engendrant une famille génératrice deE est génératrice deE.

Proposition 14

+ Mise en garde :

Par contre, une partie d’une famille génératrice de E n’est pas nécessairement génératrice de E.

Enlever des vecteurs à une famille génératrice est donc un acte dangereux ! ((1,0,0),(1,0,1),(1,1,1)) est une famille génératrice de R³ mais ((1,0,0),(1,0,1)) n’est pas une famille génératrice de R³.

M´ethode:

• Pour montrer que (e₁,· · · , e_n), une famille de E, est g´en´eratrice de E, il faut prendre un

´

el´ement quelconque x deE et chercher (a1,· · · , an)∈Kⁿ tels que : x=a₁e₁+· · ·+a_ne_n.

Une fois traduit cette égalité dans une base, cela revient à résoudre un système linéaire. Ce système doit toujours avoir au moins une solution, il ne doit pas y avoir de condition sur le x précédent.

• Pour trouver une famille génératrice deE, on chercher à exprimer E sous la forme suivante : E = Vect (e₁,· · · , e_n).

(e₁,· · · , e_n) est alors une famille g´en´eratrice de E.

2.2 Famille libre

• Une famille (e1,· · · , en) de E est dite libre (ou lin´eairement ind´ependant) si on a :

Pour tout (a₁,· · · , a_n)∈Kⁿ, a₁e₁+· · ·+a_ne_n= 0_E =⇒a₁ =· · ·=a_n= 0.

Cela signifie que la d´ecomposition du vecteur nul sur cette famille est alors unique.

• Une famille de vecteur qui n’est pas libre est dite liée (ou linéairement dépendant).

D´efinition 15

* Remarque :

On a donc une famille libre lorsque les vecteurs de cette famille ne sont pas des combinaisons linéaires des autres. Dans une famille liée, au contraire, un des vecteurs est combinaison linéaire des autres.

M´ethode:

(14)

• Pour montrer que (e₁,· · · , e_n), une famille de E, est une famille libre, on prend des scalaires quelconques (a₁,· · · , a_n) et on suppose qu’ils vérifienta₁e₁+· · ·+a_ne_n= 0_E. On prouve alors, par le calcul, que nécessairement a₁ = · · · = a_n = 0. Pour cela, on explicite les e_i dans une base puis on développe l’égalité X

16i6r

a_ie_i = 0_E et enfin on identifie les coefficients .

• Dans les espaces de fonctions, on peut utiliser des outils spécifiques aux fonctions : Identifier en des points particuliers, prendre des limites, dériver cette relation, faire un développement limité, utiliser la régularité de X

16i6r

a_ie_i (qui est de classe C^∞ puisque c’est 0_E)...

* Remarque :

Il faut bien comprendre qu’´ecrire v = 0E n’a pas la mˆeme signification suivant l’espace E que l’on manipule :

1. Si E estKⁿ alors v s’´ecrit (x₁,· · · , x_n) et :

x₁ = 0, x₂ = 0,· · · , x_n= 0.

2. Si E estM_n,p(K) alors v s’´ecrit (a_i,j)16i6n,16j6p et :

Pour tout (i, j) de J1, nK×J1, pK, on a :a_i,j = 0.

3. Si E estF(R,R) alorsv est une fonction d´efinie sur Ret : Pour tout r´eel x, on a : v(x) = 0.

, Exemple :

• Voici quelques familles libres : 1. ((1,1)).

2. ((1,1),(3,4)).

3. (1 +X³,2−X², X).

4. (1 +X³,2−X², X,5X−7X²).

5. (sin,cos,exp).

6. (sin,cos, θ7→exp (iθ)) dans le R-espace vectoriel C^R.

• Voici quelques familles li´ees : 1.

1 0 0 1

,

2 0 1 2

,

1 0 1 1

. 2. ((1,1),(3,4),(5,6)).

3. (1 +X³,2−X², X,5X−7X², X +X²).

4. (sin,cos, θ7→exp (iθ)) dans le C-espace vectoriel C^R. 5. (x7→1, x7→cos(2x), x7→cos²(x)) est li´ee.

(15)

Ainsi, une famille (e1,· · · , en) deE est donc li´ee si et seulement si il existe des scalaires a₁,· · · , a_n non tous nuls tels que :

a₁e₁ +· · ·+a_ne_n= 0_E. Proposition 16

* Remarque :

On parle de famille libre ou li´ee. Cela ne d´epend pas de l’espace vectoriel dans lequel on se place.

