D158 : Une collection de perpendiculaires
Soit un triangle ABC acutangle dont O est le centre du cercle circonscrit et H est l'orthocentre. On désigne par P, Q, R les pieds des hauteurs issues de A,B,C sur les côtés opposés et par I, J et K les points d'intersection des droites QR, RP et PQ avec les droites BC, CA et AB.
A partir des onze points ainsi tracés A, B, C, O, H, P, Q, R , I, J et K, trouver sept couples de droites perpendiculaires entre elles.
Justifier la réponse.
On a bien sûr, par définition des hauteurs, les couples (AP, BC) (BQ, CA) et (CR, AB).
Q et R sont sur le cercle de diamètre BC : le triangle AQR est semblable à ABC, et l’angle de BC avec QR est B-C, tandis que celui de OA avec BC est π/2+B-C ; donc OA est perpendiculaire à QR, et de même, OB à RP et OC à PQ.
Q et R sont sur le cercle de diamètre BC, I est à l’intersection de BC et QR, donc si l’on exprime la puissance de I par rapport au cercle de diamètre BC : IQ*IR=IB*IC ; mais le premier terme est la puissance de I par rapport au cercle d’Euler, et le second la
puissance de I par rapport au cercle circonscrit : I appartient donc à l’axe radical de ces deux cercles ; il en sera de même de J et de K et les trois points sont donc alignés.
L’axe radical est perpendiculaire à la ligne des centres, c’est à dire la droite d’Euler, donc OH, qui est perpendiculaire à IJK.
