Soit R le milieu de AC.

D197. Des lieux peu communs (7ème épisode) D1.Géométrie plane : triangles et cercles

** Problème proposé par Dominique Roux

Etant donnés deux points A et C, pour tout point B que l'on projette en D sur AC on considère les centres des cercles circonscrits aux triangles (ABC), (ABD), (BCD). Quel est le lieu des points B tels que le cercle passant par ces trois centres soit tangent à AC ?

Analyse

Soit O1 le centre du cercle circonscrit au triangle (BCD).

O1 est le milieu de BC.

Soit O2 le centre du cercle circonscrit au triangle (ABD).

O2 est le milieu de AB.

Soit O3 le centre du cercle circonscrit au triangle (ABC).

Le triangle BO1O2 est homothétique du triangle (ABC) dans une homothétie de centre B et de rapport ½.

Son cercle circonscrit de centre Q se déduit de celui de (ABC) dans la même homothétie.

Donc QBQO3 sont alignés et BQ=BO3/2.

Ce qui signifie que O est sur le cercle de centre Q (car BQ est le rayon du cercle circonscrit à BO1O2 . Ainsi Q est confondu avec O centre du cercle circonscrit à O1O2 O3.

Le lieu de B est une ellipse de centre le milieu K de AC.

Ses foyers sont A et C.

Son grand axe est AC et son petit axe b est de mesure AC.

Le rapport a/b des deux axes est .

Soit R le milieu de AC.

Je choisis R origine du repère et AC/2 comme unité.

Posons

C(1,0) ; A(-1,0) ; B(xx,yy) ; D(xx,0) ; O

( (xx+1)/2,yy/2 ) ;

O

( (xx-1)/2,yy/2 ) ;

En utilisant le fait que la pente de (BC) est yy/(xx-1) et que celle de sa médiatrice est (1-xx)/yy, on obtient :

O

( 0,(xx²+yy²-1)/2yy )

Nous avons vu que O est le milieu de BO

. Nous vaons onc

O(xx/2 , yy/2+(xx²+yy²-1)/4yy) SOIT, O( xx/2 , ( 3yy²+xx²-1 )/ 4yy )

Pour que le cercle de centre O soit tangent à (AC) il suffit que BO=OH OH est l’ordonnée de O.

Donc BO² = (3yy²+xx²-1)/ 4yy)²

(xx-xx/2)² +(yy - ( 3yy²+xx²-1 )/ 4yy) )² = [ ( 3yy²+xx²-1 )/ 4yy) ]² Ces calculs mènent à

xx² + yy² - (3yy²+xx²-1)/2 = 0

Et enfin à

xx²/2 + yy² -1 = 0

Cette dernière équation est celle d’une ellipse centrée au milieu de AC, telle que a=

Elle est la transformée du cercle de rayon AB/2, dans l’affinité de rapport 1/