Par contre, on parle de famille génératrice de E. Parler de famille génératrice sans préciser l’espace n’a pas d’intérêt, toute famille étant génératrice de l’espace qu’elle engendre.

Soient u etv deux vecteurs de E.

• (u) est une famille libre si et seulement si u n’est pas 0_E.

• (u, v) est une famille libre si et seulement si (u, v) ne sont pas colin´eaires.

• (u, v) est une famille li´ee si et seulement si (u, v) sont colin´eaires.

Proposition 17

+ Mise en garde :

La précédente équivalence n’est pas vraie pour les familles comportant plus de 3 vecteurs. Par exemple, les vecteurs de ((1,1),(3,4),(2,5)) sont deux à deux non colinéaires mais cette famille est tout de même liée !

Soit (P_i)_16i6r une famille de polynômes non nuls. Si les polynômes sont de degrés tous distincts alors cette famille est libre.

Proposition 18

+ Mise en garde :

La réciproque de la précédente proposition n’est pas vraie. (1 +X³,2−X³) est une famille libre.

- Exercice 2 :

Etudier la libert´´ e de la famille suivante :

(cos, sin, x7→1).

(16)

• Toute famille contenant le vecteur nul est li´ee.

• Toute famille contenant une famille li´ee est li´ee.

• Toute sous-famille d’une famille libre est aussi libre.

• Si (e₁,· · · , e_n) est une famille libre de E, alors on a pour tout scalaires ((a₁,· · · , a_n),(b₁,· · · , b_n)) de (Kⁿ)² :

a1e1+· · ·+anen=b1e1 +· · ·+bnen⇐⇒











a₁ =b₁ a₂ =b₂

... a_n =b_n

• Une famille (e₁,· · · , e_n) de E est li´ee si et seulement si l’un de ses vecteurs est combinaison lin´eaire des n−1 autres.

Proposition 19

* Remarque :

On n’a pas nécessairement le choix dans les vecteurs en trop : si u= (1,0), v = (2,0) et w= (0,1), on peut écrirev comme combinaison linéaire deuetw,ucomme combinaison linéaire dev etwmais pas w comme combinaison linéaire deu et v.

+ Mise en garde :

Par contre, une famille contenant une famille libre n’est pas n´ecessairement libre. Ajouter des vecteurs

`

a une famille libre est donc un acte dangereux !

2.3 Base

On appelle base de E une famille libre et g´en´eratrice deE.

D´efinition 20

Soit (e₁,· · · , e_n) une famille deE. (e₁,· · · , e_n) est donc une base deE si et seulement si on a :

∀x∈E,∃!(a₁,· · · , a_n)∈Kⁿ tels que x=a₁e₁+· · ·+a_ne_n. Proposition 21

* Remarque :

Dans cette dernière proposition, l’unicité est due au caractère libre de la famille et l’existence au

(17)

Chapitre 5: Les espaces vectoriels Dimension d’un espace vectoriel

, Exemple :

• La famille B= ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) est une base de R³ :

1. Pour tout (x, y, z) dans R³, on a : (x, y, z) = (0,0,0) ⇒ x = y = z = 0. B est donc une famille libre.

2. Pour tout vecteur u deR³, il existe trois réels x, y etz tels que u= (x, y, z), on a donc : u=x(1,0,0) +y(0,1,0) +z(0,0,1). B est donc une famille génératrice de R³.

• La famille B= ((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)) est aussi une base de R³ : 1. Pour tout (x, y, z) dans R³, on a...B est donc une famille libre.

2. Pour tout vecteur u deR³, .... B est donc une famille g´en´eratrice de R³.

• La famille B= (1,1 +X,1 +X+X²) est une base de R²[X] : 1. Pour tout (x, y, z) dans R³, on a...B est donc une famille libre.

2. Pour tout vecteur P deR2[X], .... B est donc une famille g´en´eratrice de R2[X].

* Remarque :

La famille B = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) est une base de R³. Si on enlève un seul vecteur de cette famille, on perd le caractère générateur. Si on rajoute un vecteur, on perd le caractère libre.

• La famille ((1,0,· · · ,0),· · · ,(0,· · · ,0,1)) est une base deKⁿ, c’est la base canonique de Kⁿ.

• La famille (1, X,· · · , Xⁿ) est une base deKn[X], c’est la base canonique deKn[X].

