A442 - Incursions en Egypte le pays des pyramides (suite)

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A442 - Incursions en Egypte le pays des pyramides (suite) Solution

Soient 1,2,3,4 les sommets du tétraèdre. Si on désigne par d_ijd_jiles distances qui séparent les sommets i et j, on peut poser :d₁₂a,d₁₃b,d₁₄c,d₂₃d,d₂₄e,d₃₄f pour désigner les six arêtes du tétraèdre

Le volume V du tétraèdre peut se calculer en fonction de a, b, c, d, e et f à l’aide la formule d’Euler qui s’exprime sous la forme du déterminant suivant :

0 d d d 1

d 0 d d 1

d d 0 d 1

d d d 0 1

1 1 1 1 0

288V

2 43 2 42 2 41

2 34 2

32 2 31

2 24 2 23 2

21

2 14 2 13 2 12

2 

qui peut encore s’écrire en posant Aa², Bb², Cc², Dd², Ee², Ff²

0 F E C 1

F 0 D B 1

E D 0 A 1

C B A 0 1

1 1 1 1 0

288V² 

Le calcul de ce déterminant peut se simplifier en retranchant la 3^ème colonne de la 2^ème colonne, la 4^ème colonne de la 3^ème colonne etc… de façon à faire apparaître 4 zéros sur la première ligne. On est ainsi ramené à un déterminant (4x4). On opère de la même manière sur les lignes du nouveau déterminant en retranchant la 2^ème ligne de la 1^ère ligne, la 3^ème ligne de la 2^ème ligne, etc… On obtient ainsi un déterminant (3x3) qui s’écrit :

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2F Z Y

Z 2D X

Y X 2A

288V²  avec X = – A + B – D , Y = – B + C + D – E , Z = – D + E – F .

Il en résulte 288V² = 8ADF + 2XYZ 2FX²2DY²2AZ² ou encore 144V²= 4ADF + XYZ FX²DY²AZ²

Un programme informatique est indispensable pour trouver les valeurs entières de a, b ,c, d, e et f qui rendent V minimum. En balayant toutes les valeurs possibles des 6 arêtes comprises entre 2 et 30,on obtient le 6-uple (8,9,10,14,6,11) qui donne le volume

...

006920 ,

1 12 /

146 

On vérifie qu’avec ces 6 nombres on peut bien construire les 4 faces d’un tétraèdre. Il existe d’autres 6-uples qui donnent le même volume: (8,17,24,22,12,31), (9,17,25,21,11,31),….mais certaines faces ne sont pas constructibles.

Le tétraèdre ainsi obtenu est très aplati. La hauteur du tétraèdre issue du sommet 1 et projetée sur le plan horizontal 234 est tracée en pointillés rouges dans la figure ci-après :

Il reste à prouver qu’avec des valeurs d’arêtes plus élevées que 30, on ne peut pas obtenir un tétraèdre encore plus aplati dont le volume est inférieur à 146/121,006920...

Contrairement à ce que l’intuition pourrait laisser croire, le tétraèdre n’est pas le polyèdre à arêtes entières dont le volume est minimal. Lucien Pianaro dans un article paru dans la revue Tangente n°58-59 de juillet-septembre 1997, a trouvé une pyramide à base quadrangulaire dont les arêtes sont mesurées par des nombres entiers tous différents et dont le volume V solution de l’équation du 4^ème degré 525x⁴265x³124350x²53925x74541640 est de 0,538922… soit près de la moitié du volume du tétraèdre minimal. Les dimensions de cette pyramide sont données dans la figure ci-après. La pyramide est vue du dessus car elle est très aplatie, sa hauteur SH issue du sommet S est de 0,0406… seulement.

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