A441 - Incursions en Egypte le pays des pyramides..
Un point à l’intérieur d’un tétraèdre régulier ABCD (les 6 côtés sont égaux entre eux), est situé à une distance de 40 mètres du sommet A, de 50 mètres du sommet B, de 60 mètres du sommet C et de 70 mètres du sommet D. Trouver la longueur du côté du tétraèdre.
Diophante dans la chambre du Roi (A440) avait établi la formule qui exprimait le côté s du tétraèdre régulier en fonction des distances a, b, c et d d’un point M aux quatre sommets du tétraèdre. Cette formule avait été établie pour un point M intérieur à la pyramide :
2 2 2 2 2 2 4 4 4 4
4 a b c d ) (s a b c d )
4(s
Il est facile de vérifier que cette formule reste valable pour un point M extérieur à la pyramide.
Dès lors en remplaçant a, b, c et d par leurs valeurs respectives : 40, 50, 60 et 70, on obtient l’équation du 4ème degré en s :s48400s281200000
D’où s24200/ 95200004200/3085,4497247285,449..ou1114,550..
Il y a deux valeurs possibles de s selon que le point M est intérieur ou extérieur à la pyramide :
Si M est intérieur, alors s = 85,3548….. Si M est extérieur, alors s = 33,3848….