• Pour tout (i, j)∈J1, nK×J1, pK, on consid`ere les matricesE_i,j deM_n,p(K) d´efinies par, pour tout (i, j)∈J1, nK×J1, pK, on a :

E_i,j = (a_k,l)16k6n,16l6p avec a_k,l =

(0 si k 6=i oul 6=j 1 si k =i et l=j .

La famille (E_i,j)16i6n,16j6p est une base de M_n,p(K), c’est la base canonique de M_n,p(K).

Proposition 22

3 Dimension d’un espace vectoriel

3.1 D´ efinition

• On dit que E est de dimension finie si et seulement si il admet une famille g´en´eratrice de cardinal fini.

• On dit que E est de dimension infinie dans le cas contraire.

D´efinition 23

(18)

, Exemple :

Voici quelques espaces vectoriels de dimension finie : 1. Kⁿ.

2. Kn[X].

3. M_n,p(K).

Voici quelques espaces vectoriels de dimension infinie : 1. K^K.

2. K[X].

3. K^N.

Soit G un espace vectoriel de dimension finie non r´eduit au vecteur nul.

• G admet alors une base.

• Toutes les bases de G ont le même nombre d’éléments, ce nombre est appelé la dimension deG et est noté dim(G).

On pose par convention dim ({0E}) = 0.

Th´eor`eme 24

* Remarque :

Tout espace vectoriel, mˆeme de dimension infinie, a une base. Cette remarque d´epasse, et de beaucoup, le programme de BCPST2.

M´ethode:

Pour trouver la dimension d’un espace vectoriel de dimension finie, il suffit donc de trouver une base et de compter ses ´el´ements.

On en d´eduit :

• dim (Kⁿ) =n.

• dim (Kn[X]) =n+ 1.

• dim (Mn,p(K)) =n×p.

Proposition 25

- Exercice 3 :

On appelle C l’ensemble des suites arithm´etiques. ´Evaluer la dimension de C.

(19)

Chapitre 5: Les espaces vectoriels Dimension d’un espace vectoriel

3.2 Dimension et Famille libre

Théorème de la base incomplète.

Soit F unKespace vectoriel de dimension finie. Soient Lune famille de F libre etGune famille génératrice de F. On peut compléter L avec des vecteurs de G pour créer une base de F.

Th´eor`eme 26

¨) Corollaire 27 :

Soit (u₁, . . . , u_p) une famille libre de F, un K-espace vectoriel de dimension n. On a alors : 1. p6n

2. Si p=n, (u₁, . . . , u_p) est une base de F. + Mise en garde :

Dans un espace de dimension n, une famille libre ne peut pas avoir strictement plus de n ´el´ements.

Cela ne signifie pas que toute famille ayant moins den´el´ements est une famille libre. On peut prendre la famille

1 1 1 0

,

1 1 1 1

,

0 0 0 1

comme contre exemple.

* Remarque :

Ainsi, si on connaˆıt une famille libre et la dimension d’un espace vectoriel, il ne reste qu’`a compter le nombre de membres de cette famille pour savoir si cette famille est ou non une base de l’espace vectoriel. Si on cherche une base, on va compl´eter cette famille pour en faire une base.

3.3 Dimension et Famille g´ en´ eratrice

Th´eor`eme de la base extraite.

Soit (u₁, . . . , u_p) une famille génératrice deF, unK-espace vectoriel de dimension n. On peut extraire une base de (u₁, . . . , u_p), c’est à dire qu’il existe (a₁, . . . , a_n)∈ {u₁, . . . , u_p}ⁿ tel que (a₁, . . . , a_n) soit une base de F.

Th´eor`eme 28

¨) Corollaire 29 :

Soit (u1, . . . , up) une famille g´en´eratrice deF, unK-espace vectoriel de dimension n. On a alors : 1. p>n

2. Si p=n, (u₁, . . . , u_p) est une base de F.

* Remarque :

Ainsi, si on connaˆıt une famille génératrice et la dimension d’un espace vectoriel, il ne reste qu’à compter le nombre de membres de cette famille pour savoir si cette famille est une base de l’espace vectoriel. Si on cherche une base, on va éliminer dans cette famille le bon nombre de vecteurs judicieusement choisis.

(20)

+ Mise en garde :

Dans un espace de dimension n, une famille g´en´eratrice ne peut pas avoir strictement moins de n

éléments. Cela ne signifie pas que toute famille ayant plus de néléments est une famille génératrice.

