Mathématiques – cours : Chap 14 : Espaces vectoriels (I)
1
Chap 14 : Espaces vectoriels (I)
I. Introduction
2 2
:
( , ) 0
( , ) ,( , ) ( )
( )
( ) ( )
1
ensemble E tel que : groupe commutatif (elt nt : )E
espace vectoriel E
x y E x y x y
x x x
x x
x x
λ µ λ λ λ
λ µ λ µ
λ µ λ µ
−
− +
− ∈ ∈ ⋅ + = +
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
× ⋅ = ⋅ ⋅
− ⋅ =
0 0 0 0 ( 1) ( ) 0 0 0
( , )
ou est un
sont 2 corps, est un
E E E E E
n
x x x x x
esp vect
K E ev E K ev
F ev A F ev
λ λ λ
⋅ = ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = ⇔ = =
−
∈ − ⇒ −
− ⇒F −
,
( , , ) sous-espace vectoriel
F stable par et , et E ev F E
ssi F ev
− ⊂
+ ⋅ + ⋅ −
2 2
( , ) , ( , ) ,
ssi F
x y F λ µ λ x µ y F
≠ ∅
∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ + ⋅ ∈
2
( , ) , 2
( , ) , ,
, ,
stable par combinaison linéaire
F F
ssi x y F x y F ssi
x y F x y F
x F x F
ssi F F
λ λ
λ λ
≠ ∅
≠ ∅
∀ ∈ + ∈
∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ + ∈
∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ ∈
≠ ∅
( j)j J famille de sev de E, j sev de E FAUX pour l'union : sev ou
j J
F ∈ F F G F G G F
∈
∪ ⇔ ⊂ ⊂
Il existe un unique plus petit sous-espace vectoriel ( ) contenant A : c'est l'intersection de tous les sev contenant A.
A⊂ ⇒E Vect A
0
1,
1
1
( ) ( )
( ) , * ( ) ,( )
Combinaison linéaire des j j n n : vecteur n j j avec j j n (somme FINIE)
j n
n n
j j j j j j
j
F
x E v x
Vect A x n x A
λ λ
λ λ
∈ =
=
∈ = ∈
= ∈ ∈ ∈
∑
∑
Preuve : 0
1 1
et , on unifie les listes (unions) sev
n m
j j j j
j j
u λ x v µ y F
= =
=
∑
=∑
⇒0 || stable par CL F0
A∈F A⊂ ⇒F F ⇒ ⊂F
{ , , } est l'espace vectoriel engendré par
H
F+ =G u+v u∈F v∈G F∪G
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, !( , ) , {0 }E
F G E
F G E x E u v F G x u v
K G
+ =
⊕ = ⇔ ∩ = ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ × = +
Preuve : ⇒ + = +v1 u1 v2 u2 ⇔ − =v1 v2 u2− =u1 0E ⇐ +x 0E = =x 0E + ⇒x x)0E
1 2
1 1
1,
1
...
( j)j n sev de , !( ... )n ... n, n j 1, , {0 } ( : )
j k E
j k j
F F E
F ∈ E x E u u F F x u j n F F preuve idem
= ≠
+ + =
∀ ∈ ∃ ∈ × = ⇔ ∀ ∈ ∩ =
∑
∑
1 et en somme directe2 1 2 1 2 1 2 {0 }E
F F ⇔F +F =F ⊕F ⇔F ∩F =
II. Applications linéaires
et 2 E F −ev
2 2
( , ) ( , ) , ( , ) , ( ) ( ) ( )
préserve les combinaisons linéaires
f E F u v E f u v f u g v
f
λ µ λ µ λ µ
∈ ⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ + = +
⇔
L
( ) ( , ) { }
( , )
( , ), ( , ), ( , )
morphisme de groupe E E E endomorphismes de E
f E F f
E F F G E G
ϕ ψ ψ ϕ
= =
∈ ⇒
∈ ∈ ∈
L L
L
L L L
1
0 0 0 0
1
( ) ( )
ker {0 } ker {0 }
sev de sev de sev de sev de
sev de E injective
F E
E E E F F F F E
ssi
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
−
−
⇒ ⇒
= =
( , )E F isomorphisme bijective, 1 ( , )F E
ϕ∈L ⇔ϕ ϕ− ∈L
( ) { }
Automorphisme : isomorphisme de E vers E Groupe linéaire : Gl E = automorphismes de E
(Gl E( ), ) groupe (sous groupe de ( , ),S bijections de E dans E)
( , ) ( , ) ( ( ), , ) ( ( ), , , )
, ( ), 0
sev de anneau est une algèbre
Homothétie : isomorphisme ssi
E F E F E E
E E
h h E
v v
λ λ λ λ
λ
+ ⇒ + ⋅ −
→
∈ ∈ ≠
⋅
L F L L
L
\ 1
1 2 1 2
\ 2
, ( , ), ( , ) ! ( , ) / F ( ( ) ( ) ( ))
G
F G E F H G H E H ψ ϕ u x y
ϕ ϕ ψ ψ ϕ ϕ
ψ ϕ
=
⊕ = ∈L ∈L ⇒ ∃ ∈L = = +
III. Projections et symétries
F⊕ =G E
: ( )
( ),
Projection de F parallèlement à G : Projecteur :
Projection projecteur
E F G E
p p E
v x y x
p E p p p
= ⊕ →
∈
= +
∈ =
⇔
L L
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, Im
ker Im ker
Im ker
Si projection de F parallèment à G,
Si projecteur :
est la proj sur parallèlement à p p p
p F G E F p
G p
p p E
p p p p
=
⇒ ⊕ = =
=
+ =
⇐
Preuve : p p = ⇒p Imp∩kerp={0 }:E v∈kerp⇒0E = p v( )= p p u ( )= p u( )=v
0 \ Im 0\ Im \ k er \ k er
, ( ) Im , ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 0
Im / / ker ,
projection p
w t
p p p
v E p v p u p v v p v p w p v p p v
p p p p p p p
∈ ∈ = + − = − =
⇒ = =
Symétrie de par rapport à parallèlement à : E F G E
F G s
v x y x y
= ⊕ →
= + −
\
\
2
ker( )
ker( )
est l'unique endomorphisme de tel que symétrie
F F
E
G G
E E E
s Id
s E s p Id
s Id
s s Id
s F s Id
G s Id
=
= −
= −
=
⇒ = −
= +
ker( ) ker( )
ker( ) ker( )
symétrie par rapport à parallèlement à
E E
E
E E
s Id s Id E
s s Id
s s Id s Id
− ⊕ + =
= ⇒ − +
Preuve : s s =IdE ⇒ =F ker(s−IdE),G=ker(s+IdE),∀ ∈ ∩x F G s v, ( )=v s v, ( )= − ⇒ =v v 0E
0 0
( ) ( )
( ) , ( )
2 2
symétrie ...
v s v v s v
x y v x y s x x F s y y G E F G
s s s
+ −
= = = + ⇒ = ∈ = − ∈ ⇒ = ⊕
⇒ = ker( ) ker
Im( ) Im
ψ ϕ ϕ
ψ ϕ ϕ
⊃
⊂