On peut prendre la famille (1 +X, X²,1 +X+X²,−1−X) comme contre exemple.

3.4 Dimension et Base

Soit (u₁, . . . , u_n) une famille de F, un K-espace vectoriel de dimension n. Les trois propositions suivantes sont alors ´equivalentes :

1. (u₁, . . . , u_n) est une famille libre de F. 2. (u₁, . . . , u_n) est une famille g´en´eratrice de F. 3. (u₁, . . . , u_n) est une base de F.

Proposition 30

* Remarque :

Il est plus facile actuellement de démontrer qu’un famille est libre que de démontrer qu’une famille est génératrice. C’est pourquoi, si on connaˆıt la dimension d’un espace vectoriel, on ne démontrera que le caractère libre d’une famille puis on comptera le nombre de membres de cette famille pour prouver qu’une famille est une base.

+ Mise en garde :

Dans un espace de dimension n, une base ne peut avoir que n éléments. Cela ne signifie pas que toute famille ayantn éléments est une base. On peut prendre la famille ((1,0),(2,0)) comme contre exemple.

, Exemple :

Pour montrer que ((0; 0; 1),(−2; 1; 0),(−1; 0; 1)) est une base de R³, il suffit de rappeler que c’est une famille deR³ et prouver qu’elle est libre.

3.5 Inclusion de sous-espaces vectoriels

Soit G un sous-espace vectoriel de F, un K-espace vectoriel de dimension finie.

• G est alors de dimension finie.

• On a : dim(G)6dim(F).

• Si on prouve que dim(F) = dim(G) alors F =G.

Proposition 31

* Remarque :

Pour démontrer que deux espaces vectoriels de dimension finie sont égaux, on peut faire un raison- nement par double inclusion. On peut aussi, si on sait déjà que ces deux espaces vectoriels ont même

(21)

Chapitre 5: Les espaces vectoriels Interpr´etation matricielle

4 Interpr´ etation matricielle

4.1 Notions de coordonn´ ees

Soit B= (u₁, . . . , u_n) une base deF, un K-espace vectoriel de dimension n.

• Soit xun vecteur de F. Il existe un unique n-uplet (x₁, . . . , x_n) de Kⁿ tel que : x=x₁u₁+x₂u₂+· · ·+x_nu_n.

On appelle cen-uplet (x₁, . . . , x_n) les coordonn´ees dexdans la baseB. On appelle matrice des coordonn´ees du vecteur x dans la base B la matrice suivante :

MatB(x) =





 x₁

... xn





.

• Soit (a₁, . . . , a_p) une famille de p vecteurs de F. Pour tout j ∈ J1, pK, on note (a_1,j, . . . , a_n,j) les coordonn´ees de a_j dans la base B. Pour tout j ∈ J1, pK, on a donc :

a_j =a_1,ju₁+a_2,ju₂+· · ·+a_n,ju_n.

On appelle matrice des coordonn´ees de la famille (a₁, . . . , a_p) dans la base B la matrice suivante :

MatB(a₁, . . . , a_p) =







a_1,1 · · · a_1,p ... ... a_n,1 · · · a_n,p





 D´efinition 32

, Exemple :

1. Soient B la base canonique deRⁿ etC la base canonique de R³ .

• On a : MatC((4,5,6)) =



 4 5 6



.

• Soit a= (a₁, . . . , a_n) un vecteur de Rⁿ. On a : MatB(a) =





 a₁

... an





.

2. Soient B = ((1; 1),(1; 0)), a₁ = (3; 1), a₂ = (11; 2) eta₃ = (8; 1). Si on note C la base canonique de R², on a :

Mat_C(a₁, a₂, a₃) =

3 11 8

1 2 1

.

B est une base de R² (car famille de R² ayant dim (R²) éléments et libre (car composée de deux vecteurs non colinéaires)) et on a :

MatB(a₁, a₂, a₃) =

1 2 1

2 9 7

.

(22)

3. SoientB= (1 +X,1),a₁ = 3 +X,a₂ = 11 + 2X et a₃ = 8 +X. Si on noteC la base canonique de R1[X], on a :

Mat_C(a₁, a₂, a₃) =

3 11 8

1 2 1

.

B est une base de R1[X] (car famille de R1[X] ayant dim (R1[X]) éléments et libre (car composée de deux vecteurs non colinéaires)) et on a :

MatB(a₁, a₂, a₃) =

1 2 1

2 9 7

.

- Exercice 4 :

On note dans cet exercice B la famille (1,(X−1),(X −1)²,· · · ,(X−1)ⁿ). Montrer que B est une base deRn[X] et déterminer MatB(P) avec P un élément de Rn[X].

Soient Bune base de F, , unK-espace vectoriel de dimension finie, u etv deux vecteurs deF etλ un scalaire. On a :

1. MatB(u+v) = MatB(u) + MatB(v) 2. MatB(λu) = λMatB(u) Proposition 33

4.2 Notion de Rang

4.2.1 Rang d’une famille

Soit (u₁, . . . , u_p) une famille de E. On appelle rang de la famille (u₁, . . . , u_p) la dimension de l’espace vectoriel qu’elle engendre, on a donc :

rang (u₁, . . . , u_p) = dim (Vect (u₁, . . . , u_p)). D´efinition 34

Soit (u₁, . . . , u_p) une famille de E. On a :

• rang (u₁, . . . , u_p)6p

• rang (u₁, . . . , u_p) = psi et seulement si (u₁, . . . , u_p) est une famille libre.

Proposition 35

(23)

Soit (u₁, . . . , u_p) une famille de F, un K-espace vectoriel de dimension n. On a :

• rang (u₁, . . . , u_p)6min(n, p)

• rang (u₁, . . . , u_p) = psi et seulement si (u₁, . . . , u_p) est une famille libre.

• rang (u1, . . . , up) = n si et seulement si (u1, . . . , up) est une famille g´en´eratrice de F.

Proposition 36

+ Mise en garde :

Il faut différencier ces deux propositions. Dans la première, on ne sait pas si l’espace vectoriel ambiant est, ou non, de dimension finie. Dans la deuxième, l’espace vectoriel ambiant est de dimension finie.

* Remarque :

Le rang est donc une notion fondamentale puisqu’il permet de caractériser la notion de famille libre et de famille génératrice.

4.2.2 Rang d’une matrice

Soit A une matrice ayant n lignes et p colonnes. On appelle (C₁, . . . , C_p) ses p vecteurs colonnes, ce sont des ´el´ements de Mn,1(K). On appelle rang de A, et on note rang(A), le rang de la famille des pvecteurs colonnes de A. On a :

rang(A) = rang (C₁, . . . , C_p)

= dim (Vect (C1, . . . , Cp)). D´efinition 37

* Remarque :

Soit A une matrice. On a :

• rang(A) = 0 si et seulement siA= 0

• rang(A) = 1 si et seulement si les diff´erentes colonnes deAsont proportionnelles deux `a deux et l’une d’elles n’est pas nulle.

(24)

4.2.3 Matrices ´echelonn´ees

SoitA= (a_i,j)16i6n,16j6p une matrice. On appelle (L₁, . . . , L_n) sesnvecteurs lignes. Pour chaque ligneL_i non nulle de A, on note d(i) le plus petit indice j tel que a_i,j 6= 0.

On dit que A est échelonnée supérieurement s’il existe un élément r de {0, . . . , n} tel que :

• Pour tout i de {1, . . . , r}, la ligne L_i est non nulle (Il n’y a donc que des lignes nulles si r = 0).

• Pour tout i de {r+ 1, . . . , n}, la ligne Li est nulle (Il n’y a donc pas de blocs de lignes nulles `a la fin si r=n).

• La suite (d(k))_16k6r est strictement croissante.

On appelle pivots de A les n coefficients non nuls situ´es aux positions (k, d(k)) avec 16k 6r.

D´efinition 38

, Exemple :

Les matrices suivantes sont ´echelonn´ees : 1.





4 2 3 7 0 5 6 9 0 0 0 12



 2.





0 2 0 0 0 0 6 9 0 0 0 0



 3.



 3 2 0 5 0 0



 4.





0 2 3 7 0 0 0 0 0 0 0 0





Les matrices suivantes ne sont pas ´echelonn´ees : 1.





1 2 3 7 4 5 6 9 7 8 9 12



 2.





1 2 3 7 0 5 6 9 0 8 9 12



 3.



 0 2 0 5 0 0



 4.





0 2 3 7 0 0 0 0 0 0 0 12





On utilise les notations précédentes. Une matrice échelonnée est de rang r.

Proposition 39

, Exemple :

1. rang









4 2 3 7 0 5 6 9 0 0 0 12







= 3

2. rang









0 2 3 7 0 0 6 9







= 2

3. rang







 3 2 0 5 0 0







= 2

4. rang









0 2 3 7 0 0 0 0







= 1

(25)

Le rang d’une matrice est ´egal au rang de sa transpos´ee.

Proposition 40

¨) Corollaire 41 :

Le rang d’une matriceA est ´egal au nombre maximum de colonnes libres dansA. Il est aussi ´egal au nombre maximum de lignes libres dansA.

• On ne modifie pas le rang d’une matrice en lui appliquant une suite d’op´erations

´

el´ementaires sur ses colonnes ou sur ses lignes.

• Par suite d’opérations élémentaires sur les colonnes ou sur les lignes d’une matrice, on peut transformer toute matrice en une matrice échelonnée.

Proposition 42

M´ethode:

Pour calculer le rang d’une matrice quelconque, il suffit de la transformer cette dernière en une matrice échelonnée.

Soit B une base de F. Soit (r₁, . . . , r_p) une famille de F. On a : rang (r₁, . . . , r_p) = rang (Mat_B(r₁, . . . , r_p)). Proposition 43

M´ethode:

Lorsqu’on est dans un espace vectoriel de dimension finieF et qu’on connaˆıt une base B, il est alors simple avec le rang de caractériser les familles libres, les familles génératrice de F et les base deF. Il suffit de calculer le rang de cette famille (r₁, . . . , r_p) en faisant une interprétation matricielle : On introduit MatB(r₁, . . . , r_p) puis on l’échelonne.

(26)

5 Exercices du td R´ evision d’alg` ebre lin´ eaire

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 : On poseA=

4 −10 1 −3

. ExprimerA² en fonction de Aet de I₂ et en d´eduire queA est inversible.

. Exercice 2 :

D´eterminer lesquels des ensembles F suivants sont des espaces vectoriels : 1. F ={(x+y, y+ 1, x) avec (x, y)∈R²}.

2. F ={(x², y+x, y) avec (x, y)∈R²}.

3. F ={(x, y, z)∈R³ tel que x+ 4z−y=x= 0}.

4. F ={(x, y, z)∈R³ tel que xy+ 4z = 0}.

. Exercice 3 :

A-t-on F ⊂G(resp. F =G, resp F ⊃G) avec :

F = Vect ((1,2,1),(1,−3,2)) et G= Vect ((0,5,−1),(3,1,4)).

. Exercice 4 :

Soient A etB les ensembles suivants : A={(x, y, z, t)∈R⁴ tel que x+ 3y+ 2z = 0} et : B =

(a+b−c, b−c, b, b+ 2a) avec (a, b, c)∈R³ .

D´emontrer queAetB sont des espaces vectoriels puis d´eterminer une base deA, deB puis deA∩B.

. Exercice 5 :

Dire si les applications suivantes sont des applications lin´eaires : 1. f₁ :

(

R² →R² (x, y) 7→(x²,0) 2. f₂ :

(

R² →R²

(x, y) 7→(x+ 1, y)

3. f₃ : (

R³ →R (x, y, z) 7→xy+z 4. f₄ :

(

R² →R³

(x, y) 7→(x+y, y,0) Expliciter noyau et image des applications lin´eaires de cet exercice.

. Exercice 6 :

Après avoir prouvé son existence, expliciter l’ application linéaire f de R² dans R³ telle que : f(3,0) = (0,0,0) et f(2,4) = (1,0,0).

(27)

Chapitre 5: Les espaces vectoriels Exercices du td Révision d’algèbre linéaire

. Exercice 7 : On appelle B la matrice







0 1 1 0 0 0 4 0 0 2 1 0 3 0 0 0







. On note B₁ la base canonique de R⁴ et B₂ la base de R⁴ suivante : ((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(1,1,1,1)). Expliciter les endomorphismes f₁, f₂ et f₃ de M₂(R) d´efinies par :

1. MatB₁(f₁) =B. 2. MatB₁,B₂(f₂) = B. 3. MatB₂,B₁(f₃) = B.

3 Expliciter noyau et image des applications lin´eaires de cet exercice.

Exercices ` a faire pendant la classe

- Exercice 8 :

Soit A le sous-espace vectoriel de C⁴ engendr´e par les vecteurs :

(1,−2,5,−3),(2,3,1,−4),(3,1,6,−7) et (3,8,−3,−5).

1. Trouver une base et la dimension de A.

2. Compl´eter cette base de A en une base de C⁴.